系统科学导引（第Ⅱ卷：系统科学的数学物理基础）

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北京东城

作者吴金闪著

出版社科学出版社

ISBN9787030607348

出版时间2019-03

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开本B5

定价128元

货号MJ_9787030607348

上书时间2026-08-04

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目录
第 II 卷系统科学的数学物理基础
序
前言
致谢
第六章线性代数 177
6.1 集合与映射的语言 178
6.2 从群到线性空间 181
6.3 线性算符 192
6.4 数值线性代数 203
6.5 矩阵微扰理论 208
6.6 作业 211
6.7 本章小结 212
第七章概率论 213
7.1 古典概型：离散概率与几何概率 215
7.2 现代概率三元体 215
7.3 条件概率与 Bayesian 公式 217
7.4 分布函数、矩和特征函数 222
7.5 中心极限定理 225
7.6 概率论的 Dirac 符号形式 227
7.7 随机过程初步 230
7.8 Monte Carlo 方法 236
7.9 随机变量的测量 240
7.10 统计学概览 242
7.11 作业 262
7.12 本章小结 262
第八章力学 265
8.1 力学思想 266
8.2 Newton 力学的基本概念 275
8.3 势函数、保守力与能量守恒 279
8.4 分析力学的技术 282
8.5 关于什么是科学的进一步讨论 290
8.6 作业 292
8.7 本章小结 293
第九章统计力学 295
9.1 从力学到统计力学 296
9.2 统计力学的基本理论：系综理论 300
9.3 相变与临界现象 306
9.4 Metropolis 方法 315
9.5 在物理学以及其他学科中的熵 321
9.6 从熵优选推导正则分布 321
9.7 作业 323
9.8 本章小结 323
9.9 本章技术性附录 324
第十章量子力学 327
10.1 量子系统的实验 329
10.2 量子系统的基本理论 335
10.3 写在量子力学后面的话 347
10.4 作业 348
10.5 本章小结 348
第十一章随机过程 351
11.1 Markov 过程 355
11.2 Langevin 方程：随机力 358
11.3 Master 方程与 Fokker-Planck 方程 366
11.4 Langevin 方程与 Fokker-Planck 方程的关系 370
11.5 平稳性 370
11.6 随机过程的模拟与计算 371
11.7 作业 372
11.8 本章小结 373
参考文献 375
名词索引 385
人名与常用翻译 391
插图 397
举例目录 399
第 I 卷系统科学概论
章引言：系统科学与科学 1
第二章一些具有系统科学特色的研究实例 47
第三章概念地图与系统图示法 121
第四章网络作为复杂系统的骨架 143
第五章为什么要学习数学和物理 153
第III 卷系统科学的基本理论
第十二章线性与非线性动力学简论
第十三章相变、临界性与自组织临界性
第十四章网络科学概论
第十五章广义投入产出分析
第十六章博弈论与演化博弈概论

内容摘要
本书以作者开设"系统科学概论"和"系统科学数理基础"两门课为基础。全书共三册，本书为第二册，介绍了系统科学的数学物理基础，包含群、线性空间的矢量和矩阵（抽象算符和表象）、概率、统计学、Dirac符号等，通过具体例子--量子力学的数学形式来看科学和数学的关系。还介绍来了物理学关于具体学科或者具体系统的知识应用于系统科学：统计物理学用于相变和多体系统的研究、量子力学应用于博弈论（知识与数学形式方面），量子力学与复杂网络（数学形式方面），等。

精彩内容
    在这一卷中，通过具体的数学物理的知识的学习，我们希望大家体会到：
    1. 数学是关于结构的科学，是思维的语言，物理学是在世界与数学结构之间建立起联系。在本书中，具体包含群、线性空间的矢量和矩阵(抽象算符和表象)、概率、统计学、Dirac 符号等，以及通过具体例子——量子力学——来看科学和数学的关系。
    2. 物理学的思想：理想化(抓住主要特征、主要问题)、模型化、数学化，追寻产生变化的原因，对统一的形式的追求，例如分析力学提供了力学的统一和更加方便的形式。
    将来在第Ⅲ卷中我们还会了解到：
    (1) 物理学关于具体系统的知识可以应用于系统科学。
    (2) 物理学的数学形式可以应用于系统科学。
    (3) 物理学的思维方式可以应用于系统科学。
    (4) 数学和物理学问题中发展出来的数值计算和数值模拟方法应用于系统科学。
    因此，在数学物理的学习过程中，要注意到这几个方面。
    如果你是数学、物理的学科背景，那么，这部分内容基本上就是你已经知道的知识的重新组织和重新理解。这已经是一个挑战。如果你的学科背景离数学、物理比较远，甚至可能离经济学等社会科学也比较远，那么，这部分将是一个更大的挑战。你需要学习新的知识的同时，做好对知识的理解和组织。不过，挑战才使得人生更有意思，不是吗？
    第六章线性代数
    矢量空间、线性变换和线性算符、线性方程与本征值问题、抽象矢量的 Dirac符号，是我们这本书中所有内容的基础。从算术计算到代数表达式，从代数表达式到具体的三维空间的变量，从具体的三维空间的变量到抽象的不一定在物理空间中的矢量，我们对于数学对象的描述是一个不断深入和不断抽象化、一般化的过程。同时，所有的数学计算到很后确实还需要具体的数字来代表。沟通这个从具体到抽象，再从抽象到具体的桥梁就是矢量空间和线性代数。
    前面我们已经在具体研究工作的例子里面看到，广义的投入产出 (包含PageRank 算法)的思想和技术实际上就是逆矩阵和本征值本征向量。我们通过邻接矩阵或者概率转移矩阵的乘法来表示间接联系。我们还在 word2vec 的例子里面看到，由于我们希望给一个词语一个可计算的数学表象，并且这个表象很好还能够做加减法，能够计算两个词语相似程度，我们用了矢量来表示。我们还会看到用矩阵和矢量来描述操作和状态的例子。例如，数学上如何建立一个计算如下过程的定态的表象：有两个盒子 A、B，里面分别放了红色 r、白色 w 两个球，然后，我们每次从每个盒子里面拿出来一个球，以 q 的概率交换，以 (1 . q) 的概率不交换两个球。以后我们会看到，这个问题将来会表达成为一个 Markov 过程状态转移矩阵的本征向量问题。大量的现象都可以用矩阵和矢量这个数学结构来表示。
    此外，数值线性代数也是其他所有计算技术的基础之一 (另外三个是 Monte Carlo 方法、神经网络和 FFT|| 快速 Fourier 变换)。如果你了解过高性能计算，你就会知道所有的高性能计算的软件基础都是 BLAS 和 Lapack 这两个线性代数包。
    这部分推荐阅读材料：Axler 的Linear Algebra Done Right [99]，居余马《线性代数》[100]，许以超的《线性代数与矩阵论》[101]，Artin 的Algebra [102]，吴兆颜的《高等量子力学》[103]，喀兴林的《高等量子力学》[104]。
    6.1 集合与映射的语言
    数学是关于思维和逻辑的学科，是思维和逻辑的语言。我们思考问题的时候，自言自语的时候，需要以我们的语言 (通常是母语) 作为外在的形式。但是，不同国家的人都可以用自己的语言来思考，说明不同的语言实际上都不是很终的形式，可以实现更深层次的统一。但是，当我们做逻辑思考的时候就不一样了，我们基本上用同样的语言：数学。在这里，我们没有再一次统一与翻译的过程。这个统一的符号形式、统一的研究形式，使得我们科学上的交流变得简单。在一个没有数学化的学科里面，很多概念的理解取决于阅读者的再解释。这个再解释，在艺术的层面固然是好的，但是在科学的层面，却不是好事。顺便，这个语言表象背后到底是否也能找到一个数学结构的问题本身，也是一个很有意思的问题。很有可能，这个背后的统一是一个概念网络 [15]。
    因此，学习数学，很很基本的目标是学到如何运用这个语言，让她成为所有学习者思考的基本媒介。其次，我们需要学会一些实现这个大目标 (把数学作为语言)的基石 || 基本的概念和这些概念的表达式，以及这些概念之间的关系。然后，我们需要学会一些计算技术。我们希望通过这部分数学的学习，读者除了学到以后学习其他科学的基础之外，还能够对数学的观念有所改变：数学是描述这个世界的结构的语言。
    我们先来看看我们很熟悉的自然数：随着描述对象的不同，自然数扮演的角色至少分以下几种 || 记号、排序、距离 (数量)。当我们描述的对象之间没有任何关系，仅仅表示它们是一个个体的时候，我们可以说某某东西是 1 号，某某东西是3 号等等。这个就是给这些东西一个名字。这个功能称为自然数的记号功能。这个时候 3 号物品和 1 号物品之间没有其他更深层的关系，例如是否 1 号的重要性大于 3 号，或者 3 号的价格等于 1 号的 3 倍。当物品之间确实有额外的关系的时候，他们对应的自然数的含义也就不一样了，有了可能超过记号的其他功能。例如我们教材上的定理 1 和定理 3，当然表示记号功能，第二通常还表示定理 1 需要先讲，定理 3 在逻辑上有放在定理 1 后面讲的需要。这个时候自然数还起到排序的作用。不过，这通常不意味着定理 1 和定理 3 之间的逻辑距离是定理 1 和定理 2之间的逻辑距离的两倍。因此，记号 1; 2; 3 之间不是等距离的。如果我们的物品之间还可以度量距离而不仅仅是先后关系，那么这个时候，自然数就有了更加丰富的含义。例如，当我们描述两地之间的空间距离，并且在每一个 10 公里的地方树立一块牌子来供行驶在两地之间的司机参考的时候，我们的每一个牌子不仅表示记号、序号，还表示 3 号牌子和 1 号牌子之间确实是 20 公里。
    在上面的例子中，我们的集合是相同的：自然数 N。但是，当用来描述物品的时候，在每一个对象集合上的含义是不一样的。那么，这个不一样是如何造成的呢？数学的语言告诉我们，这个不同之处在于集合上定义了不同的映射。种情况，这个集合的元素之间没有任何映射，也就是通常语言说的没有任何额外的关系。在第二个例子中，集合上定义了一种叫做序的映射 (实际上是从 N - N 到 f1;.1g 的映射，从 N - N 中取一个元素 (m; n)，如果 m > n 关系成立则取 1，否则取 .1)。这个时候，集合加上序的映射，就成了有序集，能够用来描述存在更深刻关系的物品了。在第三个例子中，集合上还定义了一种更复杂的映射元素之间的减法，也就是距离。减法这个运算是建立在 N-N 到 N 之间的。以后我们会介绍更多的细节，这里只要体会到集合与映射是数学的基本语言就够了。
    集合本身在数学的逻辑框架之中是不能通过其他数学结构来定义的，就是表示一个群体的对象。集合中的对象称为集合的元素。这个群体中的对象需要是明确的，也就是任意一个元素要么属于要么不属于这个集合。一般来说，还要求这个集合的元素是互异的、无序的。将来如果遇到需要描述相同的元素出现多次的情形，以及需要对元素排序的情形，都可以通过集合上的更多的结构也就是映射来描述。有了集合，我们来定义映射。
    定义 6.1 映射：集合 A 与集合 B 之间的关系 f，如果对于任意一个集合 A的元素 . 存在一个集合 B 的元素 ˉ，使得 f (.) = ˉ，就称为集合 A 与 B 之间的映射。
    这个关系利用通用的数学符号体系可以表达成 f jA!B : 8. 2 A; 9ˉ 2 B s:t: f (.) = ˉ，其中 f jA!B 表示集合 A 与集合 B 之间的关系 f，8 表示任意，9 表示存在，2 表示属于，s:t: 表示于是 (英文的 such that)。有了集合与映射，我们就可以建立更丰富的数学结构了。
    集合的运算，交、并、补，集合的卡氏积、幂集，都是很好重要的概念。我们假定读者已经学过，以后我们用得到的时候不再介绍。读者可以访问 Wikipedia 的“set” 词条，回忆一下这些概念。
    个我们要定义的映射是示性函数或者称为指示函数 (indicator function)，记为 IA (x) 或者直接 IA。定义这个映射需要三个集合：大集合 X，X 的某个子集A，以及集合 f0; 1g。IA 要完成的事情是：给定任何一个 X 中的元素 x，我们想知道这个 x 是否属于 A。IA 是一个从集合 X 到集合 f0; 1g 的由子集 A 所诱导出来的如下映射，