现代数学基础 24 : 变分学讲义

图书标准信息

• 作者 张恭庆 著
• 出版社 高等教育出版社
• 出版时间 2011-06
• 版次 1
• ISBN 9787040319583
• 定价 49.00元
• 装帧 平装
• 开本 16开
• 纸张 胶版纸
• 页数 319页
• 字数 350千字
• 正文语种 简体中文
• 丛书 现代数学基础

【内容简介】

变分学是数学分析的一个重要组成部分，是一门与其他数学分支密切联系、并有广泛应用的数学学科。近几十年来，变分学不论是在理论上还是在应用中都有了很大发展，与数学其他分支的联系也更加紧密，已经成为大学数学教育不可缺少的部分。
《变分学讲义》是作者在北京大学为高年级本科生和低年级研究生开设“变分学”课程所用的讲义。全书共二十讲，分为三大部分：第一部分（一到八讲）是经典变分学的基本内容，第二部分（九到十四讲）重点介绍直接方法及其理论基础，第三部分（十五到二十讲）是专题选讲。其材料的选取，内容的编排，问题与概念的表述，以及证明的分析与讲解均极具特色。
《变分学讲义》适用于数学及相关专业的本科生、研究生、教师以及研究人员，也可供工科、经济学、管理学等专业的教师和学生使用参考。

【目录】

前言
第一讲变分学与变分问题
§1.1前言
§1.2泛函
§1.3典型例子
§1.4进一步的例子

第二讲euler-lagrange方程
§2.1函数极值必要条件之回顾
§2.2euler-lagrange方程的推导
§2.3边值条件
§2.4求解euler-lagrange方程的例子

第三讲泛函极值的必要条件与充分条件
§3.1函数极值的再回顾
§3.2二阶变分
§3.3legendre-hadamard条件
§3.4jacobi场
§3.5共轭点

第四讲强极小与极值场
§4.1强极小与弱极小
§4.2强极小值的必要条件与weierstrass过度函数
§4.3极值场与强极小值
§4.4mayer场，hilbert不变积分
§4.5强极小值的充分条件
§4.6定理4.4的证明（n]1的情形）

第五讲hamilton-jacobi理论
§5.1程函与caratheodory方程组
§5.2legendre变换
§5.3hamilton方程组
§5.4hamilton-jacobi方程
§5.5jacobi定理

第六讲含多重积分的变分问题
§6.1euler-lagrange方程的推导
§6.2边值条件
§6.3二阶变分
§6.4jacobi场

第七讲约束极值问题
§7.1等周问题
§7.2逐点约束
§7.3变分不等式

第八讲守恒律与noether定理
§8.1单参数微分同胚与noether定理
§8.2能动张量与noether定理
§8.3内极小
§8.4应用

第九讲直接方法
§9.1dirichlet原理与极小化方法
§9.2弱收敛与弱收敛
§9.3弱列紧性
§9.4自反空间与eberlein-schmulyan定理

第十讲sobolev空间
§10.1广义导数
§10.2空间wm，p（ω）
§10.3泛函表示
§10.4光滑化算子
§10.5sobolev空间的重要性质与嵌入定理
§10.6euler-lagrange方程

第十一讲弱下半连续性
§11.1凸集与凸函数
§11.2凸性与弱下半连续性
§11.3一个存在性定理
§11.4拟凸性

第十二讲线性微分方程的边值问题与特征值问题
§12.1线性边值问题与正交投影
§12.2特征值问题
§12.3特征展开
§12.4特征值的极小极大刻画

第十三讲存在性与正则性
§13.1正则性（n=1）
§13.2正则性续（n]1）
§13.3几个变分问题的求解
§13.4变分学的局限

第十四讲对偶作用原理与ekeland变分原理
§14.1凸函数的共轭函数
§14.2对偶作用原理
§14.3ekeland变分原理
§14.4fr'echet导数与palais-smale条件
§14.5nehari技巧
第十五讲山路定理及其推广与应用
§15.1山路（mountainpass）定理
§15.2应用

第十六讲周期解、异宿轨与同宿轨
§16.1问题
§16.2周期解
§16.3异宿轨
§16.4同宿轨

第十七讲测地线与极小曲面
§17.1测地线
§17.2极小曲面

第十八讲变分问题的数值方法
§18.1ritz方法
§18.2有限元
§18.3cea定理
§18.4最优化方法——共轭梯度法

第十九讲最优控制问题
§19.1问题的提法
§19.2pontryagin极大值原理
§19.3bang-bang原理

第二十讲有界变差函数与图像恢复
§20.1一元有界变差函数的回顾
§20.2多元有界变差函数
§20.3松弛函数
§20.4图像恢复与rudin-osher-fatemi模型
参考文献
索引