高水平数学教学的理念与实践

   本书采用专题形式，通过理论与实践相结合的方式，把现代教学理念的运用与所遴选的高中数学教材中的核心概念、重要原理进行有机融合。通过理论解读和案例分析的方法，融现代教学理念运用与数学核心知识教学为一体，介绍高水平数学教学设计的理念与方法，由此构建了内容专题。这些专题具有以下特点：一是所选的理论视角均为近年来热议的话题，既有老生常谈、常谈常新的理念，也有新概念、新名词、新思想，这些理论或理念相对于数学教学而言具有重要的指导意义；二是所遴选的学科内容来自于高中数学的主干知识和核心内容，这些内容均是数学的基本概念、基本原理和基本方法，在高中数学中具有基础性的地位和作用；三是这些教学理念运用和数学核心知识的融合，并非随机的、机械的。

  李祎，福建师范大学教授，博士生导师，主要从事数学教育研究。先后在《教育研究》等学术刊物发表论文120余篇，其中60多篇为核心期刊或被人大复印转载；出版著作教材多部，代表作有《数学教学生成论》、《数学教学方法论》、《中小学数学中的“为什么”》等。主持全国教育科学“十一五”规划课题、教育人文社会科学研究规划基金、福建省社会科学规划项目等多项学术课题研究，主持教师教育国家精品资源共享课《中学数学教学设计》、福建省卓越教师培养计划改革项目等多项教改课题研究。专著《数学教学生成论》于2009年获福建省第八届社会科学优秀成果奖，教材《中学数学教学设计》于2018年获福建省第十二届社会科学优秀成果奖。

上篇  认识论的视角

• 1高水平数学教学“教什么”


• 2高水平数学教学“怎么教”


• 3教学不是“告诉”行为


• 4数学教学应“讲道理”

——以“向量及其运算”教学为例

• 5别被理念绑架教学


• 6别被定义遮蔽概念


• 7另眼看教学难点


• 8另眼看课堂导入


• 9数学解题需要套路吗


• 10数学教学勿“想当然”


• 11“病态”数学教学问诊


• 12数学教学问题面面观


• 13高水平教师应树立的数学观


• 14数学理解的“五视角”


• 15数学素养提升的“六维度”

下篇  实践论的视角

• 1高水平数学教学应这样教

——以“函数的单调性”教学为例

• 2基于多元表征的数学教学设计

——以“基本不等式”教学为例

• 3基于核心素养培养的数学教学设计

——以“椭圆及其标准方程”教学为例

• 4基于同理心的数学教学设计

——以“余弦定理”教学为例

• 5基于理解性学习的数学教学设计

——以“向量的数量积”教学为例

• 6数学学科德育的实践

——以“辩证思维”培养为例

• 7数学结构化教学的理解与实施


• 8注重内容前后衔接促进知识逻辑生长

——以“二项式定理”教学为例

• 9基于三种学习理论整合的数学概念教学设计

——以“函数的概念”教学为例

• 10立足数学概念本质促进知识自然生成

——以“任意角的三角函数”教学为例

• 11基于稚化思维的数学教学设计

——以“等比数列的前n项和”教学为例

• 12基于探究学习的数学教学策略

——以“直线方向向量和平面法向量”教学为例

• 13基于逻辑推理素养培养的数学教学设计

——以“函数的奇偶性”教学为例

• 14基于数学理解的数学教学设计

——以“弧度制”教学为例

• 15基于深度学习的数学教学设计

——以“二面角”教学为例

• 16基于HPM的数学教学设计

——以“复数的概念”教学为例

• 17基于“问题链”的数学教学设计

——以“对数的概念”教学为例

• 18基于数学思想方法的教学设计

——以“等差数列的前n项和”教学为例

• 19基于Geogebra运用的数学教学设计

——以“平面向量基本定理”教学为例

• 20基于学习进阶的数学教学设计

——以“正弦定理”教学为例

• 21基于几何画板的数学教学设计

——以“y=Asin（ωx φ）的图象”教学为例

• 22基于数学运算素养培养的数学教学设计

——以“点到直线的距离”教学为例

参考文献/

   本书采用专题形式，通过理论与实践相结合的方式，把现代教学理念的运用与所遴选的高中数学教材中的核心概念、重要原理进行有机融合。通过理论解读和案例分析的方法，融现代教学理念运用与数学核心知识教学为一体，介绍高水平数学教学设计的理念与方法，由此构建了内容专题。这些专题具有以下特点：一是所选的理论视角均为近年来热议的话题，既有老生常谈、常谈常新的理念，也有新概念、新名词、新思想，这些理论或理念相对于数学教学而言具有重要的指导意义；二是所遴选的学科内容来自于高中数学的主干知识和核心内容，这些内容均是数学的基本概念、基本原理和基本方法，在高中数学中具有基础性的地位和作用；三是这些教学理念运用和数学核心知识的融合，并非随机的、机械的。

  李祎，福建师范大学教授，博士生导师，主要从事数学教育研究。先后在《教育研究》等学术刊物发表论文120余篇，其中60多篇为核心期刊或被人大复印转载；出版著作教材多部，代表作有《数学教学生成论》、《数学教学方法论》、《中小学数学中的“为什么”》等。主持全国教育科学“十一五”规划课题、教育人文社会科学研究规划基金、福建省社会科学规划项目等多项学术课题研究，主持教师教育国家精品资源共享课《中学数学教学设计》、福建省卓越教师培养计划改革项目等多项教改课题研究。专著《数学教学生成论》于2009年获福建省第八届社会科学优秀成果奖，教材《中学数学教学设计》于2018年获福建省第十二届社会科学优秀成果奖。

• 1高水平数学教学“教什么”

教学研究的基本问题是“教什么”和“怎么教”，前者关乎教学内容，后者关乎教学形式.教学内容决定教学形式，教学形式服务于教学内容.“教什么”永远比“怎么教”更重要.先进理念首先关乎教学内容，要关注“教什么”.

从“教什么”的视角来看，数学教师的教学水平的高低，首当其冲地体现在对教学内容的把握上.低水平的教书匠，只会照本宣科，看到什么就教给学生什么，只是知识的搬运工；高水平的教师，能透过现象看到本质，在教教材中显性知识的同时，能挖掘出其后的隐性知识，教到一些别人教不出来的内容.

这些不易教到的隐性知识是什么呢？概括而言，我们认为是数学的本质、过程、思想和结构四个方面.认识到数学教材中蕴含的这些隐性知识，通过深度挖掘和解读教材隐性知识，达到与隐性知识的深度对话，有助于提高数学课堂实效和学生的综合能力.

一、教“本质”

1.教数学概念的本质

数学概念是反映数学对象的本质属性的思维产物，所谓本质属性就是指该类事物共有和特有的稳定属性，也可以说，本质属性就是事物变化当中保持不变的属性.掌握数学概念的本质，既需要静态地分析其定义形式，更需要在比较、变化等联系性活动中揭示其内涵.

比如，对于复数的本质的把握，必须认识到复数是一种二元数，而实数则是一元数.与把一元的实数看作“单纯的数”相比，二元的复数不仅有数量意义，而且还有方向意义，它是一种“有方向的数”，“数量加方向”是复数的本质属性，这一本质属性可以通过复数的代数表示、三角表示和几何表示来进行揭示.

有一些数学概念的本质，相对比较隐晦，更需要教师努力揭示.比如，在小学和初中阶段，分别学过不同的“距离”：“两点之间的距离”“直线外一点到已知直线的距离”“两平行线之间的距离”.那么，距离的本质是什么呢？其实，更一般来看，距离的本质就是“最小值”：图形P内的任一点与图形Q内的任一点间的距离中的最小值，叫作图形P与图形Q的距离.把握住这一本质，高中阶段学习“点到平面的距离”“直线到与它平行的平面的距离”“两个平行平面的距离”“异面直线的距离”的概念时，学生也能做到不教自明.

对数学概念的理解与把握是一个循序渐进的过程，特别是对于一些较为抽象的数学概念更是如此.比如初中采用“变量说”对函数进行定义，但用该定义阐释常数函数y=sin2 x cos2 x，x∈R就比较困难.函数的本质是“对应”，所以高中采用“对应说”来定义函数，基本反映了函数概念的本质特征，但还是存在一些瑕疵.比如，对于函数y=x，x∈{0，1}和y=x2，x∈{0，1}，貌似两个不同的函数，实则为同一个函数.因为用“对应说”定义函数，主要关心对应的结果，而不是对应的过程.为了克服“对应说”定义中的这一缺陷和弊端，有的大学教材用“关系”来重新定义函数概念.

需要说明的是，掌握数学概念的本质，并不意味着背诵概念的定义.比如对于方程的定义“含有未知数的等式叫方程”，并没有反映方程的本原思想.教师在方程定义的黑体字上大做文章，反复举例，咬文嚼字地学习，朗朗上口地背诵，没有实质性的意义.绝对没有学生因为背不出这句话而学不会“方程”的.方程的实质是“为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立起来的一种等式关系”.在数学学习中，学生能否记住方程的定义并不重要，关键在于领会其基本思想，并能够进行灵活地应用.

此外，对于数学概念定义的呈现，并非越严密、越精确，就越有助于掌握其本质，还必须考虑到学生的可接受性.特别是对于抽象程度较高的数学概念，学生接受起来比较困难，这时为了更好地帮助学生掌握概念的本质，需要适度淡化概念的形式定义，以使学生更好地理解概念的内涵.比如在高中数学教材中，对于导数和定积分概念的呈现，便采用了这样的处理方式.

2.教数学结论的本质

数学中的结论很多，但大凡列入教材中的重要数学结论，如各种数学公理、定理、公式、法则等，主要在于其经常用到、推证不易、形式简单.把握数学结论的本质，并不在于记诵结论本身，而在于理解其内涵，明确其意义，掌握其功能，认识其成立的理由.

比如在三角形的学习中有许多结论，对每一结论都应尽可能把握其本质：三角形的三内角和定理反映了任意三角形的三内角和所保持的不变性，其正确性在小学可以通过剪拼、折叠或拉伸的方法来进行验证，在初中可以通过平行线的性质定理来进行严格证明；三角形的面积公式本质上是刻画了三角形底边与对应高的乘积的不变性，这一不变量可以度量三角形这一封闭图形的大小，其正确性在小学可以通过剪拼或折叠的方法来进行验证，在初中可以通过三角形的相似来进行证明；三角形全等的判定定理本质上揭示了唯一确定三角形的大小和形状所需要满足的最简条件；等等.

又如对于数列求和公式的学习，对其本质的把握，必须认识到其中蕴含的求简意识和化归思想.如对于等差数列的前n项进行求和，如果逐项进行相加，需要进行n-1次加法运算.但若使用求和公式Sn=n（a1 an）2，只需进行一次加法运算、乘法运算和除法运算即可.当n>4时，应用求和公式进行计算就会带来简便，而且n越大这种优势越明显.因此，数列求和公式的建立，本质上是化复杂为简单思想的具体体现.对其正确性的认知，如果干巴巴地对“倒序相加”不易理解的话，那么采用数形结合的方法，则其实质便会暴露无遗：无非是n条相等线段的和的一半.

3.教数学方法的本质

数学中除了一些结论性知识，还有大量的方法性知识，比如运算的方法、度量的方法、变换的方法、论证的方法等.掌握数学方法的本质，不仅要掌握“怎么做”，即方法运用的程序与步骤，还要掌握“为什么可以这样做”，即数学方法的内涵是什么，不同数学方法使用的条件是什么，适用的范围是什么，数学方法与问题特质具有怎样的关联性.

比如对于数的加、减运算的方法，必须抓住计数单位这一本质.因为自然数以“1”为标准，“1”是自然数的单位，所以任何两个自然数都可以直接相加减.同分母分数，因为它们的分数单位相同，所以能直接相加减；异分母分数，因为它们的分数单位不同，所以就要把它们化成相同的单位，这样才可以相加减.小数的加减运算中，小数点对齐才能相加减，其本质也是相同计数单位要相同.因为只要小数点对齐，相同数位就对齐了，相同计数单位也就同样能相加减了，而不必考虑小数的末位是不是对齐.

又如对于“十字相乘法”，通常人们认为，十字相乘法主要用来对形如ax2 bx c的二次三项式进行因式分解.但事实上，十字相乘法的本质并非仅限于此，并不是只适用于二次三项式.对于任意的形如f（x）=A B C的代数式，若A=ab，C=cd，且ad bc=B，那么就会有f（x）=（a c）（b d）.这就是推广后的十字相乘法，其原理已经不局限于分解系数，不局限于二次多项式，它适用于任意一个代数式，其根本作用是对代数式进行因式分解.