概率统计辅导讲义(第2版)

学生们要学好概率论与数理统计，首先必须要弄清概念、理解定理，其次要掌握分析问题和解决问题的方法，而要实现这两点，最好的途径之一就是研读例题和演练习题，因此要学好概率论与数理统计，就必须要演练一定数量的习题.
在课堂教学中，课程的讲授是按知识的逻辑顺序展开的，习题则是按章或节编排的，学生们所受到的解题训练是单一的、不完善的.课堂教学的局限之一是缺乏对融会贯通的综合解题能力的训练与培养，再加上受教学时数的限制，许多解题方法与技巧未能在课堂上讲解与演练，当然更谈不上使学生系统掌握.
一些数学基础课程有开设习题课的做法，这对于学生学习课程无疑是有帮助的.但由于学时和助课人员的短缺等问题，许多学校已取消或削减了习题课的学时.
本辅导讲义试图为改善上述各点做出努力.具体的做法是将知识的细致性和系统性通过讲解的方式得以落实.所谓知识的细致性是指对概念和定理的多角度分析和讲解，使之细化，并在例题和习题中将这些细化的内容展现出来，实现对各个知识点的突破.所谓知识的系统性是指将涉及多个知识点的综合题目归纳为一些专题，对各个专题的解题方法和涉及的技巧进行抽丝剥茧式的分析和讲解，实现各个知识点间的线的突破.讲解是一个交互的过程，通过交互过程来达成讲解和理解的共识，这在书中是不好实现的.为此，笔者根据以往辅导学生时的经验，将问题细化，将解题的梯度细化，减少读者在阅读和理解本书过程中的阻力，努力营造出一对一辅导时的良好氛围.这也是书名“辅导讲义”的寓意所在.
本书内容的展开与普通教科书基本平行，每章各节有内容要点与评注、典型例题以及习题，各章还设有专题讨论，每个专题以典型例题解析的方式阐述了围绕该专题的解题方法与技巧.每章末附有单元练习题，是在前面各专题的引领下，对知识点融会贯通、综合运用的体现.它包含客观题和主观题.客观题的设置意在考查对该章知识点全面而深入的理解，主观题的设置意在考查对该章知识点的综合分析能力的领会与掌握.
全书包含了214道例题和490道习题.这些题目内容全面，类型多样，涵盖了概率论与数理统计教学大纲的全部内容，其中不少例题题型新颖、解法精巧.有些例题选自全国硕士研究生入学统一考试数学试题，这些题目都有中等或中等以上的难度.对于例题，大多先给出“分析”，引出解题的思路，然后在分析的基础上给出详细的解答过程，其间注重各个步骤的理论依据，努力做到使读者知其然还要知其所以然，细化概念和定理在解决问题过程中的具体体现.之后通过“注”“评”和“议”的方式将解题的要点提炼出来.一些题目还配以多种解题方法，以帮助读者从多个角度比较与归纳解题方法和技巧.对于习题，给出了答案与提示.
本书的一个特色是大多数例题都配以“分析”“注”“评”或“议”，其中:
“分析”意在分析解题思路；
“注”意在强调求解过程中的关键点和重要环节；
“评”意在评述本例的技巧、方法或结论；
“议”意在对本例结论或方法的延伸与拓展.
本书的又一个特色是将知识点分44个专题展开，以强调对知识点及解题方法与技巧作系统而深入的阐述.
初学者可以把本书作为教辅书与课堂教学同步学习，以帮助其弄清概念、理解定理，掌握解题方法与技巧.进一步，本书提供的丰富材料将帮助学习者在期末总复习或备考硕士研究生时，作全面而深入的总结性复习或专题性研究.
本书是笔者多年来从事概率论与数理统计教学经验的积累与总结.
感谢对外经济贸易大学，是这片沃土滋养了这枚果实；感谢清华大学出版社刘颖老师；感谢书末参考文献所有的专家们，他们的著作为我的编著工作带来了启发与指导.
历时多年，数度修改，完成此稿，自知错误和不当之处在所难免，恳请专家与读者不吝赐教，万分感激.

 作者
2023年5月于对外经济贸易大学惠园

本书章节安排与“概率论与数理统计”普通教科书中的章节安排基本平行.书中每章的各节有内容要点与评注、典型例题以及习题.各章都设有专题讨论，每个专题以典型例题解析的方式阐述了围绕该专题的解题方法与技巧.每章末附有单元练习题，是在前各专题的引领下，对知识点融会贯通、综合运用的体现，它包含客观题和主观题，客观题的设置意在考查对该章知识点全面而深入的理解，主观题的设置意在考查对该章知识点的综合运用能力与掌握.对于典型例题的讲解处理得非常细致，试图营造一对一辅导的氛围，以帮助读者理解和掌握.对于专题的处理，力图理清知识点之间的脉络与联系，实现对知识的系统理解.

张立卓:对外经济贸易大学统计学院教授。长期从事线性代数、高等代数、概率论、概率论与数理统计、高等数学、复变函数等教学工作。

第1章随机事件与概率1
1.1样本空间与随机事件1
一、 内容要点与评注1
二、 典型例题3
习题115
1.2古典概型6
一、 内容要点与评注6
二、 典型例题8
习题1213
1.3几何概型14
一、 内容要点与评注14
二、 典型例题14
习题1318
1.4概率及其性质18
一、 内容要点与评注18
二、 典型例题20
习题1423
1.5条件概率与乘法公式23
一、 内容要点与评注23
二、 典型例题24
习题1527
1.6全概率公式与贝叶斯公式28
一、 内容要点与评注28
二、 典型例题28
习题1633
1.7事件的独立性33
一、 内容要点与评注33
二、 典型例题37
习题1740
1.8伯努利概型40
一、 内容要点与评注40
二、 典型例题41
习题1843
1.9专题讨论44
一、 利用加法公式求概率44
二、 利用条件概率和乘法公式求概率47
三、 利用全概率公式和贝叶斯公式求概率49
习题1952
单元练习题153

第2章一维随机变量及其分布58
2.1随机变量及其分布函数58
一、 内容要点与评注58
二、 典型例题59
习题2162
2.2离散型随机变量及其分布律63
一、 内容要点与评注63
二、 典型例题66
习题2271
2.3连续型随机变量及其概率密度函数72
一、 内容要点与评注72
二、 典型例题77
习题2381
2.4一维随机变量函数的分布81
一、 内容要点与评注81
二、 典型例题83
习题2488
2.5专题讨论89
既非离散型又非连续型随机变量的分布89
习题2592
单元练习题292

第3章多维随机变量及其分布98
3.1多维随机变量及其分布函数98
一、 内容要点与评注98
二、 典型例题99
习题31100
3.2二维离散型随机变量及其联合概率分布101
一、 内容要点与评注101
二、 典型例题102
习题32106
3.3二维连续型随机变量及其联合概率密度函数107
一、 内容要点与评注107
二、 典型例题108
习题33112
3.4边缘分布112
一、 内容要点与评注112
二、 典型例题116
习题34119
3.5条件分布120
一、 内容要点与评注120
二、 典型例题122
习题35127
3.6相互独立的随机变量128
一、 内容要点与评注128
二、 典型例题130
习题36135
3.7二维随机变量函数的分布136
一、 内容要点与评注136
二、 典型例题139
习题37147
3.8n个独立随机变量最大(小)值的分布148
一、 内容要点与评注148
二、 典型例题149
习题38154
3.9二维随机变量变换的分布154
一、 内容要点与评注154
二、 典型例题155
习题39157
3.10专题讨论157
一、 相互独立的离散型随机变量(取值有限)与连续型随机变量函数的分布157
二、 服从正态分布的两个随机变量和的分布162
三、 服从正态分布的两个随机变量的联合分布163
习题310164
单元练习题3164

第4章随机变量的数字特征170
4.1数学期望170
一、 内容要点与评注170
二、 典型例题172
习题41177
4.2方差178
一、 内容要点与评注178
二、 典型例题181
习题42186
4.3协方差、矩和协方差矩阵186
一、 内容要点与评注186
二、 典型例题187
习题43193
4.4相关系数194
一、 内容要点与评注194
二、 典型例题 195
习题44201
4.5二维正态变量的性质202
一、 内容要点与评注202
二、 典型例题202
习题45209
4.6条件数学期望209
一、 内容要点与评注209
二、 典型例题211
习题46217
4.7专题讨论217
利用随机变量的和式分解求数字特征217
习题47223
单元练习题4223

第5章极限定理230
5.1依概率收敛230
一、 内容要点与评注230
二、 典型例题230
习题51234
5.2大数定律235
一、 内容要点与评注235
二、 典型例题238
习题52239
5.3中心极限定理240
一、 内容要点与评注240
二、 典型例题241
习题53246
5.4专题讨论247
利用马尔可夫条件证明随机变量序列服从大数定律247
习题54250
单元练习题5250

第6章抽样分布254
6.1基本概念及常用的分布254
一、 内容要点与评注254
二、 典型例题256
习题61260
6.2正态总体的抽样分布260
一、 内容要点与评注260
二、 典型例题263
习题62267
6.3专题讨论268
非正态总体的抽样分布268
单元练习题6270

第7章参数估计274
7.1估计方法274
一、 内容要点与评注274
二、 典型例题277
习题71284
7.2估计量的评选标准284
一、 内容要点与评注284
二、 典型例题286
习题72290
7.3单个正态总体参数的区间估计291
一、 内容要点与评注291
二、 典型例题293
习题73296
7.4专题讨论297
一、 关于同一总体的两个未知参数的估计297
二、 关于估计量的无偏性、有效性和相合性的判定299
习题74304
单元练习题7305

第8章假设检验308
8.1单个正态总体参数的假设检验308
一、 内容要点与评注308
二、 典型例题310
习题81314
8.2专题讨论315
两类错误的分析315
习题82320
单元练习题8321

习题答案与提示324
第1章随机事件与概率324
第2章一维随机变量及其分布340
第3章多维随机变量及其分布352
第4章随机变量的数字特征381
第5章极限定理398
第6章抽样分布406
第7章参数估计413
第8章假设检验425

参考文献432

本书章节安排与“概率论与数理统计”普通教科书中的章节安排基本平行.书中每章的各节有内容要点与评注、典型例题以及习题.各章都设有专题讨论，每个专题以典型例题解析的方式阐述了围绕该专题的解题方法与技巧.每章末附有单元练习题，是在前各专题的引领下，对知识点融会贯通、综合运用的体现，它包含客观题和主观题，客观题的设置意在考查对该章知识点全面而深入的理解，主观题的设置意在考查对该章知识点的综合运用能力与掌握.对于典型例题的讲解处理得非常细致，试图营造一对一辅导的氛围，以帮助读者理解和掌握.对于专题的处理，力图理清知识点之间的脉络与联系，实现对知识的系统理解.

张立卓:对外经济贸易大学统计学院教授。长期从事线性代数、高等代数、概率论、概率论与数理统计、高等数学、复变函数等教学工作。