有趣的数学阅读课

“好玩”的数学阅读课
叶圣陶先生说:“教师教各种学科，其终目的在达到不复需教，而学生能自为研索，自求解决。”培养学生的自主学习能力，使学生由“学会”走向“会学”，是教师不断追求的目标，也是当前新课程改革的明确要求。阅读理解能力是学生自学能力的基础，培养学生自学能力的关键就是教会学生阅读。因此，数学阅读是学生自主获取数学知识，形成数学核心素养的一种非常重要且有效的途径。
但调查发现，一线教师要么对数学阅读的认知度不够，认为阅读可有可无，要么总担心学生的理解能力弱，自主学习能力差，不敢放手让学生通过自主阅读来获得新知，而是习惯于把教材中的精髓挖掘出来，又通过自己的理解传递给学生，进而忽视对学生阅读数学教材能力和习惯的培养，似乎阅读数学教材仅仅是老师的事儿。该学生阅读的时候，不是被教师的讲解代替，就是被电脑课件的演示代替，学生自主阅读的机会太少。不知不觉中，那些本应该在阅读过程中形成的阅读能力和思考能力，在教师的越俎代庖中渐行渐远，自学能力的培养更是无从谈起。
对学生调研后发现，在独自面对数学题时，学生要么还没看清题目就开始做题，要么“一目十行”式地草草阅读，读不出关键词，读不出数量间的关系，读不懂题意。许多学生都是因为看错或者看漏题目中的数学信息而导致题目做错。调研还发现，与语文、英语、科普等的课外阅读类书籍相比，面向小学生的课外数学阅读书籍相对较少，且不太适合学生分年级阅读。加之数学阅读材料大都是文字、图形、符号、表格的结合体，具有严谨性、抽象性等特点，阅读内容很多时候和生活的关联性不强，阅读起来比较枯燥、难懂，所以多数学生对数学阅读不感兴趣，缺乏阅读欲望。
总体而言，小学数学课程的思维要求比较高，知识结构严谨抽象，常常给人一种“高冷”的感觉，加之数学教学依然侧重于知识技能的传授，大量充斥着“训练性学习”，做题几乎成了学生数学学习的方式。这种“印象”和做法，对于发展学生的数学素养、丰富学生对数学的积极情感体验是不利的。
因此，教小学生学习数学，除了在平时的教学中重视指导学生阅读数学教材之外，有必要开发出一系列的数学阅读材料，并通过专门的数学阅读课培养学生对数学阅读的兴趣，指导学生数学阅读的方法，从而有效发挥数学阅读的教育功能，提高学生的自主学习能力。
数学阅读课是旨在让小学生体会“数学好玩”，增强其学习数学的兴趣，促进数学阅读能力的提升，提高自主获取数学知识的能力而开发的一种数学课堂教学新课型。“数学阅读课”课程的价值取向是兴趣、过程和体验，即立足展现数学课程“有趣”“好玩”的一面，丰富学生对数学学科和数学学习的认识，拓宽学生的数学视野，感受数学的魅力，让学生在数学阅读与思考中体会“数学好玩”；立足于让学生在数学阅读过程中积累数学活动经验，增强数学阅读能力，提升数学思维品质，发展数学核心素养。
一、数学阅读课的设计原则
1.数学阅读课追求“数学好玩”
“数学好玩”是数学大师陈省身先生为少年儿童的题词。数学阅读课注重挖掘数学的趣味性和奇妙性，精心选取学生感兴趣的，能启发思考、开阔视野的学习材料，让学生边阅读边思考，在思考中体会“数学好玩”，在阅读中开阔眼界，增长见识。
比如，在学习“比的认识”时，笔者设计了以“妈妈为什么喜欢穿高跟鞋”为核心问题的数学阅读课，让学生在阅读、思考、交流中了解“爱美的妈妈穿高跟鞋是为了延长双腿长度，使其与身高的比例趋于黄金比0.618︰1”。数学阅读使枯燥的数学知识和生活实际联系在一起，学生对知识的理解就更透彻，对数学价值的体会就更深刻。
再如，学习“因数与倍数”时，笔者开发了“猜数游戏”的数学阅读课，不仅在游戏中培养了学生的推理能力，更因其在游戏中学习，令学生着迷不已，“猜数游戏”竟成了学生在课间玩耍时乐此不疲的玩乐节目。有了这样的乐趣体验，喜欢数学的情感种子就在学生的内心扎下了根。
2.数学阅读课要把握好数学阅读的特点
“数学阅读课”课程的内容选择、材料设计和教学实施都要把握好数学阅读自身的特点，遵循其内在规律。数学阅读是指围绕数学文字、公式、图形、符号、表格等数学材料，以数学思维为基础和纽带，用数学的方法、观念来认知、理解、汲取知识，感受数学文化的学习过程。由于数学语言的抽象性与严谨性，数学阅读具有自身的特点：
其一，数学阅读材料是由数学语言构成的。数学语言不仅包含文字语言，还包含符号语言和图形语言，具有简洁、抽象和准确的特点。因此，很多学生即便能看懂阅读材料，也不一定能解决问题。在数学阅读时，必须了解数学材料中出现的每个数学术语和数学符号的精确含义。如果忽视或略去某一个字词，意思很可能就大相径庭了，比如“增加了8米”和“增加到8米”、“剪去米”和“剪去”等。因此，阅读数学材料一定要咬文嚼字地阅读，不能一目十行、囫囵吞枣地阅读。
其二，数学阅读着眼于问题解决。语文阅读通常需要学生理解作者的思想情感，并学习遣词造句；英语阅读通常需要学生掌握必要的词汇和搭配，并理解文章意思；数学阅读从本质上来讲是一种思维活动，往往更多地着眼于通过阅读解决问题，这也是数学阅读核心的特征。学生数学阅读能力的培养，应定位于从思维层面理解材料所要表达的信息，包括但不限于数量之间的关系、数学概念与性质、图表等。
其三，数学阅读需要进行“内部言语转化”。数学阅读过程就是理解和领悟数学语言的过程，包括丰富多彩的符号语言、严谨规范的文字语言、内涵深刻的图形语言等。在数学阅读时，不能只用眼睛浏览，大脑必须建立起灵活的语言转化机制，即把抽象、难懂的阅读内容转化为易于接受的语言形式，比如，把数学术语转化成生活化的语言，把文字语言转化为简洁的符号语言或直观的图形语言，将严谨抽象的数学问题“换种说法”等，养成读中去想、想中去读的习惯。
3.数学阅读课要“以学习为中心”
数学阅读课以“问题引领式的阅读单”为载体，让学生通过自主阅读、自主探索、自主思考、互动交流等方式学习数学、探索数学，其实质是学生在教师的指导下在课堂内进行的自主探究学习。因此，数学阅读课的教学实施必须坚持“以学习为中心”。首先，教师要发自内心地把学生作为数学研究者对待，给学生的阅读、探究、交流留出充足的时间和空间，鼓励学生独立阅读、多遍阅读，不要轻易干预学生的阅读学习过程。其次，要设计好富有启发性的“问题串”，以疑导读。“学起于思，思源于疑。”学生在启发性问题的驱动下，在阅读、实践、探索、思考、交流中逐步摸索，尝试解决问题。后，重视同伴间的数学交流。特别是当学生在研究过程中“一筹莫展”之时，经过教师的引导、同学之间的交流，使问题得到解决，能使学生品尝到独立阅读的快感与解惑之后的成就感，促使学生养成自主阅读、主动学习的良好习惯。
二、数学阅读课的内容设置
数学阅读是对数学材料进行数学化分析（信息提取、转译、内化），形成并表达自己数学观点的过程。在这个过程中包含多项数学能力，如获取并整理数学信息的能力、发现并提出问题的能力、数学建模的能力、数学抽象推理能力、数学运算能力等，这些能力统称为数学阅读能力。因此，“数学阅读课”涉及的内容不应局限于传统意义上的读教材、读解题过程、读数学家的故事等，而应当包括蕴含数学知识、思想方法和数学文化的文字、符号、图画、表格等阅读材料。笔者在教学实践中将以下几个方面作为“数学阅读课”课程内容选择的重要源泉。
1.精选适合学生自学的教材内容
教材经过编写者的深入研究，是国家审核通过的，具有权威性、科学性，也具有一定的可读性。因此，要重视学生对数学教材的阅读和理解，充分利用好教材的阅读价值。
比如，“正比例”的教学过程中，笔者所在学校使用的北京版教材内容丰富、图文并茂、层次清晰，有利于学生在比较、辨析中理解正比例的意义，比较适合学生自学。笔者采取“先自学后交流”的方式进行教学，并有意识、有针对性地渗透阅读方法指导，设计自学导语如下。
（1）自学课本时有什么看不懂、想不明白的地方吗？请在书上标注，并写出自己的疑问。
（2）想一想：例2中“路程与时间”的关系和例1中“年龄与身高”“月份与气温”的关系相比，有什么相同点和不同点？
（3）在书上圈画出“正比例关系”的含义，你能概括出正比例关系需要符合哪几个条件吗？
在学生充分自学教材的基础上，组织学生交流，教师在学生困惑处释疑，在知识关键处追问，并引导学生学会从教材中寻找答案，学会用自己的话去解释抽象的数学语言。在这个学习过程中，学生不仅对“正比例”概念有了比较通透的理解，数学阅读能力和自学能力也得到了提高。
2.将教材中编排的“你知道吗”等内容适度拓展
随着课程改革的深入推进，数学的文化价值越来越被重视。纵览各个版本的小学数学教材，教材编写者不仅在知识的编写中有意识地渗透数学文化，还专门开辟了“你知道吗”栏目进行显性体现，具体内容有数学史料、数学背景知识、数学的生活应用、数学家的故事等，以激发学生学习数学的兴趣，开阔学生的视野，引导学生感受数学文化的魅力。但因为篇幅受限，多是“点到为止”。笔者将“你知道吗”内容作为课程资源进行适度改造、拓展延伸，以期发挥其更大的教育价值。
比如，教学“因数与倍数”单元时，笔者开发了“‘哥德巴赫猜想’与‘陈氏定理’”的数学阅读课，让学生了解数学之史，领略数学之美，感受数学之用。
课始，先给学生介绍“哥德巴赫猜想”：任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和。然后让学生验证这个猜想对不对，如10=（　　） （　　），18=（　　） （　　）。
接着介绍“陈氏定理”：
200多年来，许多数学家一直努力想证明它，但都没有成功。“哥德巴赫猜想”由此成为“数学皇冠”上一颗可望而不可即的“明珠”。
目前的证明结果是中国数学家陈景润于1966年证明的“1 2”，即“陈氏定理”：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数加上一个或为素数，或为两个素数的乘积的形式。通常把“陈氏定理”简称为
N=1 2。比如，60=2 2×29或60=3 3×（　　）或60=5 （　　）×（　　）。
然后让学生尝试举例验证陈景润的研究成果，如30=（　　） （　　）×（　　），50=（　　） （　　）×（　　）。
在一个个挑战性问题的驱动下，学生经历了再发现、再创造的过程，不仅发展了思维，收获了数学活动经验，更是通过阅读和切实体验，拓宽了视野，了解了数学家与数学名题，对数学家们孜孜不倦的研究精神有了深刻体会，无形中塑造着学生的人生观和价值观。
3.补充一些有价值、可探究的课外阅读材料
要真正实现“数学好玩”，一方面，做好学生调研，寻找学生对什么内容感兴趣，阅读课内容的选择和时间的安排都应基于学生调研的结果；另一方面，做好数学内容的研究，把握好内容的本质。把这两方面结合起来就是所谓的“玩到点子上”了。
“数学阅读课”课程实施以来，笔者挖掘、开发了诸多令学生“乐不思蜀”的课程内容。比如，你也能当福尔摩斯、神奇的“数字黑洞”、神奇的“走马灯数”、冰雹猜想、神奇的杨辉三角、阿基米德巧破王冠案、奇妙的回文数、古人是怎样探究圆周率的等。
三、数学阅读课的课堂实施
数学阅读课的课堂实施，功在课前，即研究组织内容，精心设计阅读学习单。“数学阅读单”的设计是上好数学阅读课的基础，也是决定阅读课教学效益高低的关键。教师应隐在课中，即突出学生的阅读和探索，突出学习的自主和体验，不轻易干预；导在学后，即学生交流时适时进行必要的指导、点拨与提升，并将学习内容向课外延伸，拓展数学学习的时间和空间。
1.精心设计“数学阅读单”
数学阅读是思考性阅读，着眼于通过阅读解决问题。“数学阅读单”的设计要蕴含丰富的实践探究性和驱动力，要有利于学生以内容为载体去进行操作、尝试并产生顿悟。
“问题是数学的心脏”。“数学阅读单”的基本特征就是问题驱动，以疑导读。阅读单既要充分体现“导”的功能，又要给学生留出一些思考空间，比较适合阅读。要把阅读材料精心设计成“问题串”，让学生带着问题和任务去阅读，去思考，去计算，去探索，寻找问题的答案。学生进行数学阅读的过程就是在经历“猜想—验证—再猜想—再验证”的问题探究过程，就是在经历“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，从而获得深层次愉悦的心理体验过程。
需要指出的是，“数学阅读单”中的“探究任务”不同于常规课中的课堂练习。教学活动设计也不是师生之间的频繁互动和教师不时地讲解点拨，而是给学生提供充足的自主阅读、自主探究的时间和空间，教师尽量不干预。
2.数学阅读课的基本流程
一般地，数学阅读课的教学流程如下：
创设情境，激发兴趣—自主阅读，尝试探究—互动对话，交流提升。
（1）创设情境，激发兴趣。
学生一旦对学习产生了兴趣，各种感官易处于活跃状态，从而为参与学习提供极佳的心理准备。为此，在数学阅读时，教师必须根据学生的年龄特征和个性特点，创设新颖有趣、富有启发性的情境，激发和保持学生的阅读兴趣。例如，教学“冰雹猜想”一课时，笔者以“一则真实故事”引入：
1976年的一天，美国著名的《华盛顿邮报》在头版头条的显著位置罕见地报道了一条数学新闻：目前，美国各所大学的大学生和老师们都像发了疯一般，正在废寝忘食地玩一种数学游戏。什么游戏这么吸引人呢？这个游戏规则十分简单：先任意写出一个自然数，如果是单数，就将它乘以3再加1；如果是双数，则将它除以2。
为什么这个游戏这么吸引人呢？因为人们发现，对于任意一个自然数，按照上述这个规则重复进行下去，终是在4→2→1中循环。也就是说，无论什么数，只要按照这个规则计算下去，后一定会掉入“数字黑洞”1。
这个问题情境给学生带来了强烈的探究欲望和丰富的实践探究空间，他们开始认真阅读文本，寻求其中的奥秘。
（2）自主阅读，尝试探究。
学生的兴趣被激发起来后，就要给学生提供广阔而自主的探究空间。教师要真正转变为一个组织者和指导者，放手让学生自主阅读“数学阅读单”。阅读单上层层递进的“问题串”帮助学生真正进入思维状态，学生边阅读、边思考、边计算、边猜测、边推理，在不断摸索中寻找答案。以笔者执教的一节阅读课“数的积偶性”为例，学生在如下“阅读单”的导引下自主阅读。
有人经过观察、思考，对自然数的奇偶性提出了如下猜想：
猜想一：奇数 奇数=偶数。
猜想二：偶数 偶数=偶数。
猜想三：奇数 偶数=奇数。
他的说法对吗？你可以分别举例子验证一下。
验证猜想一： 
验证猜想二： 
验证猜想三： 
接下来的一个问题又将学生的思维引向了深入：
同学们，刚才我们研究的是“和的奇偶性”，那么，“积的奇偶性”又会是怎样呢？你有什么猜想吗？请写下来。
你的猜想对不对呢？请举例验证一下。
如果你暂时没有“猜想”，也没关系！有人提出了下面的猜想，他说的对吗？请你验证一下吧。
猜想一：奇数×奇数=奇数。
举例验证： 
猜想二：偶数×偶数=偶数。
举例验证： 
猜想三：奇数×偶数=奇数。
举例验证： 
然后，再次设疑：
假如有任意多个非零整数相乘，其中一个因数是偶数，积一定是（　　）数。（猜想四）
比如：1×3×11×5×4，积=（　　），是（　　）数。
你能再举个例子验证一下你的猜想吗？
想一想：你明白上面猜想四中的道理吗？请写下来。
   
在上述过程中，学生在富有挑战性和启发性的问题的驱动下，积极思考，大胆猜想，小心求证，经历了一次难忘的自主探究之旅。
（3）互动对话，交流提升。
面对客观存在的学生差异，数学阅读课的目标设计是高弹性的，而不是教学要求的整齐划一，这样才能满足学生的个性化学习需求。要允许有的学生课内完不成阅读任务，有的学生课内完成后可以去帮助同伴，有的学生可以把阅读研究延伸到课外。教学中，要充分利用学生间的差异，重点组织两轮次的学习交流。轮是让学习进度较快、率先完成阅读任务的同学充当“小老师”，协助老师指导、帮助个别有困难的学生，这个互动学习的过程是“兵教兵”的过程。第二轮是全班交流学习。师生、生生多边互动的对话与交流，是彼此想法的碰撞、吸纳与提升。教师要担当好“画龙点睛”的重任，并努力把学生的研究向课外延伸。
以“冰雹猜想”为例，笔者在临近下课时对学生再次启发诱导：
英国剑桥大学教授约翰•何顿•康威找到了一个自然数27……如果按照上述方法进行运算……达到谷底值1。全部的变换过程需要111步……爱动脑筋的你有没有兴趣在课外试一试，让27掉入“数字黑洞”1？
截至目前，还没有人能够证明“冰雹猜想”……数字1是否是吸引所有自然数的黑洞呢？这个难题期待着有人去解开谜底。亲爱的同学们，你们有兴趣去研究吗？
课后，果真有不少学生还在继续兴趣盎然地开展研究，他们花费近2个小时，在A4纸上写下了整整111道数学算式，在研究实践中收获了学习活动本身所带来的乐趣体验。
四、数学阅读课的实践收获
数学阅读课是为了让学生更好地学习、理解和感受数学而设计的，经过几年的教学实践，其成效已初步显现。学生们在阅读中开阔了数学视野，感受到了数学知识的博大精深和魅力所在，学习数学的兴趣也越来越浓，对数学阅读课更是充满了喜爱与期待：“老师，这样的数学课，我好喜欢！”“老师，什么时间再上数学阅读课呀？”“老师，下学期还会有数学阅读课吗？”……
实践也充分表明，当学生因数学学习而着迷时，一切皆有可能！

《有趣的数学阅读课：给小学师生的阅读指南》是小学数学特级教师牛献礼基于自己多年的创意教学实践，设计了56节适合四至六年级学生学习的数学阅读课，展现了数学课程“有趣”“好玩”的一面，让学生始终保持对数学世界的好奇心和求知欲，丰富学生对数学学科和数学学习的认识。孩子们在阅读中开阔了数学视野，感受到了数学知识的博大精深和魅力所在，提高了学习数学的兴趣。每节阅读课均有阅读指导要点提示和完整的阅读单，详细呈现了数学阅读课的课程设计理念与教学操作流程，方便小学师生借鉴和使用。

牛献礼，正高级教师，河南省特级教师，北京市特级教师，南宁师范大学兼职教授，北京市经济技术开发区“亦麒麟”人才，北京市大兴区“新国门”领军人才。曾获全国小学数学第四届评优课一等奖，应邀在中国教育学会小学数学教学专业委员会第十五届年会上执教观摩课，在省级以上教育期刊上发表教学设计、案例等300余篇，出版个人专著《我在小学教数学》《让学习真正发生》等。

56节数学阅读课，让学生体会到原来数学这么有趣、好玩

☆小学数学特级教师牛献礼力作。
☆基于作者多年教学实践，用心“做”出来的一本教师参考书和学生阅读指南。
☆集趣味性和生活化于一身，重视学生感受，发展学生的数学核心素养。
☆既有知识链接的引领，又有完整的阅读单，便于学习借鉴，可现学现用。 

 小学数学特级教师牛献礼基于自己多年的创意教学实践，分享了四至六年级共56节以学习为中心的数学阅读课，展现数学课程“有趣”“好玩”的一面，让学生始终保持对数学世界的好奇心和求知欲，丰富学生对数学学科和数学学习的认识。孩子们在阅读中开阔了数学视野，感受到了数学知识的博大精深和魅力所在，学习数学的兴趣越来越浓。
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