薛定宇教授大讲堂（卷Ⅱ）：MATLAB微积分运算（第2版）

20世纪 80年代，科学巨匠钱学森先生在论理工科数学课程改革时就提出：
“数学课不是为了学生学会自己去求解，而是为了学生学会让电子计算机去求解，学会理解电子计算机给出的答案，知其所以然”。遗憾的是，几十年过去了，今天的理工科数学教材与课程并没有实现大师期望的改革，数学教材鲜有不同于以往的变化。我们在这方面的教学工作始于 21世纪初。从某种意义上讲，“薛定宇教授大讲堂”系列著作试图实践大师的理念，填补各门工科数学课程与计算机工具有机结合的空白。在写作这套系列著作时，我尽量沿用相应数学课程传统教材的知识点，将基于 MATLAB的数值运算与解析运算有机地融入每个知识点，利用计算机工具直接求解数学问题。除了传统的数学知识点之外，还编写了大量的通用函数，直接求解在传统数学教材中被刻意回避的问题，并给出了传统数学教材无法求解问题的求解方法。
“薛定宇教授大讲堂”系列著作第 1版出版已经有几年的时间了。在这几年间， MATLAB编程与 Simulink建模技术发生了很大的变化，MATLAB求解科学运算问题的工具也越来越完备，因此有必要更新这一系列著作，融入新的内容，使其能发挥更大的作用。所以将陆续开始写作、出版这一系列著作的第 2版。和第 1版一样，第 2版的卷 I侧重于 MATLAB编程的系统介绍，卷 VI侧重于 Simulink建模与仿真的介绍，这两部著作将引入版本 MATLAB、Simulink在程序设计与建模方面的进展，其余各卷对 MATLAB版本的依赖程度没有那么高，主要侧重于更多科学运算问题的求解方法介绍。
本书是系列著作的第 II卷，侧重于基于 MATLAB的微积分问题求解方法的全面介绍。在函数与序列部分，增加了函数周期性与单调性的判定方法，并引入了特殊空间图形与坐标变换方面的内容；在函数与序列的极限部分，增加了有理函数的部分分式展开、重极限的求解技巧等内容；在函数的导数与微分部分，增加了 n阶导数计算方法，并介绍了基于数学归纳法的证明方法，还引入了偏微分方程验证与
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方向导数的计算方法等新内容；在函数的积分部分，增加了特殊函数的计算、多重积分区域的变换方法等内容；在级数展开与函数逼近部分，增加了无穷小量的逼近方法、函数的特殊多项式逼近等方面的内容，给出了 Fourier级数的高效计算函数；在数值数值导数与数值积分部分，增加了高阶数值微分算法的精度证明、函数边界多重积分的数值计算方法等方面的内容；在分数阶微积分部分，全面更新了相关内容，并给出了基于新版 FOTF工具箱的计算方法。
从第 2版开始，系列著作的版式也有所变化。第 2版统一采用双色印刷的方式出版，每章开始给出本章的内容提要，定义和定理等采用更醒目的版式统一处理，使得全书的可读性更强。
特别感谢团队的同事潘峰博士在相关课程建设、教材建设与教学团队建设中的出色贡献和所做的具体工作。感谢美国加利福尼亚大学 Merced分校的陈阳泉教授二十多年来的真诚合作及对诸多问题的有意义的探讨。我几十年来与同事、学生、同行甚至网友的有益交流，其中有些内容已经形成了本套系列著作的重要素材，在此一并表示感谢。本书的出版还得到了美国 MathWorks公司图书计划的支持，在此表示谢意。
后但同样重要的，我衷心感谢相濡以沫的妻子杨军教授，她数十年如一日的无私关怀是我坚持研究、教学与写作的巨大动力。感谢女儿薛杨在文稿写作、排版与视频转换中给出的建议和具体帮助。
薛定宇 2022年 5月

第 1版前言 

FIRST 
EDITION 
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科学运算问题是每个理工科学生和科技工作者在课程学习、科学研究与工程实践中常常会遇到的问题，不容回避。对于非纯数学专业的学生和研究者而言，从底层全面学习相关数学问题的求解方法并非一件简单的事情，也不易得出复杂问题的解，所以，利用当前的计算机工具，高效、准确、创造性地求解科学运算问题是一种行之有效的方法，尤其能够满足理工科人士的需求。
作者曾试图在同一部著作中叙述各个数学分支典型问题的直接求解方法，通过清华大学出版社出版了《高等应用数学问题的 MATLAB求解》。该书从 2004年出版之后多次重印再版，并于 2018年出版了第 4版，还配套发布了全新的 MOOC课程 ①，一直受到广泛的关注与欢迎。首次 MOOC开课的选课人数接近 14000人，教材内容也被数万篇期刊文章和学位论文引用。
从作者首次使用 MATLAB语言算起，已经有 30年的时间了，通过相关领域的研究、思考与一线教学实践，积累了大量的实践经验与资料。这些不可能在一部著作中全部介绍，所以与清华大学出版社策划与编写了这套“薛定宇教授大讲堂”系列著作，系统、深入地介绍基于 MATLAB语言与工具的科学运算问题的求解方法。
本系列著作不是原来版本的简单改版，而是作者通过十余年的经验和资料积累，全面贯穿“再认识”的思想写作而成的，深度融合科学运算数学知识与基于 MATLAB的直接求解方法与技巧，力图更好地诠释计算机工具在每个数学分支的作用，帮助读者以不同的思维与视角了解工程数学问题的求解方法，创造性地得出问题的解。
本系列著作的卷 I可以作为学习 MATLAB入门知识的教材与参考书，也为读者深入学习与熟练掌握 MATLAB语言编程技巧、深度理解科学运算领域 MAT-LAB的应用奠定坚实的基础。后续每卷试图对应一个数学专题或一门数学课程进行展开。整套系列著作的写作贯穿“计算思维”的思想，深度探讨该数学专题的问 
. MOOC网址：https://www.icourse163.org/learn/NEU-1002660001。
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题求解方法。本系列著作既适合学生在学完相应的数学课程之后，深入学习利用计算机工具的科学运算问题求解方法与技巧，也可作为相应数学课程同步学习的伴侣，在学习相应课程理论知识的同时，侧重学习基于计算机的数学问题求解方法，从另一个角度观察、审视数学课程所学的内容，扩大知识面，更好地学习、理解并实践相应的数学课程。
本书是系列著作的卷 II，试图以一个全新的角度，按照一般微积分学教程的顺序全面介绍微积分问题的求解，侧重于利用 MATLAB环境直接求解微积分的问题。本书首先介绍函数与序列的描述与图形绘制；然后介绍极限问题的求解、导数与微分问题的求解以及积分问题的求解，并介绍函数的逼近与级数求和等方面的内容；后介绍数值导数与数值积分方面的内容，并给出积分变换、分数阶微积分等的入门介绍。
值此系列著作付梓之际，衷心感谢相濡以沫的妻子杨军教授，她数十年如一日的无私关怀是我坚持研究、教学与写作工作的巨大动力。
薛定宇 2019年 5月
　

本书按照一般微积分学教程的方式介绍微积分问题的求解，首先介绍函数与序列的描述与图形绘制，然后介绍极限问题的求解、导数与微分问题的求解以及积分问题的求解，并介绍函数的逼近与级数求和等方面的内容，还介绍数值导数与数值积分方面的内容，并给出积分变换、分数阶微积分等的入门介绍。 本书可作为一般读者学习微积分学的辅助教材，从另一个角度认识微积分学问题的求解方法，更好地学习微积分学相关问题的求解方法。本书还可以作为高等学校理工科各类专业的本科生和研究生学习计算机数学语言的教材或参考书或查询某数学问题求解方法的手册。

本书按照一般微积分学教程的方式介绍微积分问题的求解，首先介绍函数与序列的描述与图形绘制，然后介绍极限问题的求解、导数与微分问题的求解以及积分问题的求解，并介绍函数的逼近与级数求和等方面的内容，还介绍数值导数与数值积分方面的内容，并给出积分变换、分数阶微积分等的入门介绍。 本书可作为一般读者学习微积分学的辅助教材，从另一个角度认识微积分学问题的求解方法，更好地学习微积分学相关问题的求解方法。本书还可以作为高等学校理工科各类专业的本科生和研究生学习计算机数学语言的教材或参考书或查询某数学问题求解方法的手册。

薛定宇  分别在沈阳工业大学、东北大学和英国Sussex大学获得学士（1985年）、硕士（1988年）和博士学位（1992年），1997年起任东北大学信息学院教授。深耕于计算机在数学与自动控制学科的应用，主持了国家精品课程建设，并于1996年在清华大学出版社出版《控制系统计算机辅助设计——MATLAB与应用》，该教材被评为国j级精品教材，被认为是国内MATLAB应用领域具有深远影响的一部图书，为MATLAB在国内高校教学与科研中的普及起到了巨大的作用。先后被评为辽宁省教学名师、辽宁省优秀教师，获得国j级教学成果二等奖、中国自动化学会教育教学成果一等奖、辽宁省教学成果一等奖等奖励。其主讲的“控制系统仿真与CAD”课程被评为国j级精品课程、国j级精品资源共享课程；主讲的“现代科学运算——MATLAB语言与应用”课程被评为首批国j级一流本科课程，配套录制的全新慕课课程均上线于爱课程与中国大学MOOC（慕课）网站。

第 1章微积分问题简介1 
1.1微积分学发展简史 1 
1.2本书的主要内容  4
第 2章函数与序列 7 
2.1函数与映射 8 
2.1.1函数的定义与描述  8 
2.1.2变量的算术运算8 
2.1.3常用超越函数的 MATLAB计算9 
2.1.4一般函数的 MATLAB表示 9 
2.1.5匿名函数表示 10 
2.1.6显函数的图形表示  11 
2.2不同函数的 MATLAB表示 13 
2.2.1反函数  13 
2.2.2复合函数  14 
2.2.3分段函数的描述15 
2.2.4隐函数  18 
2.2.5参数方程  22 
2.2.6极坐标函数 25 
2.3函数的性质 26 
2.3.1奇函数与偶函数26 
2.3.2函数的连续性 27 
2.3.3函数的单调性 27 
2.3.4函数的周期性 28 
2.4特殊空间图形与坐标变换  30 
2.4.1平面 30 
2.4.2直线 32 
2.4.3椭球 33 
. vi .薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算（第 2版） 
2.4.4圆柱与柱面 34 
2.4.5圆锥与双曲面 35 
2.4.6曲面的交线 36 
2.5复变函数与映射  38 
2.5.1复数矩阵及其变换  38 
2.5.2复变函数的映射38 
2.5.3 Riemann曲面的绘制  40 
2.6序列与函数项序列 43本章习题  45
第 3章函数与序列的极限  49 
3.1单变量函数的极限 50 
3.1.1单变量函数极限的 ε–δ定义 50 
3.1.2函数极限的计算机求解 52 
3.1.3复合函数的极限54 
3.1.4序列的极限 55 
3.1.5分段函数的极限56 
3.1.6无穷小量与无穷大量  57 
3.2单边极限与函数连续性 58 
3.2.1左极限与右极限58 
3.2.2函数的连续性 60 
3.2.3区间极限运算 61 
3.2.4函数连续性的应用：方程解的判定 62 
3.3复函数的奇点、极点与留数 64 
3.3.1奇点与极点的计算  64 
3.3.2复变函数的留数65 
3.3.3有理复变函数的部分分式展开 67 
3.4多元函数的极限  69 
3.4.1累极限  69 
3.4.2重极限及其计算70 
3.4.3重极限的计算技巧  73本章习题  75
第 4章函数的导数与微分  79 
4.1函数的导数和高阶导数 80 
4.1.1函数的导数与微分  80 
4.1.2函数的导数与高阶导数 81 4.1.3数学归纳法与 n阶导数公式证明  84 
4.1.4左导数与右导数86 
4.1.5复合函数的 1阶导数  87 
4.1.6分段函数的导数88 
4.1.7矩阵的导数 89 
4.2多元函数的偏导数 90 
4.2.1偏导数  90 
4.2.2偏微分方程的验证  92 
4.2.3全微分  93 
4.2.4多元复合函数的导数  94 
4.2.5特殊分段函数的偏导数 95 
4.3参数方程的导数  95 
4.4隐函数的偏导数  98 
4.4.1单个隐函数的 1阶导数 98 
4.4.2隐函数的高阶偏导数  98 
4.4.3隐函数方程组的偏导数计算100 
4.5场的梯度、散度与旋度  103 
4.5.1标量场与向量场103 
4.5.2标量场的可视化103 
4.5.3梯度、散度与旋度  104 
4.5.4方向导数  106 
4.5.5向量场的势 108 
4.6多元函数的导数矩阵  109 
4.6.1 Jacobi矩阵 109 
4.6.2 Hesse矩阵  110 
4.6.3标量函数的 Laplace算子  110 
4.7导数与微分的应用 111 
4.7.1极值问题  111 
4.7.2 Newton–Raphson迭代方法 114 
4.7.3曲线的切线与法平面  116 
4.7.4曲面的切面与法线  117本章习题  119
第 5章函数的积分 123 
5.1单变量函数的不定积分 124 
5.1.1不定积分的数学定义  124 
. viii .薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算（第 2版） 
5.1.2不定积分的计算125 
5.1.3有理函数的不定积分  128 
5.1.4矩阵的积分 130 
5.1.5与积分相关的常用特殊函数130 
5.1.6不可积问题 131 
5.2定积分与广义积分 132 
5.2.1定积分  133 
5.2.2对积分限函数求导  136 
5.2.3广义积分  136 
5.2.4反常积分  137 
5.3多重积分问题的 MATLAB求解  140 
5.3.1多重不定积分 140 
5.3.2待定多项式的构造  141 
5.3.3多重定积分 142 
5.3.4积分区域的处理与变换 144 
5.3.5极坐标变换 147 
5.3.6广义重积分 149 
5.4定积分的应用  150 
5.4.1曲线弧长的计算150 
5.4.2旋转体的体积计算  152 
5.4.3三维图形围成的体积与质量计算  152 
5.4.4概率密度与分布函数  154 
5.4.5积分变换入门 155 
5.5曲线积分  155 
5.5.1类曲线积分155 
5.5.2第二类曲线积分158 
5.6曲面积分  160 
5.6.1类曲面积分160 
5.6.2第二类曲面积分162本章习题  164
第 6章级数展开与函数逼近  168 
6.1级数求和  169 
6.1.1数项级数的求和169 
6.1.2无穷级数求和计算  172 
6.1.3函数项级数的求和  174 6.1.4特殊的无穷项问题  175 
6.2无穷级数的收敛性判定 179 
6.2.1正项级数的一般描述  179 
6.2.2正项级数的收敛性判定 179 
6.2.3交替级数的收敛性判定 182 
6.2.4函数项级数的收敛区间 183 
6.3序列求积问题  184 
6.3.1数项序列的乘积184 
6.3.2函数项序列的乘积  185 
6.3.3正项序列求积的收敛性判定186 
6.4 Taylor级数展开187 
6.4.1单变量函数的 Taylor级数  187 
6.4.2中心点选择 189 
6.4.3无穷小量的阶次192 
6.4.4多元函数的 Taylor级数展开  193 
6.5 Fourier级数展开  195 
6.5.1 Fourier级数的数学描述 195 
6.5.2 Fourier级数的 MATLAB实现  196 
6.6单变量函数的有理函数近似  199 
6.6.1函数的连分式近似  199 
6.6.2函数的 Padé近似  201 
6.6.3函数的特殊多项式逼近 204 
6.7 Laurent级数展开 206 
6.7.1复变函数的 Laurent级数展开  206 
6.7.2有理函数的 Laurent级数  208 
6.7.3封闭曲线的积分210本章习题  212
第 7章数值导数与微分217 
7.1数值导数算法  218 
7.1.1前向差分与后向差分算法  218 
7.1.2 o(h2)精度中心差分算法  220 
7.1.3 o(h4)精度中心差分算法  222 
7.1.4更高精度的中心差分公式  223 
7.1.5一般高阶差分公式的推导与计算  225 
7.1.6高精度前向与后向差分算法228 
. x .薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算（第 2版） 
7.2数值导数计算的 MATLAB实现  230 
7.2.1 2阶精度算法的实现 230 
7.2.2 7点中心算法的实现 232 
7.2.3前向差分数值导数算法的实现 234 

7.3已知样本点的任意阶数值导数的求解函数 235 
7.4二元函数的偏导数计算 237 
7.4.1梯度计算  237 
7.4.2针对单变量的高精度偏导数算法  239 
7.4.3混合偏导数的数值计算 241 
7.4.4高阶混合偏导数的数值计算242 
7.5样条插值与数值导数计算  243 
7.5.1三次样条  244 
7.5.2 B样条  247 
7.5.3基于样条的数值导数计算  249 
7.5.4不等间距样本散点的数值偏导数计算  251本章习题  254
第 8章数值积分  256 
8.1由给定样本点求数值积分  257 
8.1.1定积分的直接计算 &nbs