高等数学
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北京房山
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作者王金金，李广民主编
出版社清华大学出版社
ISBN9787302402107
出版时间2014-05
装帧平装
开本16开
定价47元
货号8521823
上书时间2024-12-13
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目录
目 录
第1章 函数、极限与连续1
1.1 函数的概念与简单性质1
1.1.1 集合、常量与变量1
1.1.2 函数的概念3
1.1.3 函数的简单性质5
1.1.4 反函数和复合函数7
1.1.5 初等函数8
习题1-113
1.2 数列的极限15
1.2.1 数列极限的定义15
1.2.2 收敛数列极限的性质19
1.2.3 数列极限的存在准则19
1.2.4 数列极限的四则运算法则21
习题1-222
1.3 函数的极限23
1.3.1 x→时函数的极限23
1.3.2 x→x0时函数的极限24
1.3.3 函数极限的运算法则26
1.3.4 两个重要极限28
习题1-331
1.4 无穷小量和无穷大量33
1.4.1 无穷小量33
1.4.2 无穷大量37
习题1-437
1.5 函数的连续性38
1.5.1 函数的连续性38
1.5.2 函数的间断点39
1.5.3 初等函数的连续性及连续
函数的性质41
1.5.4 闭区间上连续函数的性质43
习题1-544
总习题一45
习题答案46
第2章 导数与微分51
2.1 导数的概念51
2.1.1 引例51
2.1.2 导数的概念52
2.1.3 左导数和右导数55
2.1.4 可导与连续的关系56
习题2-157
2.2 导数的四则运算法则58
习题2-260
2.3 复合函数求导法61
2.3.1 复合函数的求导法则61
2.3.2 反函数的导数63
2.3.3 隐函数的导数64
2.3.4 对数求导法65
2.3.5 参数方程确定函数的导数66
2.3.6 基本求导公式和法则68
习题2-369
2.4 高阶导数70
习题2-473
2.5 函数的微分74
2.5.1 微分的定义74
2.5.2 微分的几何意义75
2.5.3 微分的运算法则76
*2.5.4 微分在近似计算中的应用78
习题2-578
总习题二80
习题答案80
第3章 微分中值定理与导数的应用85
3.1 微分中值定理85
3.1.1 罗尔定理85
3.1.2 拉格朗日中值定理86
3.1.3 柯西中值定理88
3.1.4 泰勒公式88
习题3-189
3.2 洛必达法则90
3.2.1 “”型和“”型
未定式90
3.2.2 其他类型的未定式92
习题3-293
3.3 函数的单调性和曲线的凹凸性94
3.3.1 函数单调性的判定法94
3.3.2 曲线的凹凸性与拐点96
习题3-397
3.4 函数的极值与最大值、最小值
问题98
3.4.1 函数的极值及其求法98
3.4.2 函数的最大值与最小值
问题101
习题3-4102
3.5 函数图形的描绘104
3.5.1 曲线的渐近线104
3.5.2 函数y=f(x)图形的描绘105
习题3-5106
*3.6 弧微分与曲率106
3.6.1 弧微分107
3.6.2 曲率及其计算107
3.6.3 曲率圆109
习题3-6109
总习题三109
习题答案110
第4章 不定积分113
4.1 不定积分的概念与性质113
4.1.1 原函数与不定积分的概念113
4.1.2 基本积分表115
4.1.3 不定积分的性质116
习题4-1117
4.2 第一类换元积分法118
习题4-2123
4.3 第二类换元积分法124
习题4-3127
4.4 分部积分法127
习题4-4131
4.5 有理函数和可化为有理函数的
积分131
4.5.1 有理函数的积分131
4.5.2 三角函数有理式的积分135
4.5.3 几类简单无理函数的积分136
习题4-5137
总习题四138
习题答案139
第5章 定积分及其应用142
5.1 定积分的概念与性质142
5.1.1 引入定积分概念的实例142
5.1.2 定积分定义143
5.1.3 定积分的性质146
习题5-1148
5.2 微积分基本公式148
5.2.1 变速直线运动中位置函数
与速度函数之间的联系149
5.2.2 积分上限的函数及其导数149
5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式150
习题5-2152
5.3 定积分的换元法和分部积分法153
5.3.1 定积分的换元法153
5.3.2 定积分的分部积分法156
习题5-3158
5.4 广义积分158
5.4.1 无穷限的广义积分158
5.4.2 无界函数的广义积分160
习题5-4162
5.5 定积分在几何学上的应用163
5.5.1 定积分的元素法163
5.5.2 平面图形的面积164
5.5.3 求体积168
5.5.4 求平面曲线的弧长171
习题5-5173
5.6 定积分的物理应用174
5.6.1 变力沿直线所做的功174
5.6.2 水压力175
5.6.3 引力177
习题5-6177
总习题五178
习题答案180
第6章 微分方程184
6.1 微分方程的基本概念184
习题6-1187
6.2 一阶微分方程的解法187
6.2.1 可分离变量的微分方程188
6.2.2 齐次微分方程190
6.2.3 一阶线性微分方程191
6.2.4 伯努利方程194
习题6-2195
6.3 高阶微分方程的解法197
6.3.1 可降阶的高阶微分方程197
6.3.2 二阶线性微分方程解的
结构200
6.3.3 二阶常系数齐次线性微分
方程的解法202
6.3.4 二阶常系数非齐次线性
微分方程的解法204
习题6-3208
总习题六209
习题答案210
第7章 向量代数与空间解析几何213
7.1 空间直角坐标系与向量的线性
运算213
7.1.1 空间直角坐标系213
7.1.2 向量的概念214
7.1.3 向量的线性运算214
7.1.4 向量的坐标表示216
7.1.5 向量的模与方向余弦218
习题7-1220
7.2 向量的数量积与向量积220
7.2.1 两向量的数量积220
7.2.2 两向量的向量积222
习题7-2226
7.3 平面及其方程226
7.3.1 平面的点法式方程226
7.3.2 平面的一般式方程227
7.3.3 两平面的夹角229
7.3.4 平面外一点到平面的距离229
习题7-3230
7.4 空间直线及其方程230
7.4.1 直线的一般式方程230
7.4.2 直线的对称式方程与参数
方程230
7.4.3 两直线的夹角232
7.4.4 直线与平面的夹角233
7.4.5 综合举例233
习题7-4235
7.5 曲面及其方程236
7.5.1 曲面方程的概念236
7.5.2 几种常见曲面及其方程236
7.5.3 二次曲面239
习题7-5241
7.6 空间曲线及其方程242
7.6.1 空间曲线的方程242
7.6.2 空间曲线在坐标面上的
投影243
7.6.3 空间立体图形的投影245
习题7-6246
总习题七246
习题答案247
第8章 多元函数微分法及其应用251
8.1 多元函数的基本概念与极限251
8.1.1 平面点集、区域251
8.1.2 多元函数的概念253
8.1.3 二元函数的极限与连续性255
习题8-1258
8.2 偏导数259
8.2.1 偏导数的定义及其计算
方法259
8.2.2 高阶偏导数262
习题8-2263
8.3 全微分及其应用264
8.3.1 全微分的定义264
*8.3.2 全微分在近似计算中的
应用267
习题8-3268
8.4 复合函数与隐函数求导法268
8.4.1 多元复合函数的求导法则268
*8.4.2 全微分形式不变性272
8.4.3 隐函数的求导公式273
习题8-4276
*8.5 方向导数与梯度277
8.5.1 方向导数277
8.5.2 梯度278
习题8-5280
8.6 微分法在几何上的应用281
8.6.1 空间曲线的切线与法平面281
8.6.2 曲面的切平面与法线282
习题8-6284
8.7 多元函数的极值及其求法285
8.7.1 多元函数的极值285
8.7.2 多元函数的最大值与
最小值287
*8.7.3 条件极值——拉格朗日
乘数法288
习题8-7290
总习题八290
习题答案292
第9章 多元函数积分学298
9.1 二重积分的概念与性质298
9.1.1 两个实例298
9.1.2 二重积分的概念300
9.1.3 二重积分的性质301
习题9-1303
9.2 二重积分的计算304
9.2.1 在直角坐标系下二重积分
的计算方法304
9.2.2 在极坐标系下二重积分的
计算方法311
习题9-2315
9.3 二重积分的应用317
9.3.1 曲面的面积317
9.3.2 平面薄片的重心319
9.3.3 平面薄片的转动惯量321
习题9-3323
*9.4 三重积分323
9.4.1 三重积分的概念323
9.4.2 三重积分的计算方法324
9.4.3 三重积分的应用329
*习题9-4330
9.5 对弧长的曲线积分331
9.5.1 对弧长的曲线积分的概念
与性质332
9.5.2 对弧长的曲线积分的算法333
9.5.3 对弧长的曲线积分的推广336
9.5.4 对弧长的曲线积分的应用
举例336
习题9-5338
9.6 对坐标的曲线积分339
9.6.1 对坐标的曲线积分的概念
与性质339
9.6.2 对坐标的曲线积分的算法341
9.6.3 两类曲线积分之间的关系344
习题9-6345
9.7 格林公式及其应用346
9.7.1 格林公式346
9.7.2 平面上曲线积分与路径
无关的条件351
9.7.3 二元函数全微分的求积
问题353
习题9-7357
总习题九358
习题答案360
第10章 无穷级数365
10.1 常数项级数的概念和性质365
10.1.1 常数项级数的概念365
10.1.2 常数项级数的基本性质366
习题10-1369
10.2 常数项级数的审敛法369
10.2.1 正项级数及其审敛法369
10.2.2 交错级数及其审敛法374
10.2.3 绝对收敛与条件收敛375
习题10-2377
10.3 幂级数378
10.3.1 函数项级数的概念378
10.3.2 幂级数及其收敛性379
10.3.3 幂级数的运算382
习题 10-3384
10.4 函数展开成幂级数384
10.4.1 泰勒级数385
10.4.2 函数展开成幂级数386
10.4.3 函数的幂级数展开式应用391
习题10-4394
*10.5 傅里叶级数394
10.5.1 以2?为周期的函数展
开成傅里叶级数394
10.5.2 周期为2l的周期函数的
傅里叶级数401
*习题10-5404
总习题十404
习题答案406
附录Ⅰ 几种常用的曲线409
附录Ⅱ 简明积分表411
参考文献419
内容摘要
第2章 导数与微分
导数和微分在自然科学、工程技术、社会科学等各方面有着极为广泛的应用. 为了准确描述曲线的切线和质点运动的速度这一类有关变化率的问题，就很自然地、不可避免地要求在数学上引入导数和微分的概念. 只有在运用了这两个概念之后，才能将这些问题精确地解答出来. 而这两个概念实质上是由极限概念得到的.
本章我们将从这两个具体问题入手，引出导数和微分的概念，进而讨论导数和微分的各种运算法则以及有关的性质.
2.1 导数的概念
2.1.1 引例
例1 非匀速直线运动的速度问题.
设质点做非匀速直线运动，其位移 是时间 的函数 ，求时刻 的瞬时速度.
由物理学知，质点做匀速直线运动时，可由 来求质点的运动速度. 而当质点做非匀速直线运动时，就不能简单地用 来描述质点运动的速度了. 此时，在时刻 取时间 的增量 ，从 到 这一段时间间隔内，质点运动的距离为 ，于是在这个时间间隔内质点运动的平均速度为
显然，当 越小时，这个平均速度越接近 时刻的瞬时速度. 因此，当 时，平均速度的极限就可用来准确描述 时刻的瞬时速度了.
设 ，对上式取极限，若此极限存在，则可得质点在 时刻的瞬时速度为
(2-1-1)
例2 曲线的切线问题.
设有平面曲线 ，求其上一点 处切线的斜率.
如图2.1所示，在曲线 上取一点 ，并在其邻近取曲线上的另一点 ，则易知，割线 的斜率为 ，当点 沿曲线 趋近于 时，割线 将趋近于曲线在点 的切线 . 也就是说，曲线 在点 的切线实际上就是点 沿曲线趋近于点 时割线 的极限位置. 因此，曲线 在点 的切线斜率为
(2-1-2)
上述这两个例子的意义各不相同，但是它们的数学表达形式完全相同. 如果抛开它们所代表的具体意义(瞬时速度和切线斜率)，则式(2-1-1)和式(2-1-2)所代表的数学意义完全相同，它们的共同实质都是求函数在一点的变化率，即当自变量的增量趋近于零时，求函数的增量与自变量的增量比值的极限. 在自然科学和工程技术中，还有许多问题的解决，如电流强度、角速度、线密度等，都归结为求函数的增量与自变量增量比的极限. 我们抛开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的实质，就可引出导数的概念.
图2.1
2.1.2 导数的概念
定义1 设函数 在点 的某一邻域上有定义，当自变量 在点 处取得一增量 ( ，且 仍在该邻域内)时，相应地，函数 也有增量
如果极限 (2-1-3)
存在，则称函数 在点 处可导，并称此极限值为函数 在点 处的导数，记作 ，或 ，即
也可以写成
或
实际上， 就是函数 在点 的变化率，它反映了函数 在点 处相对自变量 变化的快慢程度.
如果式(2-1-3)中的极限不存在，则称函数 在点 处不可导. 如果该极限为无穷大，那么导数也是不存在的，但有时为了方便，也称函数 在点 处的导数为无 穷大.
例3 求函数 在 处的导数.
解
若对于区间 内的每一个 ，函数 都可导，则称函数 在区间 内可导. 此时对应于 内的每一个 值都有一个导数值与之对应，这样便得到了一个新的函数，此函数称为函数 的导函数，简称导数，记为 ， 或 . 即
或
在以上引入导数概念的过程中，已经明确了导数的意义，现归纳如下.
(1)导数的物理意义是质点做非匀速直线运动时的瞬时速度. 若将路程写成时间的函数 ，则任意时刻 的速度为
(2)导数的几何意义是曲线在一点处切线的斜率. 即曲线 在点 的切线斜率为
(3)导数在数学上表示的是变化率. 设函数 ，则 在点 处的导数 反映了函数 相对自变量 变化的“快慢”程度，即变化率.
下面根据导数的定义来求一些简单函数的导数.
例4 求常数函数 的导数.
解 由于 恒等于常数，于是对于任意的 ，都有 ，因此
即常数的导数恒等于零.
例5 求幂函数 的导数.
解 由导数的定义
当 时， 是无穷小量，而由1.4节知， 与 是等价无穷小. 于是，
即幂函数的求导公式为
用此公式可以很方便地求出幂函数的导数. 如：
例6 求正弦函数 的导数.
解 根据导数的定义
即正弦函数的导数是余弦函数
类似地，可以证明，余弦函数的导数是正弦函数的负值，即
例7 求对数函数 的导数.
解 根据导数的定义
即对数函数的求导公式为
特别地，当 时，自然对数的求导公式为
例8 求指数函数 的导数.
解 根据导数的定义
当 时， 是无穷小量，而由1.4节知， 与 是等价无穷小. 于是
即指数函数的求导公式为
特别地，以 为底的指数函数的求导公式为
以上给出了几个基本初等函数的
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