前言
第一章 函数 1
第一节 集合——微积分的基础，数学大厦的基石 1
第二节 函数——微积分的研究对象，变量依赖关系的数学模型 5
第三节 初等函数 17
第四节 隐函数、参数方程确定的函数与极坐标方程确定的函数 35
第五节 常用经济函数 42
复习题一 45
附录一 一些常用初等代数公式及结论 47
附录二 一些常用的曲线及其方程 49
课外阅读(一) 55
第二章 极限 58
第一节 数列极限 58
第二节 数列极限运算法则 数列极限存在准则 71
第三节 函数极限——微积分研究问题使用的工具，变量无限变化的数学模型 81
第四节 函数极限的性质和运算 97
第五节 两个重要极限 106
第六节 无穷小的比较 116
复习题二 123
课外阅读(二) 125
第三章 连续函数 128
第一节 连续函数——具有特殊极限的函数类，变量连续变化的数学模型 128
第二节 连续函数的运算与初等函数的连续性 135
第三节 闭区间上连续函数的性质 138
复习题三 143
课外阅读(三) 145
第四章 导数与微分 147
第一节 导数的概念 147
第二节 求导法则与导数公式 162
第三节 高阶导数 172
第四节 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 179
第五节 函数的微分 186
复习题四 193
课外阅读(四) 194
第五章 微分中值定理与导数的应用 198
第一节 微分中值定理——导数的性质及应用 198
第二节 洛必达法则 210
第三节 泰勒公式 219
第四节 函数的单调性与极值 228
第五节 函数的*大值与*小值 237
第六节 函数曲线的凹凸性与拐点 241
第七节 渐近线、函数图形的描绘 247
第八节 曲率 253
第九节 导数与微分在经济中的简单应用 258
复习题五 268
课外阅读(五) 270
第六章 不定积分 275
第一节 不定积分——微分法则的逆运算 275
第二节 不定积分的换元积分法 282
第三节 分部积分法 301
第四节 有理函数的不定积分 306
复习题六 316
课外阅读(六) 317
参考文献 321
附录 积分表 322
内容摘要
第一章 函数
微积分研究的主要对象是函数，使用的主要工具是极限，研究问题所使用的主要方法是分类、类比，具体的内容就是通过极限这个工具对函数进行分类(无穷小类、无穷大类、连续类、可导类、可积类等).它与初等数学所研究函数的重要区别是:初等数学研究的大多都是具体函数的具体性质，如研究函数的单调性、奇偶性、周期性等，而微积分除研究具体函数的具体性质外，主要研究抽象函数的抽象性质，如连续性、可导性、可积性等.
古典数学与现代数学讨论问题的重要区别之一是:古典数学主要是在数集上讨论问题，而现代数学主要是在一般的集合上讨论问题.所以为了方便把古典数学的思想方法推广到现代数学上去，并且准确而深刻地理解函数概念，集合知识是不可缺少的.本章将简要地介绍集合的一些基本概念，并在此基础上重点介绍函数的概念.
第一节 集合——微积分的基础，数学大厦的基石
Sets—the foundation of calculus， the cornerstone of mathematics
一、集合 Sets
1.集合的概念 Concepts of sets
集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性.集合论的基础是由德国数学家康托尔(Cantor，1845—1918)在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的数学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位.可以说，当今数学各个分支的几乎所有结果都构筑在严格的集合论理论上.所以，学习高等数学，应首先从集合入手.
所谓集合(简称集)是指具有某种确定性质的对象的全体.组成集合的各个对象称为该集合的元素(element).
习惯上，用大写字母 A， B， C，表示集合，用小写字母 a， b， c，表示集合的元素.
用;用(或)表示.
例1某学校全体男同学组成一个集合 A，而该学校的每个男同学是集合的所有实根构成一个集合 B，而方程的每个实根是集合 B的元素.
例3全体偶数组成一个集合 E，而每个偶数是集合上所有的点构成一个集合 C，而圆周上的点是集合 C 合称为有限集(finite set)，如上述例题中的集合 A， B;含有无限多个元素的集合称为无限集(infinite set)，如上述例题中的集合 C， E.不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作
2.集合的表示方法
表示集合的方法通常有两种.一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内.例如，所有自然数组成的集合可以表示为 N，则 N 这种方法是用集合元素所具有的共同性质来刻画这个集合，即将具有性质.
例如，自然数集 N 数g;所有实数组成的集合可表示成为实数g.
又如例4中集合数g.
二、集合的运算
1.集合的运算
1)子集
图1-1
对于集合，若集合，则，这时就称 (subset)，记作，读作 (或).若，且存在，使得，则称 (proper subset)，记作集合.
全体自然数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，
全体实数的集合和全体复数的集合都是经常遇到的集合，我们
约定分别用粗体字母示这些集合，即N 用符号.表示“任意的”，符号.表示“存在”.例如，集合，可以表示为;集合，可以表示为.
正整数、正有理数和正实数的集合分别记为 Z+， Q+和 R+，显然有和.
若且，则称集合 A， B (equality of sets)，记作 A B.此时.设 (union set)，记作，即或.
它是将(图1-2).
3)交集
设是两个集合，称且为 A B (intersection set)，记作，即且.
它是由.
4)差集
设(difference set)，记作，即且.
它是由.
图1-2
图1-3
图1-4
例5 设，求.
解.
2.集合运算的性质
(1)交换律.
(2)结合律.
(3)分配律.
(4)幂等律.
(5)吸收律.
若，则.
特别地，由于，所以有.
三、区间与邻域 Intervals and neighborhoods
1.区间 Interval
在本书中经常遇到以下形式的实数集的子集——区间.为了书写简练，将各种区间的符号、名称、定义列表如下(表1)(且).
表1区间的符号、名称及定义
2.邻域 Neighborhood
设.数集表示为 U(a，δ)，即，
称为径.当不需要注明邻域的半径δ时，常把它表示为 U(a)，简称为 a (a，δ)，即，也就是在中去掉中心 a，称为 a 半径δ时，常将它表示为.
简称为的子集开区间的右半邻域，开区间称为合，下列式子中正确的是().
(A)(B)(C)(D)
2.数集还可表示为().
(A)去心邻域(B)邻域(C)开区间(D)开区间
3.下列集合是空集的是().
(A)(B)(C)(D)
4.设集合.
(A) (B)(C)(D)
5.用区间表示下列不等式的解:
(1);(2);(3);(4).
第二节 函数——微积分的研究对象，变量依赖关系的数学模型
Functions—the research object of calculus， the mathematical model of dependent relation between variables
在一个自然现象或技术过程中，常常有几个量同时变化，它们的变化并非彼此无关，而是互相联系的，这是物质世界的一个普遍规律.17世纪初，数学首先从对运动(如天文、航海问题等)的研究中引出了“函数”这个基本概念.在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.
一、
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