新东方 AP微积分

AP（Advanced Placement）课程在中国的成功登陆，无论是对中国高中教育的体系还是对中国高中教育的教学思路都是个不小的冲击。不同于国内高中“一刀切”（不论学习能力强弱，不论不同兴趣爱好，所有高中生都学习统一的标准课程）的教育体系，AP课程作为美国大学理事会（College Board）的明星产品，让学有余力的高中生能提前学习大学课程，不仅体现了分级教学的思想，更是满足了不同学习能力、不同学习兴趣的学生的学习需要。

据美国大学理事会的年度报告，申请名校的学生向大学招生办提供了平均4~5门AP成绩，而AP成绩在所有录取因素中以80.3%的影响力居位。因此，在SAT和TOEFL成绩的基础上，AP成绩成了步入名校竞争的新项目。随着中国学生留学大潮的涌来，加上AP课程在中国本土的开设，AP考试成为了时下时髦的留学考试之一。

历史的实践告诉我们，无论是科学，还是技术，或小到一个考试，完全照搬西方肯定是行不通的。因此，AP在中国的教学、考试辅导等工作都已经悄然开展，不管是摸石头过河，还是模拟赶超，AP中国本土化势在必行。基于此，北京新东方学校成立了一支由博士学历教师组成的AP教研中心团队，大力开展了AP课程的教学教研活动。在近两年的研究过程当中，教材问题成为了当前棘手的问题。在目前国内市面上，适合中国本土的AP教材几乎空白。为了帮助国内AP学习者更好地学习AP课程和准备AP考试，我们按照AP官方给出的考试大纲，编写了此套中英文结合的AP教材。AP考试不同于TOEFL等语言类考试，它是学科考试。学科知识无论用什么语言来描述都是同样的知识，因此本系列教材适当辅以中文解释，帮助考生更深入地理解。另一方面，为了让考生能够适合未来英文学习和英文考试的需要，本系列教材的定理展开、例题讲解等大部分内容都采用了英文描述。中英结合，易于中国考生对知识点的理解和把握。希望本套教材能给AP学习者助一臂之力。

后，要感谢关心和支持本套书出版的大愚文化传播有限公司，北京新东方学校北美部的AP教研团队，是他们的努力才使得本书能够顺利地出版。限于水平，书中难免有不妥之处，望同行、读者不吝赐教。

                                                                         范 猛

AP，全称Advanced Placement，中文名称为大学预修课程。AP课程及考试始于1955年，由美国大学理事会（College Board）主办，是在高中阶段开设的具有大学水平的课程，共有22个门类、37个学科。该项考试的目的在于使高中学生提前接触大学课程，完成一些美国大学的学分课程及考试。

为了帮助国内AP学习者更好地学习AP课程和准备AP考试，北京新东方学校AP教研中心按照AP官方给出的考试大纲，编写了一套中英文结合的AP教材，本系列教材适当辅以中文解释，旨在帮助考生更深入地理解考点知识，同时提高备考效率。

AP，全称Advanced Placement，中文名称为大学预修课程。AP课程及考试始于1955年，由美国大学理事会（College Board）主办，是在高中阶段开设的具有大学水平的课程，共有22个门类、37个学科。该项考试的目的在于使高中学生提前接触大学课程，完成一些美国大学的学分课程及考试。

为了帮助国内AP学习者更好地学习AP课程和准备AP考试，北京新东方学校AP教研中心按照AP官方给出的考试大纲，编写了一套中英文结合的AP教材，本系列教材适当辅以中文解释，旨在帮助考生更深入地理解考点知识，同时提高备考效率。

北京新东方学校AP教研中心：由相关专业博士组成的教学与研发团队，由宏观经济学、统计学、微积分、物理、化学、美国历史、心理学、法语和西班牙语等10个小组构成。致力于教材教案编写、AP考题的分析重组及题库搭建、在线测评程序的开发，及其他AP教学的开拓工作。

Chapter 1  Introduction of AP Calculus Exam AP微积分考试介绍  1

Chapter 2  Functions函数  5

2.1   Five Basic Elementary Functions五种基本初等函数  6

2.2   Inverse Functions反函数  16

2.3   Composite Functions复合函数  16

2.4   Parametric Functions参变量函数  17

2.5   Polar Functions极坐标函数  17

2.6   Vector Functions向量函数  20

2.7   Transforming of Functions函数变换  21

【Practice Problems•课后练习】  22

Chapter 3  Limit and Continuity极限与连续  26

3.1   Definition of a Limit极限的定义  26

3.2   Limit Laws极限（存在）定理  27

3.3   Rules of Limits极限的运算法则  30

3.4   Two Important Limits两个重要极限  33

3.5   Application of Limits: Finding Asymptotes极限的应用：找渐近线  34

3.6   Continuity连续   35

【Practice Problems•课后练习】  39

Chapter 4  Definition of Derivative导数定义  44

4.1   Definition of Derivative导数的定义  44

4.2   One-Sided Derivative单侧导数  49

4.3   The Geometric Interpretation of Derivative导数的几何意义   49

4.4   The Relation Between Differentiability and Continuity可导与连续的关系  50

【Practice Problems•课后练习】  52

Chapter 5  Rules for Finding Derivatives求导法则  56

5.1   Basic Rules for Finding Derivatives导数基本运算  57

5.2   High Order Derivatives高阶导数  62

5.3   Implicit Differentiation“隐函数”求导  63

5.4   The Derivative of an Inverse Function反函数求导  67

5.5   Derivatives of Parametric Functions参数方程求导  69

5.6   Derivatives of Polar Functions极坐标函数求导 71

5.7   Derivatives of Vector Functions向量函数求导 72

【Practice Problems•课后练习】  74

Chapter 6  Applications of Derivatives导数应用  79

6.1   Equations of Tangent Lines and Normal Lines切线和法线方程 81

6.2   The Mean Value Theorem for Derivatives微分中值定理 82

6.3   Related Rates相关变化率 83

6.4   Motion运动学 86

6.5   Maxima and Minima值和小值  89

6.6   L’Hopital’s Rule洛比达法则   95

【Practice Problems•课后练习】  97

Chapter 7  Differentials微分  101

7.1   Definition of Differential微分定义  101

7.2   Linear Approximation 线性估算   104

7.3   Euler’s Method欧拉法则    105

【Practice Problems•课后练习】  108

Chapter 8  The Indefinite Integral不定积分  112

8.1   The Antiderivative原函数 112

8.2   Integration Formulas积分公式 114

8.3   U-Substitution换元法  116

8.4   Integration by Parts分部积分  119

8.5   The Method of Partial Fractions分式拆分求积分  122

【Practice Problems•课后练习】  124

Chapter 9  The Definite Integral定积分  128

9.1   A Limit of Riemann Sum(Left, Right and Midpoint)黎曼和的极限   128

9.2   The First Fundamental Theorem of Calculus微积分基础理论   132

9.3   The Second Fundamental Theorem of Calculus微积分第二基础理论  134

9.4   Improper Integrals反常积分（广义积分）  137

【Practice Problems•课后练习】  140

Chapter 10  Applications of Integral积分应用 145

10.1   The Mean Value Theorem for Integrals 积分中值定理 145

10.2   Area面积 146

10.3   Volume体积   151

10.4   Length of a Curve曲线长度   158

10.5   Accumulated Change累积变化  159

【Practice Problems•课后练习】  160

Chapter 11  Differential Equations微分方程   164

11.1   Separation Variables可分离变量的微分方程 164

11.2   Logistic Differential Equation逻辑斯蒂微分方程 166

11.3   Slope Fields (Direction Fields)斜率场   169

【Practice Problems•课后练习】  173

Chapter 12  Infinite Series无穷级数 177

12.1   One Definition for Infinite Series一个定义  178

12.2   Two Limits两个极限   179

12.3   Three Tests of Series三大审敛法   180

12.4   Four Important Series四种重要级数   182

12.5   Five Formulas of Power Series and Taylor Series五个重要公式  187

【Practice Problems•课后练习】  195

Chapter 13  Graphing Calculator图形计算器使用指南   197

13.1   TI-Nspire CX CAS面板介绍 197

13.2   TI-Nspire CX CAS页面的操作   204

13.3   TI-Nspire CX CAS针对AP微积分考试的计算内容 226

13.4   应用图形计算器示范求解官方样题 231

Chapter 14  AP Calculus BC Practice Test （AP Calculus BC模考试题） 238

Chapter 15  Answers参考答案 265

15.1   课后习题参考答案 265

15.2   AP Calculus BC模考试题参考答案   289

附 录 308

1. AP Calculus AB&BC公式大全 308

2.  AP Calculus BC考试中常见的极坐标图像  314

AP，全称Advanced Placement，中文名称为大学预修课程。AP课程及考试始于1955年，由美国大学理事会（College Board）主办，是在高中阶段开设的具有大学水平的课程，共有22个门类、37个学科。该项考试的目的在于使高中学生提前接触大学课程，完成一些美国大学的学分课程及考试。

为了帮助国内AP学习者更好地学习AP课程和准备AP考试，北京新东方学校AP教研中心按照AP官方给出的考试大纲，编写了一套中英文结合的AP教材，本系列教材适当辅以中文解释，旨在帮助考生更深入地理解考点知识，同时提高备考效率。

北京新东方学校AP教研中心：由相关专业博士组成的教学与研发团队，由宏观经济学、统计学、微积分、物理、化学、美国历史、心理学、法语和西班牙语等10个小组构成。致力于教材教案编写、AP考题的分析重组及题库搭建、在线测评程序的开发，及其他AP教学的开拓工作。