好玩的“折”学--解析折纸中的数学原理(砺智石丛书)

在游戏中培养 STEM 思维
游戏是儿童健康成长所必要的生活内容之一。儿童的世界有别于成人现实的世界，儿童在游戏中模拟想象成人的世界，从中学习各种各样的技能与知识。佛莱登塔尔数学学习理论认为，人们的数学知识应该来自生活的周遭世界，即环境，流向大脑的加工系统，达到提炼为系统的知识。素材先从四面八方的环境中汇聚到大脑里，提供给人以思考的素材，再通过大脑加工，垂直提升到一定高度的累积，最终在人的大脑里形成数学的知识。
其实人类的学科知识的积累过程都不过如此。我们教育工作者应该是提供或等待素材集聚到孩子们的大脑面前时，才来启动“电梯”,带领他们垂直提升到数学的知识殿堂。如果没有聚齐各种素材到“电梯”门口，“电梯”就只能一趟趟空跑，白忙一通。
游戏就是孩子们成长中最常见的情境之一，也就是环境。一个设计得好的游戏，不但可以成为孩子们数学学习的好素材，也是学习跨学科知识和技能的良好环境。游戏的学习会为孩子们积累更加丰富的STEM的素养。STEM是科学(Science),技术(Technology),工程(Enginerning),数学(Mathematics)四门学科英文首字母的缩写，代表着思维技能和解决问题的能力。
在折纸这项孩子们喜闻乐见的活动中，手部的精细动作是需要配合大脑的指令来完成的。孩子们希望得到一个令自己满意的作品，就需要不断尝试改进动作的精细度，需要思考折纸效果不尽如人意的问题所在。
当一个孩子翻开一本吉泽章的折纸书(图1),他也许会被“跷跷板”这个作品吸引，会跃跃欲试找纸来试一试。这就是人与环境的第一次交手，环境送来了学习的素材。
如果孩子想要折出跷跷板作品，就要试图理解图解中的符号和动作指引。甚至需要对各种图示进行数学思考。例如把折叠示意图中的箭头视为动作的起止点，箭头横跨的虚线视为折痕位置，并且理解为是起止线之间的正中间的那条线。
孩子经过一番试错式的尝试，终于实现了一条线到另一条线的折叠，也在头脑中形成角的平分线的知识内化，因为这里有思考的素材：对折后重合意味着折痕两侧图形的相等，提炼出来的数学知识是——角分线是角的对称轴。同时，孩子在折这个作品时，为了对齐要小心地试验手中纸的边缘的位置，直到对齐时停下来。这个过程是手部肌肉动作、眼部观察以及大脑综合判断的历程，是一项折纸工程，也是工程与数学结合的活动。他还会努力理解那些符号，在大脑中翻译并转化为动作。这个过程就是在建构自己数学甚至STEM知识体系。孩子未必意识到这些，但不影响他能慢慢提升自己的理解力和操作能力。
一旦能够折出这个作品，并且玩得很开心，孩子一定还会想象自己就是坐着跷跷板一端的小朋友。这个过程带来情感的正反馈，会激发他日后从事更多STEM活动的兴趣。
切换到另一个场景：一个念小学的小朋友得到了一个数字天平的玩具(图2)。他会怎么去探索呢?
打开包装后，小朋友要根据说明书来组装这个天平。需要找到图示中的各种配件实物，再根据示意图所指引的流程——组装底座、垂直支架、水平杆、平衡砝码。
待天平组装完成就绪，就要来测试天平的各种功能和玩法了。
除了探索2 4=6这样的算式，他会考虑2×3=6的算式。也会考虑，5=□ 3中框内该是几。或计算13÷4=3……中的余数。
这个生活化的情景提供了孩子探索数学的素材，认识了方程，了解了等式乃至不等式的性质。这就是先有生活后有数学的道理。
如果幸运的情况发生，一个同时拥有吉泽章的书和天平的孩子会想，吉泽章的跷跷板若能改造成类似这个天平的样子，用来玩是不是更有趣些呢?这个想法也许需要某些创造性的思维，不过笔者恰好认为，见多识广是某些灵感水到渠成涌现的必要条件。
现在就来认真考虑一下这个想法。
需要考虑支点不稳容易分开，天平可承受的力不够大，没有刻度和小型等值砝码等问题。这个列表因人而异，也许还可能更长些。这些问题有的是涉及力学，有的是涉及纸结构、材料等领域。所以其实这个是一个跨学科的STEM项目。
当所有问题都解决之后，小朋友会得意地展示解决问题的创造性所在：小小的曲别针代替了砝码，跷跷板的底部变得细长了，上部加了刻度条，支点变成了吊带所穿过的眼。一个完美又经济的DIY作品诞生了(图3)。
当然这个创意是笔者的思维成果。可以把它当作教师开展此类探究活动的一个课程设计内容。
这里创造性地思维体现在：①绕开支点在下的多个缺点，以洞眼替代；②曲别针代替吉泽章里的纸折小朋友，便于确定位置和挂多个砝码。
这个玩法把折纸游戏与代数运算的游戏联系起来，成为一个探索比例，方程和整数四则运算的好案例。佛莱登塔尔的水平面数学到垂直升高的数学相得益彰了。
玩具也可以带给我们STEM的体验。笔者和一位幼儿教育机构的老师谈及折纸产生多面体结构时，她自然就想到了用磁力片或磁力棒实现同一结构。这是一种拼搭的玩具，通过想象和实际操作，就可以搭出各种立体几何图形，如图4所示的便是一种拼搭玩具。我们之间的谈话就围绕这样的桁架结构展开。
这是常见于机场、车站顶部的钢架支撑。但孩子们搭出这个结构来模拟工程设计是不是很值得赞赏?笔者认为一方面值得夸赞孩子的工程师天赋，另一方面一场关于STEM的讨论时机也来到了!
可以先向孩子提问：“你搭出的这个结构是什么形状的?”通过这个问题引导孩子认识正四面体。最终确认正四面体是由四个正三角形组成的立体图形。
接着，类比地让孩子回答：“里面还关着一个什么图形呢?”希望孩子能够正确地命名它为一个正八面体。
再问，显然是复习刚才的定义，“在正八面体之外的四个尖角处还藏有什么立体图形呢?”孩子不难回答道，是四个小一些的正四面体。
最后，老师或家长可以总结，一个正八面体和4个正四面体可以拼合成一个大的正四面体。这说明了，正八面体和正四面体可以默契配合，形成新的平面。
还可以通过活动设计加强这个模糊的结果。
●搭正八面体与一个正四面体的拼合结构，问，“它是几面体?"
●在上面结构的八面体面上增加一个四面体，问，“有几种可能结果，它们各是几面体?"
●继续在原八面体面上增加四面体，问，“新的结构是几面体?"
●搭正八面体与四个正四面体的最简单结构——面数最少的结构，问，“最简单结构是几面体?”
以上一系列的活动设计是根据佛莱登塔尔的理论，从生活实践出发构建思维素材达到高层次数学知识的垂直提升。当孩子们得到结论，正四面与正八面体的融合是面数在不断减少的过程，就自然概括出随着四面体的加入，总面数会从8个递减到最少4个。
从搭建结构除了可以体会数学味道之外，还有物理的现象可以揭示。例如我们可以搭建下面这个不倒的悬浮体(图5)。
这是一个用8根塑料吸管和8个“三爪”连接件组成的结构。作为一个魔幻般的违反常理的存在，它显得非常酷，对孩子们颇有吸引力。要搭建出这个结构体对于孩子们来说，难度在于需要有复杂地调节细线长度的过程。
可以先行观察成人搭建的过程，再让他们通过试错法找到搭建的方案。这也比较容易想到的，先模仿再根据实际情况来调整平衡是科学实验的思路。那么这个搭建过程可以学到什么呢?显然结构背后隐藏着力矩平衡的科学原理，这有待物理课相关的知识介绍后才能彻底弄明白。不过这个不影响孩子们从中体会像走钢丝那样微妙的平衡。按照佛莱登塔尔理论，发现问题将其数学化，提出相关的数学化的问题本身就是学习。
不妨为孩子们总结一下这个搭建过程或许可以思考的问题列表。
●为何这个装置能稳定不倒?
●细线一定要都拉紧吗?是否有的细线不是必要的?
●悬浮体还可以有什么形状?例如圆形可以吗?
●这个装置可以用来做什么?
关于这个结构，有个学名叫“张拉结构”。已经有建筑应用“张拉结构”来建造了。韩国的一个体操馆的穹顶就用了“张拉结构”来节省钢材的使用，从而降低了建造成本。同时“张拉结构”也是大学力学系师生的研究课题。有国外报道称，有人设计了利用细绳和木棍搭建“张拉结构”形成供人行走的桥。
最后我们来谈谈一个在游戏中运用分类枚举方法来求解问题的例子。
拼图是孩子们喜欢的一种单人或多人游戏。中国的七巧板是这类游戏中的经典。计算用一套七巧板拼凸的多边形的种类，曾经有数学家研究过，不计算镜像对称的重复图形的话，总共只有13种。显然证明只有13种比找出13种图形的拼法是更加难的问题。但是如果我们把13中图形中的一类单独摘出来供孩子们探索就变得可行多了。这对于培养孩子们的逻辑思维和推理能力都大有裨益。
创设情境：有一列每节车厢都是七巧板独立拼出的凸图形列车，现在七巧列车要编组穿越一条狭长的隧道，隧道的高度只相当于大三角形的直角边，或两个正方形叠起来的高度。作为一名车辆调度员，你需要从已知的13种凸多边形中选取不同形状的车厢来编组。你能组成一列最长有多长的列车呢?
这个问题的求解需要将以上这些凸图形重新按照最低的高度分类，挑选出高度恰为大三角形直角边的图形(图6)。为此，孩子们首先要把每一种凸图形拼出来，—一检视它的最低高度。这是一种操作加分类和枚举解决问题的过程。但是为了当好调度员，不至于让火车在穿越隧道时遇阻，他们就很乐意开展工作了。
图7显示的网格有助于发现每个图形的高度，其中平行四边形、等腰梯形、长方形等绿色的5块是高度为2的，可以编入列车的编组内。而黄色的两块高度略高于大三角形的直角边长，不能入编。正确的答案是，这趟列车编组就是5节。
综上所述，孩子在游戏中尝试的外在和内在的活动包括做工(工程)、技艺(技术)、理解(科学)、计算(数学)等。这些综合性的活动对于他们日后成长中去感知客观世界的五彩缤纷和真实可信性是大有益处，也能唤起他们迎接未来挑战各种难题的信心。教师或家长在其中所起的作用是：
●创设环境，提供必要的条件。
●提出并引导探索问题。
●与他们展开平等的讨论。
●鼓励他们尝试各种方法来解决问题。
●当好他们的玩伴和助手。
我们所处的时代是知识爆炸的时代，这个世界的信息在急剧增多令人应接不暇。人类适应这个变化唯有更强的大脑而不是更多的脑容量；更强地处理信息做出正确判断的能力，是跨学科解决问题的能力。有鉴于此，我们的教育要适应这个变化，提供学生更多适应和养成21世纪新技能的机会。

本书侧重解析折纸中的数学原理。全书有10个折纸主题，每个主题又拓展出多种活动，每个活动都从基本纸质制作教程开始，并配有数学原理的解析。书中的每一个主题发散出多个主题折纸，从怎么折，到涉及的数学原理都讲解得很详细。尤其数学内涵解读更加详尽。书中配有折纸阶段以及如何玩的视频，让书中难点可以用更直观和动态的视频来解疑。书中的纸条上的数学，不借助任何工具将A4纸平分为11等分，不同于课本中的数学思维模式。杜登尼切割是一个很有趣味的切拼游戏，可以从正方形渐变成为一个正三角形，其中的数学原理本书会一一解密，并为开发教具玩具提供了思路。鳖臑、阳马和堑堵出之《九章算术》的演绎，在之前的《奇妙的数学折纸》第一第二册中都谈到过，本书把三种融合起来，玩出新的组合和新的游戏。孩子们以后学习立体几何打下一个直观的感性认识基础。还有萨默维尔四面体对后人开发吉本方块提供了坚实的理论基础。本书的折纸又为该玩具纸质化提供了有益的补充。

常文武，复旦大学博士，跨学科高级教师。上海市普陀区第四、第五轮学科带头人，2016全国教师自制教具评比一等奖获得者。他长期在数学折纸领域探索研究，出版数十篇文章及三部著作。在STEM折纸领域有独到见解。

PART 1
虎皮鹦鹉书签
活动1 折出虎皮鹦鹉书签………………………2
活动2 书签的使用………………………………5
活动3 折法变化探究……………………………6
PART 2
黄金比、黄金三角形与五角星
活动1 认识黄金比………………………………9
活动2 传统的作图法……………………………9
活动3 折纸法产生黄金比……………………10
活动4 黄金三角形…………………………11
活动5 数学的应用……………………………13
活动6 尺规作正五边形……………………13
活动7 折出圆的五等分………………………14
活动 8 剪五角星………………………………16
PART 3
化圆为方、三等分任意角、倍
立方体
活动1 化圆为方………………………………20
活动2 三等分任意角…………………………23
活动3 倍立方体………………………………25
PART 4
折来折去的乐趣
活动1 “正”字迷题 ………………………29
活动2 “折来折趣”迷题 …………………31
活动 3 六角棋盘折叠…………………………34
PART5
纸条上的数学
活动1 将A4纸平分为11等分 ……………41
活动 2 制作一个幸运星………………………43
活动3 编织纸带足球………………………48
PART 6
剪拼、割补、镶嵌及其他
活动1 梯形面积的割补法证明………………54
活动2 勾股定理的奇妙证法…………………55
活动3 割补曲边图形…………………………56
活动4 折出2/√3 ……………………………57
活动5 镶嵌艺术……………………………58
PART 7
再谈五角星
活动1 折出正方形中最大正五角星………61
活动2 实用的近似折法………………………62
活动3 制作一个黄金正五棱锥………………65
活动4 折一个立体的五角星…………………66
PART 8
鳖膈、阳马和堑堵
活动1 将正方形的纸裁切为合适的三片……72
活动2 折出鳖膈……………………………74
活动3 折出阳马和堑堵……………………77
活动 4 组装……………………………………80
活动5 游戏…………………………………81
PART 9
萨默维尔四面体
活动1 ST1 四面体 ……………………………84
活动2 ST2四面体…………………………86
活动3 ST3四面体 …………………………89
活动 4 ST4 四面体 ……………………………91
PART 10
1/√3与杜登尼切割
活动1 确定杜登尼切割的各条切割线……95
活动 2 从一个正方形折出1/√3并证明折法的正确性…………96
活动3 通过折纸实现杜登尼板的精确切割…100
活动4 一个杜登尼切割的近似生成方法…104
活动 5 铰链的设计与安装……………………106
PART 11
从八角金盘的对称美谈起
活动1 纸带结正五棱锥……………………109
活动 2 正十二面体面心五棱锥………………1112
活动3 利用折纸获得sin-1……………………1133
活动4 纸带结正十二面体面心锥……………113
活动5 组合一个正十二面体和它的星体…116
活动6 制作正十二面体魔镜…………………117
PART 12
1/6 正方体与第3种吉本魔方
活动1 单个1/6 正方体的制作 ……………120
活动2 将3个1/6 正方体黏合为一个1/2正方体………1