信息安全数学基础

本教材根据笔者在华中科技大学讲授的“信息安全数学基础”课程所编讲义整理而成，共分为8章，适合信息安全、网络空间安全、密码科学与技术及相关专业本科生学习使用，可为学生进一步学习密码学理论提供必要的知识储备。第1章讲述整数整除中的带余除法、因子、*大公因数、*小公倍数和算术基本定理等基本概念，大多数学生对这部分内容是比较熟悉的，笔者希望通过展示从带余除法到*终的算术基本定理的推演过程，系统化地向学生展示整数研究的一般方法。在第3章所示的多项式的唯一因式分解定理的证明过程中，这种系统化的方法再次得到体现。第2章讲述同余，也就是模运算，包括整数同余的基本性质和同余式(组)的求解。学习重点是欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理和一般同余式(组)的基本求解方法。同余和同余式(组)是公钥密码学重要的研究对象，例如，RSA加密算法就是模幂运算的体现。第3章讲述有限域的结构定理，整数关于素数p的模加和模乘形成*小的有限域Zp，Zp上的多项式关于n次不可约多项式的模加和模乘形成Zp的元素个数为pn的扩域。有限域的学习重点是有限域的加法结构(向量结构)和乘法结构、子域及域的扩张的相关性质。第4章讲述二次剩余与方根，这部分内容直接对应密码学中的Rabin密码、GM密码和离散对数等问题。将第4章的内容放在有限域等代数知识之后学习是笔者经过多次教学实践之后的慎重决定，希望学生在学习的过程中能关联第3章所学的有限域的知识，进一步熟悉用代数的思想分析和解决问题，以免造成知识脱节。第5章讲述代数系统中环的基础理论，一方面，将前面所学的多项式和有限域的知识作进一步的提升和串联，使学生掌握理想和剩余类环的基本概念，另一方面，重点介绍整环的唯一分解条件，说明在整环中，唯一分解定理并不总是成立的。第6章讲述代数数论研究的重要内容——数域。包括数域的概念和数域的扩张、代数整数和代数整数环，以及研究数域的重要工具——范数与迹。学习的重点是代数整数环，整个代数学的知识架构再次得到补充和延伸。第7章讲述格的相关理论，一方面介绍了格的定义与*短向量问题，另一方面介绍了格密码和误差还原问题，学生在学习时要重点了解格理论在密码学中的应用。第8章讲述了布尔函数、两种Walsh变换、布尔函数的非线性度和Bent函数，介绍了布尔函数的安全性指标。教材每一章后面均有适量的练习题，练习题是对相应章节内容的巩固和扩展，是完整学习“信息安全数学基础”不可缺少的部分。为便于学生更好地理解抽象理论知识，提高解决实际数学、密码学问题的能力，教材在每一章后面还附有一定的补充知识或者思考题(扩展阅读与实践)，要求学生用SageMath编程解决问题，根据教学目的的不同，实际教学中也可以选择Mathematica、Miracl、Python等其他编程环境。附录A对部分思考题的实现给出了参考代码，附录B对一些常见的SageMath函数分类进行了举例说明，便于读者查询。梁哲铭、姜雨奇、何智禹等同学积极参与了本教材的写作、试用，付出了辛勤的劳动。由于编者水平有限，教材内容难免存在疏漏，恳请广大师生批评指正。编者2023年5月于武汉

主要内容包括整除性、同余、有限域、二次和高次剩余、素性检测和密码算法中的数学知识选讲，涵盖网络空间安全专业密码学原理、网络安全等课程所需要的基础数学知识。与国内外同类教材比较，本教材有两个主要特点：（1）从第三章开始直接以比较直接的方式介绍有限域的构造、性质和计算方法，然后，以有限域作为基本工具研究二次和高次剩余及多项式的一些性质，比一般的教材从群、环再过渡到域能让学生在较短时间内理解和熟练运用有限域这一基本代数结构。（2）教材中每章将设置一定数量的程序设计题，让学生将抽象的代数结构和具体的代数符号和数值关联起来，有助于学生加深理解，同时也为学生以后参加CTF竞赛或者实际工作奠定一定的基础。

1991年~1998年武汉大学数学系获理学学士、硕士学位，2006年华中科技大学计算机学院获工学博士学位。1998年至今在华中科技大学计算机学院任教

1整除(1)

1.1整除性(1)

1.2最大公因数与最小公倍数(3)

1.3素数与算术基本定理(11)

1.4高斯函数(15)

1.5练习题(16)

1.6扩展阅读与实践(17)

2同余(19)

2.1同余的基本性质(19)

2.2欧拉定理与费马小定理(22)

2.3同余式的概念和一次同余式(24)

2.4中国剩余定理和同余式组(26)

2.5模为素数幂的同余式的解法(29)

2.6练习题(32)

2.7扩展阅读与实践(33)

3有限域(37)

3.1域的定义与基本性质(37)

3.2域上多项式(39)

3.3扩域的构造(45)

3.4多项式的分解(48)

3.5有限域结构定理(51)

3.6练习题(57)

3.7扩展阅读与实践(59)

4二次剩余与方根(67)

4.1欧拉判别法则与勒让德符号(67)

4.2雅可比符号(71)

4.2.1Rabin加密算法(73)

4.2.2GoldwasserMicali加密算法(73)

4.3模为奇素数的平方根(74)

4.4阶与指标(75)

4.5练习题(80)

4.6扩展阅读与实践(80)

信息安全数学基础目录5环(83)

5.1环与理想(83)

5.2剩余类环(86)

5.3唯一分解整环(90)

5.4Dedekind整环(95)

5.5练习题(99)

5.6扩展阅读与实践(99)

6数域(104)

6.1数域与扩张(104)

6.2代数整数环(107)

6.3范数与迹(110)

6.4练习题(114)

6.5扩展阅读与实践(115)

6.5.1数域的构造(115)

6.5.2a bm(116)

6.5.3a bα(116)

6.5.4平方根计算(117)

7格(119)

7.1格的定义(119)

7.2最短向量问题(122)

7.3格密码(125)

7.4误差还原问题(127)

7.5练习题(128)

7.6扩展阅读与实践(128)

7.6.1循环码(128)

7.6.2NTRUEncrypt的泛化(131)

8布尔函数(134)

8.1布尔变量与布尔函数(134)

8.2Walsh变换(136)

8.3Bent函数(136)

8.4布尔函数的安全性指标(137)

8.4.1平衡性(137)

8.4.2代数次数(138)

8.4.3差分均匀度(138)

8.4.4非线性度(138)

8.4.5相关免疫阶性(138)

8.5练习题(138)

8.6扩展阅读与实践(139)

附录A扩展阅读与实践提示(140)

附录BSageMath常用函数(167)

附录C符号表(176)

参考文献(179) 

主要内容包括整除性、同余、有限域、二次和高次剩余、素性检测和密码算法中的数学知识选讲，涵盖网络空间安全专业密码学原理、网络安全等课程所需要的基础数学知识。与国内外同类教材比较，本教材有两个主要特点：（1）从第三章开始直接以比较直接的方式介绍有限域的构造、性质和计算方法，然后，以有限域作为基本工具研究二次和高次剩余及多项式的一些性质，比一般的教材从群、环再过渡到域能让学生在较短时间内理解和熟练运用有限域这一基本代数结构。（2）教材中每章将设置一定数量的程序设计题，让学生将抽象的代数结构和具体的代数符号和数值关联起来，有助于学生加深理解，同时也为学生以后参加CTF竞赛或者实际工作奠定一定的基础。

1991年~1998年武汉大学数学系获理学学士、硕士学位，2006年华中科技大学计算机学院获工学博士学位。1998年至今在华中科技大学计算机学院任教