华德福小学数学（一本专门为小学数学教师写作的教学参考书。用合适的方式教，唤醒小学生学数学的兴趣和能力）

也许和教其他科目不一样，在教数学课时，我们常常会感觉自己像是走在 钢丝上，如果稍稍偏向某一侧，班上相当一部分学生就会感到迷茫或不知所措。 如果我们自我修正一下，稍稍偏向另一侧，那些学得快的学生就会感到很乏味 和无聊，整个班级的学习进展也达不到要求。对许多老师而言，他们童年时走 在这根钢丝上的每一步也都留有不愉快的印迹。

作为一名华德福老师，我们意识到教数学不仅仅是智力训练。如教乘法表时，我们是通过活动和节奏让学生主动参与其中。我们也会通过一个个巧妙的 故事，进入学生的情感世界，点燃他们对学习数学的兴趣。*座华德福学校 的创始人鲁道夫.斯坦纳曾谈到了 “用正确的方式，让数学浸润灵魂“的重要 性,并谈到了与数学之间建立一种健康关系将如何促进学生未来精神的发育。

华德福学校对数学这门课程的看法和教法都不同于其他主流学校,但所面临的问题却是相同的。到了中学通常会有许多学生数学不太好，这些孩子们总 说：“我数学不好，我恨数学。”

为什么会这样？我们怎样才能做得更好？

这本书虽是为正在华德福学校教授低年级数学的老师所写，但如果任何人希望把有意义的、符合儿童年龄段的数学带给学生，也可借鉴本书的内容。

虽然我们试图在书中涉及许多自认为很重要的问题，但是也不得不承认, 本书没有涵盖全部实践中出现的情况。像任何一本书一样，此书也不可能代替 有针对性的教师培训，因为这些培训项目中还会包含大量基本且要的哲学理论基础、教育学基础以及教学技能等内容。北美华德福学校在多年的数学教学实践中总结了许多经验。

本书也关注了笔者认为在华德福学校数学教学实践中有待进步的方面。希望本书能对老师们有所帮助，并且能把数学教学中的部分精髓带入意识层面，期待本书能抛砖引玉。请不要把这本书当作华德福教学实践的“药方”， 事实上也没有这样的“药方”。本书只代表作者们的一些想法，还有一些其他 观点也可能被视为华德福的理念。读者（很可能也是一名数学老师）不要简单地照本宣科，或仅仅因为书中提 到了某一点就付诸实践。像以往一样，教师的职责就是要让自己培养出一种直觉, 知道自己班在某个时间段怎么做是对的，并创造性地、有效地上一堂课。

[美]加米•约克（Jamie York），自1985年起，一直工作在华德福数学教学线，同时，致力于创建一套囊括1-12年级的全面而生动的华德福数学课程。他还在多个学校和数学工作坊中担任顾问，理论知识和实践经验都十分丰富。[荷]妮蒂•法布里（Nettie Fabrie），华德福老师，治疗教育专家。[荷]维姆•戈滕堡斯（Wim Gottenbos），华德福老师，治疗教育专家。

低年级数学教学的一点思路

教低年级数学所面临的挑战         3

“数学创伤”的症程什么？    4

华德福教育的原则         10

我们的孩子准备好了吗？   16

在数学课堂上         21

数学课的教学艺术         28

与挣扎的学生一起工作         40

金规则     43

—年级数学

儿童发展综述         47

数魅材摘要     47

数学的课程和主题         49

二年级数学

儿童发展综述         69

数摘要     69

数学的课程和主题         71

数学教学的更多创意     81

三年级数学

儿童发展综述         91

数学教材摘要         91

数学的课程和主题         93

数学教学的更多创意     100

105个关键数学算式（每一个都出现在“本周算式”）       106

四年级数学

儿童发展综述         111

数学教材摘要         111

数学的课程和主题         113

数学教学的更多创意     126

五年级数学

儿童发展综述         135

数学教材摘要         136

数学的课程和主题         137

数学教学的更多创意     148

附录

一至五年级数学课程摘要     159

低年级数学游戏列表     163

循序渐进数学算式         164

前面的100个正方形数     167

前面的75个三角形数       168

完全数、过剩数和亏数         169

2的指数幕表 171

2 000以内的质数（每250个为一组）        174

表达成两个质姓和的偶数     176

表达成两个正方形技差的奇数     178

表达成两个正方形液和的数         180

也许和教其他科目不一样，在教数学课时，我们常常会感觉自己像是走在 钢丝上，如果稍稍偏向某一侧，班上相当一部分学生就会感到迷茫或不知所措。 如果我们自我修正一下，稍稍偏向另一侧，那些学得快的学生就会感到很乏味 和无聊，整个班级的学习进展也达不到要求。对许多老师而言，他们童年时走 在这根钢丝上的每一步也都留有不愉快的印迹。

作为一名华德福老师，我们意识到教数学不仅仅是智力训练。如教乘法表时，我们是通过活动和节奏让学生主动参与其中。我们也会通过一个个巧妙的 故事，进入学生的情感世界，点燃他们对学习数学的兴趣。*座华德福学校 的创始人鲁道夫.斯坦纳曾谈到了 “用正确的方式，让数学浸润灵魂“的重要 性,并谈到了与数学之间建立一种健康关系将如何促进学生未来精神的发育。

华德福学校对数学这门课程的看法和教法都不同于其他主流学校,但所面临的问题却是相同的。到了中学通常会有许多学生数学不太好，这些孩子们总 说：“我数学不好，我恨数学。”

为什么会这样？我们怎样才能做得更好？

这本书虽是为正在华德福学校教授低年级数学的老师所写，但如果任何人希望把有意义的、符合儿童年龄段的数学带给学生，也可借鉴本书的内容。

虽然我们试图在书中涉及许多自认为很重要的问题，但是也不得不承认, 本书没有涵盖全部实践中出现的情况。像任何一本书一样，此书也不可能代替 有针对性的教师培训，因为这些培训项目中还会包含大量基本且要的哲学理论基础、教育学基础以及教学技能等内容。北美华德福学校在多年的数学教学实践中总结了许多经验。

本书也关注了笔者认为在华德福学校数学教学实践中有待进步的方面。希望本书能对老师们有所帮助，并且能把数学教学中的部分精髓带入意识层面，期待本书能抛砖引玉。请不要把这本书当作华德福教学实践的“药方”， 事实上也没有这样的“药方”。本书只代表作者们的一些想法，还有一些其他 观点也可能被视为华德福的理念。读者（很可能也是一名数学老师）不要简单地照本宣科，或仅仅因为书中提 到了某一点就付诸实践。像以往一样，教师的职责就是要让自己培养出一种直觉, 知道自己班在某个时间段怎么做是对的，并创造性地、有效地上一堂课。

[美]加米•约克（Jamie York），自1985年起，一直工作在华德福数学教学线，同时，致力于创建一套囊括1-12年级的全面而生动的华德福数学课程。他还在多个学校和数学工作坊中担任顾问，理论知识和实践经验都十分丰富。[荷]妮蒂•法布里（Nettie Fabrie），华德福老师，治疗教育专家。[荷]维姆•戈滕堡斯（Wim Gottenbos），华德福老师，治疗教育专家。

人类的生活是一个学习的过程。谁能清醒地了解自己和他人，能够学着观察和理解，就能不断成长，为生活和工作中面临的任务做好准备。佛教也把克服造成痛苦的未知因素当作人生目标。冥想和反思是成年人可以自由选择的很好的方式。

儿童不是无知无趣的人，不是只能学习和理解简单的事物，他们在七八岁的时候对周围的人类和其他生物已经有了细致的观察，他们用心灵去感受所有事物并与之亲近。儿童只有通过想象而不是心理上的谈话才能了解和探索这生机勃勃的世界。

民间的童话和传说所承担的任务之一，就是用想象的形式来深层次地探讨生命和世界的意义。民间故事一般都会以正面的发展方向而结束。儿童的天性是善良的。他们对友谊、感激、忠实、真诚有着自己的感知。所有涉及这些话题的故事都会深深地触及儿童的灵魂深处，让他们振奋并受到激励。

成年人经常试图向孩子们讲述具体的自然科学知识。生物学科上将动物通过种、群和子群进行分类。狗只能看见灰色调，蜗牛视物非常模糊，母蜘蛛在交配后会吃掉公蜘蛛……

这些对年幼的孩子来说有内在的收获吗？

这些事实会是心灵上的营养吗？

这些难道不应该是提供给那些生物爱好者和研究人员的耸人听闻的细节吗？

对孩子来说，更适合的是唤起他们内心对这个地球上与我们共存的生灵的兴趣和热爱。

在多媒体社会里，信息纷杂，又没有合适的保护方式，孩子们更容易见到可怕的事情。因此，提供一个讲故事的空间和时间，来积极地塑造孩子的心灵，提高内涵，对孩子们来讲意义非凡；故事的讲述者在讲述过程中的幽默与友善也有着金子般的价值。

在当今这个时代，恐慌会影响到我们生活的方方面面，包括我们孩子的教育。如今的教师和家长比以往任何时代都担忧“如果我们的孩子比别人落后了怎么办”，“要超过别人”的想法所带来的压力在不断增长，教育成了一种竞赛活动！小小年龄就要学很深的内容，学生的家庭作业越来越多，至关重要的阶段性考试也越来越多，恐慌和压力不断增加，甚至一些私立学校也受其影响。

恐慌与压力对学习都是没有任何帮助的，它们只会损害学生的数学学习能力。我们要帮助学生减少这些恐慌心理和压力，为他们创造一个平和而安全的学习环境，使他们达到冷静思考的内在状态，这种内在状态能创建一种良好的氛围，学生在这种氛围里能够顺利地学好数学。

具有讽刺意味的是，许多家长期望孩子在小时候就学到很多东西，会做很多题目，但又不希望孩子在其中花费过多的时间去刻苦钻研，希望孩子成功并且快乐。我们生活在当今“即时获得满足感”的文化中：也就是说我们如果期待一件事发生，就希望这件事既来得快，又来得容易。比如期望孩子既要门门功课都得“A”，比别人优秀，还要比别人更轻松。

数学学习常常不可能那么快，那么容易。数学学习需要耐心，包括学生的耐心、老师的耐心和家长的耐心。困难是学好数学的重要组成部分——也是很好的人生课程。当今学校教师所面临的艰巨任务之一，就是要为学生创造一个安全的环境（没有恐慌与压力的环境），学生可以安心地在其中刻苦努力地学习。这的确不是一件容易的事！当所有学生都能顺利通过一次次考验，从中学会冷静地面对挑战，并渐渐培养出自信时，这是一件多么令人欣慰的事啊！

与挣扎的学生一起工作

通往数学创伤的四步

■ 困惑。在学数学时，每个学生都有困惑的时候，我们可以把困惑理解成一个你正在努力想弄明白的状态，所以困惑是你学一样新东西的必由之路。那些被视为“数学好”的学生们一般会安然面对产生的困惑，而对其他学生，困惑会带来许多情绪问题，从而抑制了他们的学习兴趣。

■ 挣扎。大多数学生在数学上都有至少偶尔的挣扎。学一个新的数学主题内容时，正常情况下困惑期相当短。如果不是这样，那么学生可能要努力好一阵才能弄明白。一般来说，我们的目标之一（特别是在初、高中阶段）是让所有学生都经历一个挣扎的过程，从而学会怎么解决问题。

■ 沮丧。许多学生对数学感到沮丧。典型的是当学生挣扎了很长一段时间后就会变得灰心丧气，一些学生甚至一遇到困惑就立马感到沮丧。对这样的学生，我们要不带情绪地帮助他们学会处理他们的沮丧情绪。

■ 关闭/创伤。一些学生对数学绝望了，有了数学创伤。一段时间后，如果一个学生不断地对数学感到沮丧，从来没有真正弄清楚那些概念，他自己就会相信他学不会数学，从而放弃。

一个主班老师的职责之一就是引导学生们战胜他们在学校和生活中遇到的种种挑战。在当今世界，我们的孩子们被过好地保护着，远离不舒适的感觉，结果是他们希望一切都要来得容易。他们的耐心极少，所以如此多的孩子对遇到的困惑和需要的努力几乎没有耐心。如果我们把这与一系列情感内容联结在一起，我们就会明白训练这些学生战胜挑战对我们教师来说有多么重要。

完美主义和害怕失败

有些学生有完美主义倾向，其常常是某个希望凡事都有序的女孩，或班上较强的学生之一。完美主义者希望生活是有节奏和可预知的，说到学校生活，他们想把每件事都做好，当面对一项任务时，他们需要感到有把握才会去做。

难点在于数学往往不符合这些规则，困惑和学会克服挣扎状态是数学教育的一部分。在某种程度上，特别是初中以上年级，数学就是面对未知世界找出解答陌生问题的途径。对于完美主义者，这一切都令他们害怕。

接着这个学生进入了青春期，变得更加自我，数学变得更加令她反感和害怕。这类学生可能终干脆放弃数学。为什么？因为干脆放弃数学，比起努力一阵后很可能还是失败的痛苦要少点。这就是所谓的“害怕失败”。

作为教师我们能做些什么？再次重申，我们的教练角色很关键，这比单纯教数学还重要。我们需要寻找一些他们感到无法成功，但我们知道他们其实可以成功的机会。这些机会可能是班上的一次角色表演、爬山、骑自行车（或独轮车），或解一道令人望而却步的数学题，他们自认为做不到，但我们知道他们能行。我们要在合适的时候以合适的方法轻轻地将他们推到这类情形下。我们的作用就是训练他们迎接这些挑战，帮助他们肯定他们的成功。一旦他们成功，就给他们祝贺！“看看你所做的！你本来以为你做不到！”之后，我们就可以在这个成功上继续建构。以这种方法，这个学生的自信被慢慢建立起来，随着时间的推移，这个学生面临生活中的挑战时会变得越来越从容，有希望在数学学习上变得更开放。