零基础学数学建模

数学科学的作用和地位日益受到人们的重视，这主要源于它的应用。各行各业都在运用数学，或是建立在数学基础之上。“数学无处不在”已成为不可争辩的事实。特别是在知识经济时代，经济全球化和计算机技术的迅猛发展，以及数学理论与方法的不断扩充使得数学的应用越来越深入。数学与计算机技术结合，已形成一种可实现、可应用、可推广的数学技术。数学建模就是联系数学和实际问题的桥梁。

本书结合国内外数学建模及数学软件的最新研究成果，总结了编者多年来数学建模教学和竞赛指导中积累的经验，从引领、指导、推广和应用的角度汇集了一些典型数学模型，从数学建模思维的角度阐释数学建模的原理、方法和过程，引领学生学习和欣赏数学模型，学会运用MATLAB、Python等现代数学软件解决实际问题。本书语言精练，深入浅出，注重基础，可读性强，强调现代数学软件及数值方法在数学建模中的重要应用。

本书的编写遵循数学建模的基本原理，精选了一些典型数学模型案例，注重讲解数学建模的基本框架和方法。全书共9章，主要涉及数学模型与数学建模概述、初等模型、线性规划模型、非线性规划模型、统计方法与分析、微分方程模型、差分方程模型、图与网络模型及数学建模竞赛与论文写作，附加赠送MATLAB、Python软件入门知识和使用简介电子资源。本书主要具备以下特点。

(1) 以案例教学的形式，介绍数学建模的内容、方法和步骤，提升学生综合素质和能力。

(2) 以“问题—建模—求解”为主线，强调数学语言的表述和数学模型的符号表达。

(3) 介绍常用的数学建模软件，引导学生树立运用数学软件解决实际问题的意识。

(4) 介绍全国大学生数学建模竞赛，精选了专家讲评论文，使学生在学习建模的同时，了解并做好参加全国大学生数学建模竞赛的准备。

(5) 配备了相关模块作业。

希望本书可以使更多的读者了解数学建模、热爱数学建模、应用数学建模。本书的编写和出版，得到了清华大学出版社的大力支持，在此表示衷心的感谢。

由于编者水平有限，书中难免存在不足和错误，恳请同行专家和读者批评指正。

编者

2023年7月

本书是一部系统阐释数学建模原理、方法和示例的书籍。全书共9章：第1章数学模型与数学建模概述，介绍了数学模型概念、数学建模方法、步骤等；第2章初等模型，介绍了函数、数列、比例、方程、概率等初等数学模型；第3章线性规划模型，介绍了整数线性规划、0-1型整数线性规划概念、方法、求解及案例分析等；第4章非线性规划模型，阐释了无约束、带约束非线性规划问题及求解方法；第5章统计方法与分析，对常见随机变量的分布、描述统计、推断统计进行了总结；第6章微分方程模型，介绍了微分方程概念、求解、Python示例；第7章差分方程模型，介绍了差分方程概念、求解及建模案例；第8章图与网络模型，介绍了图与网络基本概念、最短路及最小生成树问题；第9章数学建模竞赛与论文写作，介绍了全国大学生数学建模竞赛及论文写作要求。

本书适合作为理工科专业本科生和研究生的课程教材，也可以作为广大数学建模爱好者、数学建模指导教师的参考用书。

第1章数学模型与数学建模概述

1．1数学模型的基本概念

1．1．1模型

1．1．2数学模型

1．1．3数学模型的分类

1．1．4数学模型与数学

1．2数学建模及其方法

1．2．1数学建模

1．2．2数学建模的方法

1．3数学建模的一般步骤

1．3．1模型准备

1．3．2模型假设

1．3．3模型建立

1．3．4模型求解

1．3．5模型分析

1．3．6模型检验

1．3．7模型应用

第2章初等模型

2．1函数模型

2．1．1加油站价格竞争模型

2．1．2椅子平衡模型

2．2数列模型

2．2．1出租车调配模型

2．2．2竞争捕食者模型

2．3比例模型

2．3．1划艇成绩模型

2．3．2商品包装规律模型

2．4方程模型

2．4．1嫌疑犯判断模型

2．4．2双层玻璃功效模型

2．5概率模型

2．5．1电梯运行模型

2．5．2名额分配模型

第2章习题

第3章线性规划模型

3．1线性规划概述

3．1．1问题引入

3．1．2线性规划模型的一般形式

3．1．3线性规划问题的解

3．1．4线性规划问题求解方法

3．1．5线性规划问题求解案例

3．1．6线性规划模型案例

3．1．7灵敏度分析

3．2整数线性规划问题概述

3．2．1整数线性规划问题的一般形式

3．2．2整数线性规划问题解的特点

3．2．3分枝定界法

3．301型整数规划问题概述

3．4投资收益和风险模型

3．4．1问题提出

3．4．2模型分析

3．4．3模型建立

3．4．4模型求解

第3章习题

第4章非线性规划模型

4．1非线性规划概述

4．1．1非线性规划问题实例

4．1．2线性规划与非线性规划的区别

4．2无约束非线性规划问题

4．2．1无约束非线性规划问题的解法

4．2．2梯度法

4．2．3Newton法

4．2．4变尺度法

4．2．5MATLAB求无约束极值问题

4．3带约束非线性规划问题

4．3．1二次规划

4．3．2罚函数法

4．3．3MATLAB求约束极值问题

4．4奶制品加工问题模型

4．4．1问题提出

4．4．2问题分析

4．4．3模型建立与求解

4．4．4革新项目研究

4．4．5模型讨论

第4章习题

第5章统计方法与分析

5．1常见随机变量的分布

5．1．1离散型随机变量分布

5．1．2连续型随机变量分布

5．1．3其他连续型分布

5．2描述统计 

5．2．1统计量及数据分布特征

5．2．2Python统计可视化

5．3推断统计

5．3．1参数估计与假设检验

5．3．2方差分析

5．3．3回归分析

5．3．4聚类分析

5．3．5Python示例

第5章习题

第6章微分方程模型

6．1微分方程的基本概念与求解

6．1．1常微分方程的解析解

6．1．2常微分方程的数值解

6．2微分方程建模方法

6．3微分方程建模案例

6．3．1传染病模型

6．3．2人口预测模型

6．4Python程序求解示例

第6章习题

第7章差分方程模型

7．1差分方程的概念与求解

7．1．1基本概念

7．1．2常系数线性齐次差分方程的解法

7．1．3常系数线性非齐次差分方程的解法

7．1．4差分方程的递推解法

7．1．5差分方程的平衡点及稳定性

7．2差分方程建模案例

第7章习题

第8章图与网络模型

8．1图与网络的基本概念

8．2最短路问题

8．2．1Dijkstra算法

8．2．2Floyd算法与BellmanFord 算法

8．2．3Python示例

8．3最小生成树问题

8．3．1Prim算法与Kruskal算法

8．3．2Python示例

第8章习题

第9章数学建模竞赛与论文写作

9．1全国大学生数学建模竞赛概述

9．1．1全国大学生数学建模竞赛背景

9．1．2全国大学生数学建模竞赛进程和评奖标准

9．1．3全国大学生数学建模竞赛题目

9．2数学建模竞赛论文写作要求

9．2．1数学模型结构

9．2．2数学建模论文书写原则与格式

9．3数学建模竞赛论文讲评选读

9．3．1案例1： 炉温曲线的数学模型与求解

9．3．2案例2： 机场的出租车问题

参考文献

本书是一部系统阐释数学建模原理、方法和示例的书籍。全书共9章：第1章数学模型与数学建模概述，介绍了数学模型概念、数学建模方法、步骤等；第2章初等模型，介绍了函数、数列、比例、方程、概率等初等数学模型；第3章线性规划模型，介绍了整数线性规划、0-1型整数线性规划概念、方法、求解及案例分析等；第4章非线性规划模型，阐释了无约束、带约束非线性规划问题及求解方法；第5章统计方法与分析，对常见随机变量的分布、描述统计、推断统计进行了总结；第6章微分方程模型，介绍了微分方程概念、求解、Python示例；第7章差分方程模型，介绍了差分方程概念、求解及建模案例；第8章图与网络模型，介绍了图与网络基本概念、最短路及最小生成树问题；第9章数学建模竞赛与论文写作，介绍了全国大学生数学建模竞赛及论文写作要求。

本书适合作为理工科专业本科生和研究生的课程教材，也可以作为广大数学建模爱好者、数学建模指导教师的参考用书。

数学模型是应用数学思考问题的方法，是运用数学解决问题的工具。数学建模即数学模型的建立过程，是联系数学和实际问题的桥梁，是开启数学大门的金钥匙。数学与工程技术结合的关键是数学模型，数学建模能力已成为新时代应用创新人才的必bei能力之一。2022年，来自全国及英国、马来西亚等国家超过16万学生报名参加了全国大学生数学建模竞赛。全国本科高校、高职院校甚至中职院校等都相继开设了数学模型与实验类课程。为满足广大读者对数学建模的学习、培训需求，作者编著了此书。本书遵循数学建模的基本原理，精选了一些典型数学模型案例，注重讲解数学建模的基本框架和方法，帮助读者形成关于数学建模的初步知识体系。《零基础学数学建模》呈现了以下数学模型和数学建模的基本理论与应用，并提供了MATLAB、Python软件实现。

初等数学模型；

线性规划模型；

非线性规划模型；

统计分析模型；

微分方程模型；

差分方程模型；

图与网络模型。