物理场数学模型的数值求解

工程实际中广泛存在同时发生的多种物理现象以及它们之间的耦合，如热流体、磁场作用下的铁磁流体流动等。为了有效解决工程实际问题，明晰其物理本质，需通过对物理现象特性的分析，根据物理上已经总结出来的普遍定律，建立描述物理现象的数学模型，通过求解数学模型，揭示由解表示出来的物理量的变化规律，指导工程设计。其中，物理场数学模型建模和求解是关键基础问题。
如今，数值计算方法已成为求解物理场数学模型的必要手段，其中的有限体积法是流体流动、电磁场、热场等物理场的常用求解方法，也是近年来用于求解热-流耦合、磁-流耦合、电-流耦合、流-声耦合等复杂多物理场问题的有效方法。OpenFOAM是基于有限体积法的物理场操作和处理的开源C  应用程序库，它为求解单一或多物理场提供了底层框架，已成为工程和科学计算的有力工具。本书将物理场数学模型的有限体积离散原理与数值计算的OpenFOAM程序实现方法相结合，系统阐述几种典型物理场的求解计算方法。本书的部分内容建立在作者多年科研和工程计算实践积累成果的基础上，既是对已经完成工作的总结，也是研究成果和经验的分享。
全书围绕物理场数学模型及其求解方法的主题组织内容，共分8章：第1章介绍流场、电磁场、热场、两相流和铁磁流体磁-流耦合流动等几种典型物理场的一般数学模型，并总结物理场控制方程的一般形式，概述数学模型的求解方法；第2章介绍有限体积网格，给出基于有限体积法离散物理场控制方程中各项的方法；第3章阐述控制方程离散后所得代数方程组的求解方法；第4~8章分别论述不可压缩流体流场、静磁场、热场、两相流流场、铁磁流体磁-流耦合流动流场等几种典型单一或多物理场的求解算法，实现相应算法的OpenFOAM求解器的编制方法，并给出相应物理问题计算实例。
本书的出版得到了国家自然科学基金(52375164、52005033)、北京市自然科学基金(3214048)和北京科技大学研究生教材建设项目(2023JCB009)的资助，在此深表谢意！
限于作者的学识水平，书中难免存在疏漏、欠妥之处，恭请读者批评指正！

编著者
2024年1月

本书以作者多年从事计算多物理场的科研实践为基础，系统介绍了典型物理场的一般数学模型、有限体积法的基本原理、求解代数方程组的基本方法，将物理场数学模型的有限体积离散原理与数值计算的OpenFOAM程序实现方法相结合，论述了不可压缩流体流场、静磁场、热场、两相流流场、铁磁流体磁-流耦合流动流场等典型物理场的求解计算方法，有助于启发读者针对特定工程问题建立数学模型和编制相应的OpenFOAM求解器。本书可作为高等院校机械工程、动力工程及工程热物理、航空航天、计算力学等专业研究生的参考教材，也可作为其他相近专业的学习参考书，同时可供从事计算多物理场等相关领域的科研人员和工程技术人员参考。

无

第1章物理场的数学模型 001
1.1典型物理场的数学模型 001
1.1.1物质导数 001
1.1.2流体流场数学模型 002
1.1.3电磁场数学模型 007
1.1.4热场数学模型 009
1.1.5多相流数学模型 010
1.1.6铁磁流体磁-流耦合流动数学模型 014
1.2物理场控制方程的一般形式 016
1.3数学模型求解方法概述 017

第2章控制方程的有限体积法离散 019
2.1有限体积网格 019
2.1.1结构化网格 020
2.1.2非结构化网格 021
2.2有限体积离散方法 025
2.2.1以单元为中心的有限体积法 025
2.2.2有限体积法的基本思想 026
2.2.3离散格式需满足的基本原则 029
2.3扩散项的离散 031
2.3.1二维规则笛卡儿网格内部单元上的离散 031
2.3.2二维规则笛卡儿网格边界单元上的离散 033
2.3.3非均匀扩散系数的处理 035
2.3.4扩散项离散方法举例——二维区域上的无源稳态热传导 036
2.3.5非正交非结构化网格时的离散 039
2.3.6非正交网格时的边界条件 041
2.3.7网格偏斜时的离散 042
2.3.8各向异性扩散 042
2.4梯度计算 043
2.4.1非结构化网格上的梯度计算——Green-Gauss 梯度 043
2.4.2非结构化网格上的梯度计算——最小二乘梯度 046
2.4.3由单元质心上的梯度插值得到单元面的上梯度 047
2.5对流项的离散 047
2.5.1一维网格时的中心差分法 048
2.5.2一维网格时的迎风格式 049
2.5.3一维网格时的顺风格式 049
2.5.4一维网格时的截断误差 050
2.5.5数值稳定性 051
2.5.6高阶格式 051
2.5.7二维稳态对流项的离散 056
2.5.8非结构化网格上的高阶离散方法 058
2.5.9迁延修正法 059
2.6对流项离散的高精度格式 060
2.6.1NVF  060
2.6.2对流有界性准则 062
2.6.3NVF 框架下的HR 格式 063
2.6.4TVD 及TVD 框架下的HO 和HR 格式 066
2.6.5非结构化网格中的HR 格式 068
2.6.6HR 格式的迁延修正、DWF 和NWF 方法 070
2.6.7对流边界条件 075
2.7瞬态项的离散 076
2.7.1有限差分法 076
2.7.2有限体积法 081
2.7.3非均匀时间步时的离散 086
2.8源项的离散 089

第3章代数方程组的数值求解 091
3.1直接法 092
3.1.1高斯消元法 092
3.1.2LU 分解法 092
3.1.3三对角矩阵法（TDMA）  094
3.1.4五对角矩阵法（PDMA）  095
3.2迭代法 096
3.2.1迭代法综述 096
3.2.2Jacobi 法 098
3.2.3Gauss-Seidel 法 099
3.2.4迭代法的预处理 099
3.2.5梯度法 101
3.2.6多重网格法 104
3.3求解代数方程组的松弛技术 106
3.3.1Patankar 欠松弛 107
3.3.2E 因子欠松弛 107
3.3.3伪瞬态欠松弛 108
3.4方程的残差 108
3.5计算精度和网格无关性 110

第4章不可压缩流体流场的求解计算 112
4.1流场求解方法概述 112
4.1.1流场求解计算的难点 112
4.1.2流场求解计算方法 113
4.2不可压缩流体流场的求解算法 113
4.2.1流场控制方程的有限体积法离散 114
4.2.2压力修正方程 117
4.2.3基于同位网格的SIMPLE 和SIMPLEC 算法 120
4.2.4PISO 算法 122
4.3流场的OpenFOAM 求解器 123
4.3.1simpleFoam 求解器 123
4.3.2icoFoam 求解器 126
4.4不可压缩流体流场求解实例 127
4.4.1问题描述 127
4.4.2OpenFOAM 算例程序 127
4.4.3计算结果 131

第5章静磁场的求解计算 133
5.1静磁场的求解算法 133
5.1.1静磁场控制方程的有限体积法离散 133
5.1.2同种磁介质内网格单元面上相对磁导率的表示 134
5.1.3不同磁介质间界面上边界条件的表示 136
5.2静磁场的OpenFOAM 求解器 138
5.2.1magenticMultiRegionFoam 求解器的总体组成 138
5.2.2magenticMultiRegionFoam 求解器说明 139
5.2.3定义边界条件类 143
5.3静磁场求解计算实例 148
5.3.1问题描述 148
5.3.2OpenFOAM 算例程序 150
5.3.3计算结果 155

第6章热场的求解计算 157
6.1热场的求解算法 157
6.1.1可压缩流体动量守恒方程的离散 157
6.1.2可压缩流体流动的压力修正方程 158
6.1.3流体能量守恒方程的离散 160
6.1.4总体求解过程 161
6.2热场的OpenFOAM 求解器chtMultiRegionFoam  163
6.2.1chtMultiRegionFoam 求解器的总体组成 163
6.2.2chtMultiRegionFoam 求解器的主程序 165
6.2.3固体区域控制方程的求解 166
6.2.4流体区域控制方程的求解 167
6.3热场求解计算实例 173
6.3.1问题描述 173
6.3.2OpenFOAM 算例程序 173
6.3.3计算结果 182

第7章两相流流场的求解计算 184
7.1两相流流场的求解算法 184
7.1.1相体积分数方程及其有限体积法离散 184
7.1.2动量守恒方程的有限体积法离散 186
7.1.3总体求解过程 188
7.2两相流流场的OpenFOAM 求解器interFoam  188
7.2.1interFoam 求解器的总体组成 188
7.2.2interFoam 求解器的主程序 190
7.2.3相体积分数方程的求解 192
7.2.4动量守恒方程的求解 194
7.3两相流流场求解实例 196
7.3.1问题描述 196
7.3.2OpenFOAM 算例程序 196
7.3.3计算结果 201

第8章铁磁流体磁-流耦合流动流场的求解计算 204
8.1铁磁流体磁-流耦合流动的求解算法 204
8.1.1磁场方程的有限体积法离散 205
8.1.2动量守恒方程的有限体积法离散 206
8.1.3磁化方程的有限体积法离散 210
8.1.4总体求解过程 211
8.2铁磁流体磁-流耦合流动的OpenFOAM 求解器 212
8.2.1fhdFoam 求解器的总体组成 212
8.2.2fhdFoam 求解器说明 213
8.2.3后处理程序说明 215
8.3铁磁流体磁-流耦合流动求解计算实例 216
8.3.1问题描述 216
8.3.2OpenFOAM 算例程序 218
8.3.3计算结果 223

参考文献 226

本书以作者多年从事计算多物理场的科研实践为基础，系统介绍了典型物理场的一般数学模型、有限体积法的基本原理、求解代数方程组的基本方法，将物理场数学模型的有限体积离散原理与数值计算的OpenFOAM程序实现方法相结合，论述了不可压缩流体流场、静磁场、热场、两相流流场、铁磁流体磁-流耦合流动流场等典型物理场的求解计算方法，有助于启发读者针对特定工程问题建立数学模型和编制相应的OpenFOAM求解器。本书可作为高等院校机械工程、动力工程及工程热物理、航空航天、计算力学等专业研究生的参考教材，也可作为其他相近专业的学习参考书，同时可供从事计算多物理场等相关领域的科研人员和工程技术人员参考。

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