序  言

近年来，算法行业非常火爆，越来越多的人在学习算法。目前，计算机的重要领域之一是人工智能，而人工智能的核心是算法，算法已渗透到互联网、商业、金融业、航空、军事等各个领域，正在改变着这个世界。

写作背景

在IT领域，数据结构与算法的应用无处不在。数据结构与算法是计算机开发人员的基本功，很多面试都要考查数据结构与算法。学习数据结构与算法不仅可以培养我们的算法思维，提高我们分析问题、解决问题的能力，还可以让我们快速学习新技术，以更高的视角看待问题。

数据结构与算法教材一般晦涩难懂。为了让更多的人轻松学习算法、爱上算法，笔者写作了《趣学数据结构》《趣学算法》两本书。笔者发现，读者特别喜欢搭配了大量图解的通俗易懂的讲解方式。很多读者也在呼吁笔者写一本结合算法竞赛实例进行讲解的书。经过近两年的筹备，《算法训练营：海量图解 竞赛刷题（入门篇）》和《算法训练营：海量图解 竞赛刷题（进阶篇）》两本书终于要和大家见面了，非常感谢各位读者的大力支持。

学习建议

算法学习的过程，实际上是通过大量实例，充分体会遇到问题时该如何分析：采用什么数据结构，使用什么算法策略，算法的复杂性如何，是否有优化的可能，等等。这里有以下几个建议。

• 第1个建议：学经典，多理解。

算法书有很多，初学者好选择图解较多的入门书，当然，也可以选择多本书，从多个角度进行对比和学习。先看书中的图解，理解各种经典问题的求解方法，如果还不明白，则可以看视频讲解，理解之后再看代码，尝试自己动手上机运行。如有必要，则可以将算法的求解过程通过图解方式展示出来，以加深对算法的理解。

• 第2个建议：看题解，多总结。

在掌握书中的经典算法之后，可以在刷题网站进行专项练习，比如贪心算法、分治算法、动态规划、网络流等。算法比数据结构更加灵活，对同一道题目可以采用不同的算法解决，算法复杂性也不同。如果想不到答案，则可以看题解，比较自己的想法与题解的差距。要多总结题目类型及解法，然后找相似的题目并自己动手解决问题。

• 第3个建议：举一反三，灵活运用。

通过专项刷题，见多识广，总结常用的算法模板，熟练应用套路，举一反三、灵活运用，逐步提升刷题速度，力争“bug free”（无缺陷）。

如何进行刷题实战

刷题的过程就是熟练应用数据结构与算法的过程。在刷题过程中，要学会分析问题、解决问题的方法，总结常用的算法模板和套路，快速写出代码，通过锻炼达到“bug free”。可以集中时间进行系统性专项刷题，不可三天打鱼、两天晒网，也不可随机刷题。题不在多，在于精。通过看书掌握一种数据结构与算法之后，便可找该知识相关的简单题目试手，从易到难。刷题时，可以先在编译系统中编译通过，等测试用例通过且检查无误后再提交，因为在比赛中多次提交会被罚时。刷题网站有很多，算法竞赛刷题网站有Vjudge、POJ、HDU、Code Forces、洛谷等，找工作刷题网站有LeetCode。提交结果类型如下。

• AC（Accepted）：通过。
• WA（Wrong Answer）：答案错误。
• TLE（Time Limit Exceed）：超时。
• OLE（Output Limit Exceed）：超过输出限制。
• MLE（Memory Limit Exceed）：超出内存。
• RE（Runtime Error）：运行时错误。
• PE（Presentation Error）：格式错误。
• CE（Compile Error）：无法编译。

测试用例通过而提交不通过是很正常的，因为在测试用例中仅有一两组数据，而在后台有大量测试数据。遇到提交不通过的情况时，要首先根据提示判断错误类型，根据错误类型分析原因；然后冷静分析算法逻辑、易错点、特殊情况判断等，看看选择的数据结构和算法是否合适，是否存在死循环。在刷题过程中会发现很多“坑”，一定要记录下来，避免下次“踩坑”。

看题目时要看数据规模、时间限制和空间限制，看看设计的算法是否会超时超限，做到心中有数。如果限制时间为1s，则问题规模（n）和算法时间复杂度之间的关系如下。

• n≤11：O(n!)。
• n≤25：O(2ⁿ)。
• n≤5000：O(n²)。
• n≤10⁶：O(nlogn)。
• n≤10⁷：O(n)。
• n>10⁸：O(logn)。

本书特色

本书具有以下特色。

（1）完美图解，通俗易懂。本书对每个算法的基本操作都有图解演示，通过图解，许多问题都变得简单，可迎刃而解。

（2）实例丰富，简单有趣。本书结合大量竞赛实例，讲解如何利用数据结构与算法解决实际问题，使复杂难懂的问题变得简单有趣，帮助读者轻松掌握算法知识，体会其中的妙处。

（3）深入浅出，透析本质。本书透过问题看本质，重点讲解如何分析和解决问题。本书采用了简洁易懂的代码，对数据结构设计和算法的描述全面细致，而且有算法复杂性分析及优化过程。

（4）实战演练，循序渐进。本书在对每个数据结构与算法讲解清楚后，都进行了实战演练，使读者在实战中体会数据结构与算法的设计和操作，从而提高独立思考、动手实践的能力。书中有丰富的练习题和竞赛题，可帮助读者及时检验知识掌握情况，为从小问题出发，逐步解决大型复杂性工程问题奠定基础。

（5）网络资源，技术支持。本书为读者提供书中所有范例程序的源代码、竞赛题及答案解析，读者对这些源代码可以自由修改编译，以符合自己的需要。本书提供博客、微信群、QQ群技术支持，可随时为读者答疑解惑。

建议和反馈

写书是极其琐碎、繁重的工作，尽管笔者已经尽力使本书的内容和网络支持接近完美，但仍然可能存在很多漏洞和瑕疵。欢迎读者提供关于本书的反馈意见，因为对本书的评论和建议都有利于我们改进和提高，以帮助更多的读者。如果对本书有什么评论和建议，或者有问题需要帮助，则可以致信rainchxy@126.com与笔者交流，笔者将不胜感激。

读者资源请参照本书封底提示。

致谢

感谢笔者的家人和朋友在本书写作过程中提供的大力支持。感谢电子工业出版社工作严谨、高效的张国霞编辑促成本书的早日出版。感谢提供宝贵意见的同事们。感谢提供技术支持的同学们。感恩遇到这么多良师益友！

本书以海量图解的形式，详细讲解常用的数据结构与算法，并结合竞赛实例引导读者进行刷题实战。通过对本书的学习，读者可掌握22种高级数据结构、7种动态规划算法、5种动态规划优化技巧，以及5种网络流算法，并熟练应用各种算法解决实际问题。

本书总计8章。第1章讲解实用数据结构，包括并查集、优先队列；第2章讲解区间信息维护与查询，包括倍增、ST、RMQ、LCA、树状数组、线段树和分块；第3章讲解字符串处理，包括字典树、AC自动机和后缀数组；第4章讲解树上操作问题，包括点分治、边分治、树链剖分和动态树；第5章讲解各种平衡二叉树，包括Treap、伸展树和SBT；第6章讲解数据结构进阶，包括KD树、左偏树、跳跃表、树套树和可持久化数据结构；第7章讲解动态规划及其优化，包括背包问题、线性DP、区间DP、树形DP、数位DP、状态压缩DP、插头DP和动态规划优化方法；第8章讲解网络流问题，包括常用网络流算法、二分图*匹配、*流*小割定理和*小费用*流。本书对每个算法都进行详细图解并搭配竞赛实例，重点讲解如何分析问题、优化算法，以期读者在短时间内掌握该算法并进行刷题实战。

本书面向对算法感兴趣的读者，无论是想扎实内功或参加算法竞赛的学生，还是想进入行业领先企业的求职者，抑或是想提升技术的在职人员，都可以参考本书。若读者从未学过数据结构与算法方面的基础知识，则可参考《算法训练营：海量图解 竞赛刷题（入门篇）》。

陈小玉  

副教授、高级程序员，主要研究方向为算法优化和机器学习。出版著作有《趣学算法》《趣学数据结构》《算法训练营：海量图解 竞赛刷题（入门篇）》《算法训练营：海量图解 竞赛刷题（进阶篇）》，所教学生多次获得ACM、蓝桥杯等算法竞赛奖项。

第1章  实用数据结构... 1

1.1  并查集... 1

原理  并查集详解... 1

训练1  畅通工程... 6

训练2  方块栈... 7

训练3  食物链... 10

训练4  帮派... 16

1.2  优先队列... 19

原理1  优先队列的实现原理... 19

原理2  优先队列详解... 23

训练1  第k大的数... 26

训练2  围栏修复... 27

训练3  表演评分... 29

训练4  丛林探险... 30

第2章  区间信息维护与查询... 33

2.1  倍增、ST、RMQ.. 33

原理1  倍增... 33

原理2  ST. 34

原理3  RMQ.. 36

训练1  区间值差... 36

训练2  频繁值... 37

训练3  小分段数... 40

训练4  二维区间值差.... 41

2.2  近公共祖先LCA.. 43

原理1  暴力搜索法... 44

原理2  树上倍增法... 45

原理3  在线RMQ算法... 49

原理4  Tarjan算法... 51

训练1  近公共祖先... 55

训练2  树上距离... 57

训练3  距离查询... 59

训练4  城市之间的联系... 60

2.3  树状数组... 62

原理1  一维树状数组... 62

原理2  多维树状数组... 67

训练1  数星星... 69

训练2  公路交叉数... 71

训练3  子树查询... 74

训练4  矩形区域查询... 76

2.4  线段树... 78

原理1  线段树的基本操作... 78

原理2  线段树中的“懒操作”... 83

训练1  敌兵布阵... 87

训练2  简单的整数问题... 89

训练3  数据结构难题... 91

训练4  颜色统计... 97

2.5  分块... 102

原理  分块详解... 102

训练1  简单的整数问题... 105

训练2  数字序列... 106

训练3  区间值差... 107

训练4  超级马里奥... 109

训练5  序列操作... 111

第3章  字符串处理... 115

3.1  字典树... 115

原理  字典树详解... 115

训练1  单词翻译... 120

训练2  电话表... 122

训练3  统计难题... 123

训练4  彩色的木棒... 124

训练5  长xor路径... 127

3.2  AC自动机... 129

原理  AC自动机详解... 129

训练1  关键字检索... 132

训练2  病毒侵袭... 134

训练3  DNA序列... 136

训练4  单词情结... 140

3.3  后缀数组... 145

原理1  基数排序... 145

原理2  后缀数组详解... 152

训练1  牛奶模式... 169

训练2  口吃的外星人... 171

训练3  音乐主题... 173

训练4  星际迷航... 175

第4章  树上操作... 178

4.1  点分治... 178

原理  重心分解... 178

训练1  树上两点之间的路径数... 179

训练2  游船之旅... 185

训练3  摩天大树... 189

训练4  查询子树... 194

4.2  边分治... 200

原理  边分治详解... 200

训练1  树上查询I 203

训练2  树上查询II 212

训练3  树上两点之间的路径数... 217

4.3  树链剖分... 221

原理  树链剖分详解... 221

训练1  树上距离... 230

训练2  树的统计... 231

训练3  家庭主妇... 232

训练4  树上操作... 233

4.4  动态树... 236

原理  动态树详解... 236

训练1  距离查询... 247

训练2  动态树xor和... 249

训练3  动态树的值... 252

训练4  动态树的第2大值... 255

训练5  树上操作... 261

第5章  平衡二叉树... 263

5.1  Treap. 263

原理  Treap详解... 263

训练1  双重队列... 270

训练2  普通平衡树... 272

训练3  黑盒子... 276

训练4  少林功夫... 279

5.2  伸展树... 283

原理  伸展树详解... 283

训练1  双重队列... 291

训练2  玩链子... 293

训练3  超强记忆... 300

训练4  循环... 310

5.3  SBT. 324

原理  SBT详解... 324

训练1  双重队列... 331

训练2  第k小的数... 333

训练3  第k大的数... 334

训练4  区间第k小... 334

训练5  郁闷的出纳员... 336

第6章  数据结构进阶... 339

6.1  KD树... 339

原理  KD树详解... 339

训练1  近的取款机... 343

训练2  找旅馆... 346

训练3  近邻M点... 348

训练4  蚁巢... 349

6.2  左偏树... 352

原理  左偏树详解... 352

训练1  猴王... 360

训练2  小根堆... 363

训练3  路面修整... 365

训练4  K-单调... 369

6.3  跳跃表... 373

原理  跳跃表详解... 373

训练1  双重队列... 379

训练2  第k大的数... 381

训练3  郁闷的出纳员... 386

6.4  树套树... 388

原理  树套树详解... 388

训练1  动态区间问题... 389

训练2  动态区间第k小... 395

训练3  矩形区域查询... 396

训练4  马赛克处理... 400

6.5  可持久化数据结构... 406

原理1  可持久化线段树详解... 406

原理2  可持久化Trie详解... 413

训练1  超级马里奥... 415

训练2  记忆重现... 419

训练3  异或和... 424

第7章  动态规划及其优化... 431

7.1  动态规划求解原理... 431

原理1  动态规划的三个要素... 432

原理2  动态规划设计方法... 432

7.2  背包问题... 433

原理1  01背包... 433

训练1  骨头收藏家... 441

原理2  完全背包... 443

训练2  存钱罐... 443

原理3  多重背包... 445

训练3  硬币... 447

原理4  分组背包... 449

训练4  价值化... 450

原理5  混合背包... 452

训练5  少的硬币... 452

7.3  线性DP. 455

训练1  超级楼梯... 455

训练2  数字三角形... 456

训练3  长上升子序列... 458

训练4  长公共子序列... 461

训练5  连续子段和... 462

7.4  区间DP. 464

训练1  回文... 464

训练2  括号匹配... 466

训练3  猴子派对... 468

训练4  乘法难题... 470

7.5  树形DP. 472