学数学会上瘾

真的是万物皆数吗
2?500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯曾说：“万物皆数。”几千年过去了，他的这句话还对吗？我的回答是：尽管数的概念比那时扩展了许多，但他的这句话更加显得正确了。每天早上，当你醒来，打开手机看新闻，你就是“数字”。新闻小程序会根据代表你的那个数字选择内容推送给你。你打开冰箱，吃了些早点，你吃进去的食物也是“数字”，因为这些食物所包含的热量值都是数字，而这些热量数字将决定你晚上在体重秤上的数字。你出门上班，上了一辆公交车，公交车也是一“数字”。公交车时刻把自己的位置以数字形式发送给调度中心，以便其监控和调度。公交车上也有摄像头，记录车厢内的情况，以数字形式存在硬盘上。公交车上的报站系统也是数字形式的。终，每天的行驶数据也会是无数的数字。你到了公司，打开计算机，数字就更多了，很可能你一整天打交道多的也是数字。如果你是户外体力劳动者，你也离不开数字。在建筑工地上，每个建筑在图纸上时都是数字。建筑的结构是否合理、需要使用多少建材、工期多久，都是用数字计算出来的。如果你是快递员，那么每件快递都是“数字”，快递路线的导航也依靠数字。如果你是营业员，那么每笔交易都是“数字”。终，每个人的业绩和工资也是数字。晚上，你回到家，听些音乐，玩一会儿游戏，看一会儿流媒体，这些内容本质都是“数字”。
在现代人的生活中，随时随地都是数字。还有两项人工智能领域的科技进展，进一步证明了数字和数学在其他领域的重要作用。一个例证是，英国Deepmind公司开发了一款可以预测蛋白质结构的人工智能软件AlphaFold。其新闻稿称：AlphaFold将人类蛋白质组预测范围覆盖到了98.5%，其中对58%的氨基酸的结构做出可信预测，对36%的氨基酸结构预测达到很高的置信度。这个软件无疑是生物医药领域的一大技术突破，而新闻中的一些术语，如“可信预测”和“置信度”无不透露出数学的作用。另一个例证出现在人工智能绘画领域，很多的人工智能工具已经可以根据文字描述，自动生成绘画作品。比如，右面这幅OpenAI公司的DALL·E2生成的图片：其文字描述是“泰迪熊像疯狂科学家那样，混合冒泡的化学物质，像20世纪90年代的卡通片风格”，虽然图片本身并非尽善尽美，但要想到这只是人工智能的“创作”，是不是很神奇？
距离上一本《老师没教的数学》出版，已经过去3年了。3年里，不断有新的科技进展突破，在这些突破中，或多或少都有数学的作用。我希望我的书能提供给大家更多有趣的数学知识，让大家更喜欢数学。相信若干年以后，在我的读者中，有些能成为出色的专业数学工作者，这将是对我的回馈。

????为什么学数学总是学不进去，或是总也学不好？其实是你一直还没踏入数学
学习的门槛。数学不是一个单独的学科，众多学科都与其相关联。在生活中，数
学也无处不在。当你真正了解了数学的本质，学会用数学思维去思考一切后，你
就会发现，原来数学就这么简单，而且，学数学真的会上瘾。请跟随本书，开启
一段从史前时期到人工智能时代的跨越千年的数学之旅。

李有华
爱数学的T男科普联盟科学发声会成员，复旦大学计算机工程硕士人气数学科普节目大老李聊数学主播。

序
前言
章? 万物皆随机
中文是有效率的语言吗? ? /? 002
“三人成虎”能用数学解释吗? ? /? 015
“乱打”键盘得到数字是随机数吗? ? /? 025
在“确定”中产生“不确定”? ? /? 036
“混沌”中的有序? ? /? 047
第二章? 隐秘而伟大的数字
三维世界中的“和谐”比例? ? /? 058
有意思的163? ? /? 065
为什么数轴是连续的 ? ? /? 072
无理数与无理数还不一样? ? /? 079
整数与整数都差不多? ? /? 084
第三章? 你也能攀登数学界的“珠穆朗玛峰”
费马也会犯错吗? ? /? 092
形形色色的质数? ? /? 099
合数里的质数“伪装者”? ? /? 110
如何鉴定一个数为质数? ? /? 118
质数的邻居住多远? ? /? 127
第四章? 绕不过的对称问题
出人意料的一道排列组合题 ? ? /? 138
正多面体上的“环球旅行”和正十二面体上的一条特殊路径 ? ? /? 149
“大自然的恩赐”? ? /? 158
三人行，必有排列组合题? ? /? 173
打结也能用数学研究吗? ? /? 185
第五章? 人工智能怎么丢骰子
数学家的纸上计算机? ? /? 200
八维空间好砌墙? ? /? 213
计算机怎么丢骰子? ? /? 222
盒子里怎么装球? ? /? 232
算法理论中的王冠? ? /? 245
“复杂度动物园”中的“俄罗斯套娃”? ? /? 256
第六章? 数学也是一门生意
区块链有故事? ? /? 266
数字藏品有价值吗? ? /? 274
浅说数字人民币? ? /? 278
第七章? 修炼你的数学思维
一个半世纪的征程? ? /? 284
二十四维晶体中特有的对称? ? /? 294
意外发现的两个领域的关联? ? /? 302
怎么学数学不累? ? /? 311
书中一些思考题的解题思路和解答? ? /? 319
后记 纪念“数学大玩家”约翰·康威? ? /? 329
隐藏任务 ：寻找有限单群周期表

????为什么学数学总是学不进去，或是总也学不好？其实是你一直还没踏入数学
学习的门槛。数学不是一个单独的学科，众多学科都与其相关联。在生活中，数
学也无处不在。当你真正了解了数学的本质，学会用数学思维去思考一切后，你
就会发现，原来数学就这么简单，而且，学数学真的会上瘾。请跟随本书，开启
一段从史前时期到人工智能时代的跨越千年的数学之旅。

李有华
爱数学的T男科普联盟科学发声会成员，复旦大学计算机工程硕士人气数学科普节目大老李聊数学主播。