【9成新】【良好】美丽的数学

自序 

乐趣 
数学，有趣而美妙。在不同门类的学科里，都有人们熟悉的“代表作”。美术有《蒙娜丽莎》，戏剧有《哈姆雷特》，生物学有遗传DNA，考古学有对罗塞塔石碑的破译，物理学有方程式E = mc2。但是，数学方面很难说得明确——我想要与您分享的正是我自己钟爱的那些数学经典。 
正如拥有大量馆藏的美术博物馆只能展览部分作品一样，作为这本书的“馆长”，我也只能精心选出部分内容呈现在这里。 
没有人要求我只能展示一枚数学珍宝，不过要真是那样，我也有自己的选择，那就是：对质数有无限多的证明。而这也勾勒出我对这本书的主题进行取舍的原则： 
如果你不是数学家，恐怕会感到陌生。读者或许听说过质数这个概念，但恐怕没有思考过“到底有多少个质数？”这个问题。 
强调证明（proof）这个概念，特别是利用反证法（proof by contradiction）去证明。 
不需要大学程度的数学能力，只要利用高中生常用的数学工具，我们就可以解决书中所有的问题。 
答案不是很明显，而且会带给你惊喜——我们很容易理解有无数的偶数和正方形，质数的排列却并不存在一个清晰的定式，但是你会惊讶地发现，只需要一个简单的理由，就能必然推导出质数有无限多的结论。 
存在着实际的应用：质数的这一特性被密码学所运用。 
尽管本书所涉及的各类专题不一定同时具备上述全部特征，但每一章都将包含数学的神奇之处，肯定能够让读者感到惊讶和好奇。 
1940年，英国数学家戈弗雷? H. 哈代（ Godfrey H.Hardy）出版了《一个数学家的辩白》（ A Mathematician’s Apology），从他的个人角度阐释了毕生数学研究的正当理由。在他的《辩白》中，哈代解释了自己所经历的喜悦和满足。不过解释数学带来的喜悦就如同想要解释游泳带来的乐趣：除非一个人可以漂浮一小会儿，并在清凉的水中扑腾几下，否则很难理解游泳的乐趣。 
我担心许多人所接受到的数学教育是枯燥和乏味的。想象一下，如果孩子们的阅读教育主要集中在学习拼写和标点符号上，而不是阅读《哈利?波特》或者着手创作属于自己的故事，那么这几乎很难激发起学生对于文学的热爱。 
以下是一些人可能会对自己所接受的数学教育所进行的滑稽描述： 
在小学时，我有10个橘子，但有人拿走了3个。他们为什么这么做？我本来也会分享的啊。 
在初中时，我找到了公分母，以及百分比。 
在高中时，我学到了二次方程式，我仍然可以背出来 ——但是我不知道这有什么意义。 
当然，数学有很强的实际应用价值，但数学也有其深刻的美。我们的目标就是与读者们分享一点这样的美好。 

概述 
数学是关于数字和形状的研究。因此，我选取了这两个概念作为本书前两部分的主题。 
在部分“数”中，我们将探索一些特定数字（如 和e）以及数列（如质数和斐波那契数列）。我们为读者准备了很多惊喜，例如一个无穷（infi nity）怎么样可以比另一个无穷“更加无穷”，以及为什么有更多的数字以1开头，而不是9。 
在“形状”部分，我们将见到一些熟悉的朋友（如三角形和圆形），还有三维图形（柏拉图式立体）和大于一维但小于二维的形状（分形）。还有许多惊喜在前方等着你。例如，我们很容易理解该如何用正方形或正六边形来铺地板，但其实使用正五边形也“可能”做到。你感到惊讶吗？好奇吗？这是我所希望见到的。 
我们以“不确定性”作为本书的终部分，探讨随机的、不可预知的和违反常理的问题。高精度的医学测试给出的结果为何通常是错误的呢？排名有没有意义？当两名以上候选人竞选时，选举公职人员的“”方式是什么？与前面的内容一样，惊喜依旧在向你招手。 
这本书里的每一章都是独立的，你可以按任何顺序随时阅读。内容的难度各不相同，暂时跳过更具挑战性的部分，等稍后再重新拾起，也是不错的选择。 

如何阅读一本数学书 
慢慢来。本书中的章节都很短，但需要时间和精力来掌握这些观点。我经常给出一些计算或代数来支撑各个要点，读者可以通过铅笔和稿纸分步骤进行运算，以便更好地了解整个过程。有时也可能需要重读几遍材料才能搞明白。 
如果可能，请不要独自阅读本书。叫上一个朋友，一起讨论书中的观点。为了让朋友理解你的观点，你必须要认真复述书中的内容，这将有助于你对这些概念的理解。 
在每一个章节中，比较复杂的观点都安排在后面。因此，如果读到一半你感觉“已经差不多了”，那么也可以开始阅读另外一章。

一个图形怎么才能有多于一个但又少于两个面？ 
一个高度精确的医药测试，有可能更容易得出错误的结论吗？ 
如果只能看到销售数据的*位数字，你怎么才能知道你的会计是不是在说谎？ 
…… 
在我们的生活中，数学无处不在，真实、有趣而美妙。当你开始用数学的眼光去观察世界，生活或许会变得更加简单而确定，你准备好了吗？ 
爱德华?沙伊纳曼，“沙伊纳曼定理”的命名人，知名的数学家和教育家，会在这本书中帮我们发现和解答身边有趣的数学问题，带领我们走进那个关于数字、图形和不确定性的美丽新世界。