现代数学基础 19 ：偏微分方程

图书标准信息

• 作者 孔德兴 编
• 出版社 高等教育出版社
• 出版时间 2010-09
• 版次 1
• ISBN 9787040304480
• 定价 45.30元
• 装帧 平装
• 开本 16开
• 纸张 胶版纸
• 页数 269页
• 字数 320千字
• 正文语种 简体中文
• 丛书 现代数学基础

【内容简介】

《偏微分方程》共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（openproblem）”。这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。
《偏微分方程》可作为高等院校数学系学生的教材，也可供数学、力学和物理学等相关专业的工作者参考。

【目录】

第一章绪论
1常用符号
2基本概念
3一些例子
4纵览

第二章一阶方程
1一个简单线性方程
1.1解析求解：特征线方法
1.2近似求解：有限差分方法
2一类简单拟线性方程
2.1Burgers方程
2.2一般情形
2.3导数的突变和破裂时间
3拟线性方程的几何理论
4拟线性方程的Cauchy问题
4.1Cauchy问题
4.2局部解的存在性
4.3解的存在唯一性条件
4.4一种特殊情况：线性偏微分方程
4.5高维情形
4.6例子
5一阶偏微分方程组
5.1一阶线性偏微分方程组
5.2一阶拟线性偏微分方程组
6总结与思考

第三章具有两个自变量的二阶偏微分方程
1拟线性二阶方程的特征
2奇性的传播
3二阶线性方程的标准形
4一维波动方程
5总结与思考

第四章波动方程
1一维波动方程：方程的导出及定解条件
1.1方程的导出
2.1定解条件
2一维波动方程：Cauchy问题
2.1叠加原理
2.2齐次化原理
3一维波动方程：初边值问题
3.1分离变量法
3.2非齐次方程
3.3非齐次边界条件
4高维波动方程的Cauchy问题
4.1高维空间中的波动方程
4.2定解条件
4.3球平均法
4.4Hadamard降维法
4.5非齐次波动方程Cauchy问题的解
5波的传播
5.1基本概念
5.2波的传播：Huygens原理与波的弥散现象
5.3解的衰减
5.4解的正则性
6一般的Cauchy问题与初边值问题
6.1一般的Cauchy问题
6.2初边值问题
7能量不等式
7.1动能和位能
7.2初边值问题解的唯一性与稳定性
7.3Cauchy问题解的唯～性与稳定性
8总结与思考

第五章热传导方程
1热传导方程的导出及其定解条件
1.1方程的导出
1.2定解条件
2Cauchy问题
2.1Fourier变换
2.2Cauchy问题的求解——Fourier变换法
2.3解的存在性
3初边值问题
4极值原理
4.1极值原理
4.2初边值问题
4.3Cauchy问题
5Li-Yau估计与Harnack不等式
6渐近性态
6.1初边值问题
6.2Cauchy问题
7总结与思考

第六章Laplace方程
1方程的导出及定解条件的提法
1.1方程的导出
1.2定解条件
2变分法
2.1变分问题与Euler-Lagrange方程
2.2变分原理
2.3变分问题与定解问题的求解
3调和函数
3.1Green公式
3.2基本积分公式
3.3基本性质
3.4极值原理
3.5Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性
4Green函数
4.1引进Green函数的动机及其基本性质
4.2镜像法
4.3解的验证
5调和函数（续）
6强极值原理
6.1强极值原理
6.2应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性
7总结与思考

第七章拟线性双曲守恒律方程组初步
1拟线性双曲守恒律方程组
1.1基本概念
1.2例子
1.3解的破裂
2间断解
2.1解的定义
2.2Rankine-Hugoniot条件
2.3熵条件
2.4Riemann问题
3非线性波：经典解情形
3.1疏散波与压缩波
3.2应用实例——追赶问题
4非线性波：间断解情形
4.1单个守恒律
4.2激波的形成与传播
4.3Riemann问题（续）
5总结与思考

第八章Cauchy-Kovalevskaya定理
1准备知识
1.1多重无穷级数
1.2实解析函数
1.3实解析函数（续）
2Cauchy-Kovalevskaya定理
2.1Cauchy-Kovalevskaya定理
2.2Cauchy-Kovalevskaya定理的证明
3一些注记
附录一Fourier反演公式
附录二Li-Yau估计
参考文献