分数阶微积分学：数值算法与实现

分数阶微积分学与应用是当前科学与工程领域迅速发展的研究方向。本书系统介绍分数阶微积分学，侧重于介绍利用计算机工具直接解决分数阶微积分学及应用领域的问题。本书结构与大致思路是这样的：第 1章给出相关领域的综述；第 2章介绍一些本领域常用的特殊函数；第 3章和第 4章介绍已知函数或采样点的分数阶微分与积分计算；第 5章介绍信号事先未知时，利用专门设计的滤波器求取信号的分数阶微分与积分。第 3～5章还可以理解成分数阶微分与积分的离线计算方法与在线计算方法。后续内容侧重于分数阶微分方程的介绍，第 6章介绍分数阶线性微分方程的解析解与数值解方法，第 7章介绍分数阶非线性微分方程的“命令式”求解方法，第 8章介绍基于框图的微分方程求解方法，第 9章介绍以往难以求解的分数阶微分方程（包括隐式微分方程、延迟微分方程、微分方程边值问题与偏微分方程）的求解方法。本书中每一个知识点都配备作者专门编写的 MATLAB通用求解函数，并配合本书发布了全新的 FOTF工具箱，读者可以直接使用这些可重用代码再现书中的结果，更重要地，可以利用这些代码创造性地解决遇到的实际问题，并探讨新的知识。

2015年，我受国际分数阶微积分领域著名的学者、上海大学数学系李常品教授邀请，为他主编的“应用科学与工程中的分数阶微积分学”系列著作写一部相关的专著，2017年我撰写的专著 Fractional-order Control Systems：Fundamentals and Numerical Implementations有幸成为该系列著作的卷，在 de Gruyter出版社正式出版。翌年，相应的中文版专著《分数阶微积分学与分数阶控制》在科学出版社正式出版。

本书是在我和沈阳大学信息工程学院白鹭博士通力合作下完成的，融入了很多近年的新成果。在本书中有很多首次公开的原创性研究成果，包括分数阶微积分的解析计算、高阶分数阶微积分的高精度算法、无理系统的仿真与稳定性分析、全新的 FOTF工具箱及 FOTF模块集、分数阶微分方程的统一求解框架、分数阶延迟微分方程的求解方法、分数阶微分方程边值问题的求解方法、时间分数阶偏微分方·iv·分数阶微积分学——数值算法与实现程的数值求解方法、更多类型的分数阶微分方程求解算法的基准测试问题等。

在 2000年前后，受一个长期合作的朋友、现美国加利福尼亚大学莫赛德分校的陈阳泉教授的鼓动甚至劝说，我开始接触分数阶控制领域的研究，不过直到 2003年开始与陈教授合作《高等应用数学问题的 MATLAB求解》版时，我才真正花时间研读这方面的文献，并开始研究分数阶微积分领域的数值计算问题。在该著作中系统地介绍了分数阶微积分计算、滤波器近似、线性分数阶微分方程的闭式解算法、基于框图的分数阶微分方程求解等大量工作，其中很多代码与模型至今仍被分数阶领域的研究者广泛使用，所以这里必须首先感谢陈阳泉教授。

还要感谢一些分数阶领域著名学者和活跃的研究者，包括斯洛伐克科希策工业大学的 Igor Podlubny教授和 Ivo Petrá.教授、德国不伦瑞克工业大学的 Kai Diethelm教授、山东大学的李岩教授、中国科学技术大学的王永教授、上海交通大学的卢俊国教授、上海大学的李常品教授、清华大学的李东海教授、北京交通大学的于永光教授、哈尔滨工业大学的孙光辉教授、河海大学的陈文教授与孙洪广教授、华南理工大学的曾才斌教授、长春理工大学的王春阳教授、东南大学的卫一恒教授、法国国立应用科学学院的刘大研教授、 Driss Boutat教授等（排名不分先后），也感谢我 2010年在 Springer出版社出版专著时的合作者，即西班牙学者 Blas Vinagre教授、 Concepción Monje教授和 Vicente Feliu教授，和他们的讨论与交流催生了我在这个领域的很多新的想法与研究成果，丰富了本书的内容。

我与东北大学的同事们，特别是潘峰博士、陈大力博士与张雪峰博士等的深入讨论也为本书带来了很多有意义的内容。也感谢我的学生们为本书及相关的研究做出的成果和贡献，具体包括赵春娜博士在分数阶微积分与微分方程数值计算方面的贡献，赵春娜博士与孟丽博士在滤波器设计方面的贡献，赵春娜博士、孟丽博士、王伟楠同学、刘禄博士与李婷雪博士在控制器设计方面的贡献，还要感谢在其他相关领域杨洋博士、张艳珠博士、刘艳梅博士、陈震博士、陈岚峰博士及博士生崔新树、刘怡彤、王哲等同学的贡献。

感谢国家自然科学基金委员会的自然科学基金面上项目（项目编号：61174145、 61673094）对本书研究工作的资助。

后特别感谢我的妻子杨军和女儿薛杨，她们在生活和事业上给予了我莫大的帮助与鼓励，没有她们的鼓励和一如既往的支持，本书和我的其他著作均不能顺利面世，谨以此书献给她们。

薛定宇

沈阳·东北大学

本书系统地介绍分数阶微积分学领域的理论知识与数值计算方法。特别地，作者提出并实现一整套高精度的分数阶微积分学的数值计算方法； 提出线性、非线性分数阶微分方程的通用数值解法和基于框图的通用仿真框架； 提出并实现了基于框图的分数阶隐式微分方程、延迟微分方程与分数阶微分方程边值问题的通用求解方法。本书所有知识点均配有高质量的MATLAB 代码与Simulink 模型，有助于读者更好地理解知识点的内涵，更重要的是，读者可以使用这些代码创造性地解决相关问题。

本书可供数学与应用科学领域的高年级本科生、研究生与工程师系统学习分数阶微积分学理论及其计算方法，并用其解决实际应用问题。

薛定宇  1992年获英国Sussex大学博士学位，1997年起任东北大学信息科学与工程学院教授。中国自动化学会分数阶系统与控制专业委员会副主任。辽宁省教学名师、辽宁省优秀教师。20余年来从事分数阶系统与控制领域的研究工作，提出分数阶微积分、常微分方程数值计算的高精度算法与基于框图的通用仿真方法，发表多篇学术论文并出版多部相关图书。开发的FOTF工具箱是国际分数阶系统研究领域四大工具箱之一。

白鹭  2018年获东北大学博士学位，现任沈阳大学信息工程学院讲师。主要研究方向为系统建模与仿真、分数阶微积分与微分方程的数值计算。

第 1章分数阶微积分学简介  1

1.1分数阶微积分学的历史回顾  1

1.2自然世界中的分数阶现象与模型举例  4

1.3分数阶微积分计算的历史回顾  5

1.3.1分数阶微积分的数值计算  5

1.3.2分数阶常微分方程的数值计算  6

1.3.3分数阶偏微分方程的数值计算  7

1.4分数阶微积分与分数阶控制工具简介  8

1.5本书的结构 9

1.5.1本书的主要内容与要点 9

1.5.2阅读本书的建议  11

参考文献  12

第 2章常用特殊函数的定义与计算  17

2.1误差函数与补误差函数  17

2.2 Gamma函数 19

2.2.1 Gamma函数的定义与性质  20

2.2.2复数的 Gamma函数  23

2.2.3 Gamma函数的其他表现形式  23

2.2.4不完全 Gamma函数  24

2.3 Beta函数  24

2.3.1 Beta函数的定义与性质  24

2.3.2不完全 Beta函数 27

2.4 Dawson函数 27

2.5超几何函数 29

2.6 Mittag-Leffler函数  32

2.6.1单参数 Mittag-Leffler函数  32

2.6.2双参数 Mittag-Leffler函数  34

vi分数阶微积分学——数值算法与实现

2.6.3多参数 Mittag-Leffler函数  39

2.6.4 Mittag-Leffler函数与超几何函数的关系 39

2.6.5 Mittag-Leffler函数的导数 40

2.6.6 Mittag-Leffler函数及其导数的数值运算 43

本章习题  44

参考文献  46

第 3章分数阶微积分：定义与计算 47

3.1分数阶 Cauchy积分公式 48

3.1.1 Cauchy积分公式 49

3.1.2常用函数的分数阶微分与积分公式  49

3.2 Grünwald–Letnikov分数阶微积分定义与计算  50

3.2.1高阶整数阶导数的推导 50

3.2.2 Grünwald–Letnikov分数阶微分的定义 50

3.2.3 Grünwald–Letnikov分数阶微分与积分的数值计算  51

3.2.4 Podlubny的矩阵算法  58

3.2.5短时记忆效应及其探讨 59

3.3 Riemann–Liouville分数阶微积分定义与计算 62

3.3.1高阶整数阶积分公式  63

3.3.2 Riemann–Liouville分数阶微积分定义  63

3.3.3常用函数的 Riemann–Liouville微积分公式  64

3.3.4初始时刻平移的性质  65

3.3.5 Riemann–Liouville定义的数值计算  66

3.3.6 Riemann–Liouville微积分的符号计算  68

3.4 Caputo分数阶微积分定义  69

3.4.1 Caputo微积分定义  69

3.4.2常用的 Caputo导数公式  69

3.4.3 Caputo定义的符号运算  71

3.5各种不同分数阶微积分定义之间的关系 72

3.5.1 Grünwald–Letnikov与 Riemann–Liouville定义的关系  72

3.5.2 Caputo与 Riemann–Liouville定义的关系  73

3.5.3 Caputo分数阶微分的数值计算 73

3.6分数阶微积分的性质与几何解释  75

3.6.1分数阶微积分的性质  75

3.6.2分数阶积分的几何解释 77

本章习题  80

参考文献  82

第 4章分数阶微积分的高精度数值计算  83

4.1任意整数阶的生成函数构造  83

4.2高精度 Grünwald–Letnikov导数算法的尝试 87

4.2.1基于 FFT的算法 88

4.2.2系数计算的递推公式  90

4.3高精度 Grünwald–Letnokov算法与实现  95

4.3.1非零初值的分解与补偿 95

4.3.2高精度算法与实现  96

4.3.3算法的测试与评价  97

4.3.4再论矩阵算法  100

4.4 Caputo微分的高精度算法  100

4.4.1算法与实现  101

4.4.2算法的测试与评价  101

4.4.3基准测试问题求解  103

4.5更高阶分数阶导数的计算 105

4.5.1整数阶高阶导数的高精度算法  105

4.5.2高阶分数阶导数计算  107

本章习题  110

参考文献  112

第 5章分数阶微积分算子与系统的近似  113

5.1线性整数阶模型的表示与分析  114

5.1.1数学模型输入与处理  114

5.1.2时域与频域响应  115

5.1.3分数阶线性系统的建模与分析  115

5.2基于连分式的几种近似方法  116

5.2.1连分式近似  116

5.2.2 Carlson近似  118

5.2.3 Matsuda–Fujii近似 121

5.2.4拟合效果与滤波器参数选择的关系  123

5.3 Oustaloup滤波器近似  124

5.3.1常规的 Oustaloup近似  124

5.3.2一种改进的 Oustaloup滤波器 129

viii分数阶微积分学——数值算法与实现

5.4分数阶传递函数的整数阶近似  132

5.4.1分数阶传递函数的高阶近似  132

5.4.2基于模型降阶技术的低阶近似方法  135

5.5无理分数阶模型的近似  140

5.5.1隐式无理模型的近似  140

5.5.2频域响应近似方法  141

5.5.3 Charef近似  144

5.5.4复杂无理模型的 Charef滤波器设计 148

5.6离散滤波器近似  154

5.6.1 FIR滤波器逼近  155

5.6.2 IIR滤波器逼近  157

5.6.3基于阶跃或冲激响应不变性的离散滤波器  159

本章习题  161

参考文献  163

第 6章线性分数阶微分方程的解析解与数值解 165

6.1线性分数阶微分方程简介 165

6.1.1线性分数阶微分方程的一般形式  166

6.1.2不同定义下的分数阶导数初值问题  166

6.1.3一个重要的 Laplace变换公式  168

6.2一些线性分数阶微分方程的解析解方法 169

6.2.1线性单项分数阶微分方程  169

6.2.2双项分数阶微分方程  169

6.2.3三项分数阶微分方程  170

6.2.4一般 n项分数阶微分方程  171

6.3同元次线性微分方程的解析求解  172

6.3.1同元次微分方程的一般形式  172

6.3.2线性分数阶微分方程求解的一些常用 Laplace变换公式  174

6.3.3同元次微分方程的解析解  175

6.4零初值线性分数阶微分方程的闭式解算法  179

6.4.1闭式解算法  179

6.4.2分数阶线性模型的冲激响应  181

6.4.3分数阶微分方程数值解的检验  183

6.4.4基于矩阵的求解算法  184

6.4.5高精度闭式解算法  186

6.5非零初值线性 Caputo微分方程的数值解法  188

6.5.1 Caputo微分方程的数学描述  188

6.5.2 Taylor辅助函数算法 188

6.5.3 Caputo微分方程的高精度算法 191

6.6线性分数阶状态方程求解 197

6.6.1线性分数阶系统的状态方程描述  197

6.6.2状态转移矩阵  198

6.6.3非同元次系统的状态方程模型  201

6.7无理分数阶微分方程的数值解法  202

6.7.1无理分数阶传递函数描述  202

6.7.2基于数值 Laplace反变换的仿真方法  202

6.7.3闭环无理系统的时域响应计算  205

6.7.4任意输入信号的时域响应  207

6.8线性分数阶系统的稳定性判定  208

6.8.1线性同元次分数阶系统的稳定性判定 209

6.8.2非同元次系统的稳定性判定  211

6.8.3无理系统的稳定性判定 214

本章习题  216

参考文献  217

第 7章非线性分数阶微分方程的数值求解  219

7.1分数阶微分方程描述  220

7.1.1分数阶微分方程的一般形式  220

7.1.2同元次状态方程  221

7.1.3扩展状态方程  221

7.2非线性 Caputo微分方程的数值解算法 223

7.2.1标量型同元次方程的数值解方法  223

7.2.2向量型同元次 Caputo微分方程的求解  227

7.2.3分数阶扩展状态方程的数值求解  231

7.2.4基于代数方程求解的微分方程算法  237

7.3 Caputo微分方程的高效高精度算法 239

7.3.1预估方程 239

7.3.2校正求解方法  242

本章习题  244

参考文献  246

x分数阶微积分学——数值算法与实现

第 8章基于框图的分数阶微分方程求解  247

8.1 FOTF工具箱与模块集简介  247

8.1.1分数阶传递函数模块的输入与连接  248

8.1.2分数阶线性状态方程模型  250

8.1.3线性分数阶系统的分析函数  250

8.1.4 FOTF模块集  251

8.2零初值分数阶微分方程的框图解法  252

8.2.1 Simulink建模准则  252

8.2.2 Simulink的环境参数设置  253

8.2.3分数阶微分方程的 Simulink建模与求解  255

8.2.4非线性分数阶微分方程数值解的检验 261

8.3非零初值 Caputo微分方程的框图解法 262

8.3.1显式 Caputo微分方程的建模仿真方法  262

8.3.2分数阶状态方程的 Simulink建模  267

8.3.3阶次大于 1的状态方程处理方法 273

8.4分数阶反馈控制系统的 Simulink仿真  276

8.4.1分数阶传递函数模块  276

8.4.2分数阶 PID控制器及闭环系统仿真  276

8.4.3多变量控制系统的仿真 278

本章习题  280

参考文献  282

第 9章特殊微分方程的数值求解 285

9.1隐式微分方程  285

9.1.1隐式 Caputo微分方程的