美丽的数学:一本独具特色的数学科普书

自序 

乐趣 
数学，有趣而美妙。在不同门类的学科里，都有人们熟悉的“代表作”。美术有《蒙娜丽莎》，戏剧有《哈姆雷特》，生物学有遗传DNA，考古学有对罗塞塔石碑的破译，物理学有方程式E = mc2。但是，数学方面很难说得明确——我想要与您分享的正是我自己钟爱的那些数学经典。 
正如拥有大量馆藏的美术博物馆只能展览部分作品一样，作为这本书的“馆长”，我也只能精心选出部分内容呈现在这里。 
没有人要求我只能展示一枚数学珍宝，不过要真是那样，我也有自己的选择，那就是：对质数有无限多的证明。而这也勾勒出我对这本书的主题进行取舍的原则： 
如果你不是数学家，恐怕会感到陌生。读者或许听说过质数这个概念，但恐怕没有思考过“到底有多少个质数？”这个问题。 
强调证明（proof）这个概念，特别是利用反证法（proof by contradiction）去证明。 
不需要大学程度的数学能力，只要利用高中生常用的数学工具，我们就可以解决书中所有的问题。 
答案不是很明显，而且会带给你惊喜——我们很容易理解有无数的偶数和正方形，质数的排列却并不存在一个清晰的定式，但是你会惊讶地发现，只需要一个简单的理由，就能必然推导出质数有无限多的结论。 
存在着实际的应用：质数的这一特性被密码学所运用。 
尽管本书所涉及的各类专题不一定同时具备上述全部特征，但每一章都将包含数学的神奇之处，肯定能够让读者感到惊讶和好奇。 
1940年，英国数学家戈弗雷? H. 哈代（ Godfrey H.Hardy）出版了《一个数学家的辩白》（ A Mathematician’s Apology），从他的个人角度阐释了毕生数学研究的正当理由。在他的《辩白》中，哈代解释了自己所经历的喜悦和满足。不过解释数学带来的喜悦就如同想要解释游泳带来的乐趣：除非一个人可以漂浮一小会儿，并在清凉的水中扑腾几下，否则很难理解游泳的乐趣。 
我担心许多人所接受到的数学教育是枯燥和乏味的。想象一下，如果孩子们的阅读教育主要集中在学习拼写和标点符号上，而不是阅读《哈利?波特》或者着手创作属于自己的故事，那么这几乎很难激发起学生对于文学的热爱。 
以下是一些人可能会对自己所接受的数学教育所进行的滑稽描述： 
在小学时，我有10个橘子，但有人拿走了3个。他们为什么这么做？我本来也会分享的啊。 
在初中时，我找到了公分母，以及百分比。 
在高中时，我学到了二次方程式，我仍然可以背出来 ——但是我不知道这有什么意义。 
当然，数学有很强的实际应用价值，但数学也有其深刻的美。我们的目标就是与读者们分享一点这样的美好。 

概述 
数学是关于数字和形状的研究。因此，我选取了这两个概念作为本书前两部分的主题。 
在部分“数”中，我们将探索一些特定数字（如 和e）以及数列（如质数和斐波那契数列）。我们为读者准备了很多惊喜，例如一个无穷（infi nity）怎么样可以比另一个无穷“更加无穷”，以及为什么有更多的数字以1开头，而不是9。 
在“形状”部分，我们将见到一些熟悉的朋友（如三角形和圆形），还有三维图形（柏拉图式立体）和大于一维但小于二维的形状（分形）。还有许多惊喜在前方等着你。例如，我们很容易理解该如何用正方形或正六边形来铺地板，但其实使用正五边形也“可能”做到。你感到惊讶吗？好奇吗？这是我所希望见到的。 
我们以“不确定性”作为本书的终部分，探讨随机的、不可预知的和违反常理的问题。高精度的医学测试给出的结果为何通常是错误的呢？排名有没有意义？当两名以上候选人竞选时，选举公职人员的“”方式是什么？与前面的内容一样，惊喜依旧在向你招手。 
这本书里的每一章都是独立的，你可以按任何顺序随时阅读。内容的难度各不相同，暂时跳过更具挑战性的部分，等稍后再重新拾起，也是不错的选择。 

如何阅读一本数学书 
慢慢来。本书中的章节都很短，但需要时间和精力来掌握这些观点。我经常给出一些计算或代数来支撑各个要点，读者可以通过铅笔和稿纸分步骤进行运算，以便更好地了解整个过程。有时也可能需要重读几遍材料才能搞明白。 
如果可能，请不要独自阅读本书。叫上一个朋友，一起讨论书中的观点。为了让朋友理解你的观点，你必须要认真复述书中的内容，这将有助于你对这些概念的理解。 
在每一个章节中，比较复杂的观点都安排在后面。因此，如果读到一半你感觉“已经差不多了”，那么也可以开始阅读另外一章。

一个图形怎么才能有多于一个但又少于两个面？ 
一个高度精确的医药测试，有可能更容易得出错误的结论吗？ 
如果只能看到销售数据的*位数字，你怎么才能知道你的会计是不是在说谎？ 
…… 
在我们的生活中，数学无处不在，真实、有趣而美妙。当你开始用数学的眼光去观察世界，生活或许会变得更加简单而确定，你准备好了吗？ 
爱德华?沙伊纳曼，“沙伊纳曼定理”的命名人，知名的数学家和教育家，会在这本书中帮我们发现和解答身边有趣的数学问题，带领我们走进那个关于数字、图形和不确定性的美丽新世界。

一个图形怎么才能有多于一个但又少于两个面？ 
一个高度精确的医药测试，有可能更容易得出错误的结论吗？ 
如果只能看到销售数据的*位数字，你怎么才能知道你的会计是不是在说谎？ 
…… 
在我们的生活中，数学无处不在，真实、有趣而美妙。当你开始用数学的眼光去观察世界，生活或许会变得更加简单而确定，你准备好了吗？ 
爱德华?沙伊纳曼，“沙伊纳曼定理”的命名人，知名的数学家和教育家，会在这本书中帮我们发现和解答身边有趣的数学问题，带领我们走进那个关于数字、图形和不确定性的美丽新世界。

爱德华·沙伊纳曼（Edward Scheinerman） 
普林斯顿大学数学博士，约翰?霍普金斯大学教授、工程教育学院副院长、应用数学系主任。曾两度获得美国数学协会福特写作奖，并提出了数学上的“沙伊纳曼定理”。目前已出版17部专著。

自序 
前言：定理与证明 
部分 数 
1. 质数 
如果我们只能将一点点数学知识传给后代，那应该是下面这个问题的答案：究竟有多少质数？ 
2. 二进制 
世界上有 10 种人：懂二进制的人和不懂的人。 
3.?0.999999999999… 
毫无疑问，数字 1 简单的写法是这样的：1。但你可能也会了解到这样的事实，即无限重复小数0.9999 是这一数字的另一种写法。 
4. 2 
在乐队开始演奏之前 , 音乐家会进行调音以确保他们所有的音符悦耳和谐。而这在数学上是不可能的。 
5.?i 
所有的数字都是“想象的”，因为它们是思维的发明。 
6.?π 
π 这个数字已经让几代人着迷了。 
7.?e 
对数学家而言，还有比以自己名字命名的数字更高的荣誉吗？ 
8.?∞ 
怎么可能“超越”无限呢？什么东西可能大于无穷？！ 
9.?斐波那契数列 
我们从铺瓷砖问题开始。 
10.?阶乘！ 
你可以用多少种方法将书排列在书架上？ 
11.?本福德定律 
可悲的事实是，数字如同人类一样爱慕虚荣，它们都想争当。 
12.?算法 
如果一个算法在数学上是正确的，但需要几个世纪才能完成其工作的话，就没有多大用处了。 
第二部分 形状 
13.?三角形 
我们可不是通过从纸上剪下很多三角形，然后用量角器来检验它们的角度的！ 
14.?毕达哥拉斯和费马 
在《绿野仙踪》的结尾，稻草人并没有得到大脑，但他获得了智慧。 
15.?圆 
圆是优雅而美丽的。 
16.?柏拉图立体 
多边形是在平面里绘制的图形。如果在三维空间中绘制，会产生什么样的类似情况呢？ 
17.?分形 
我们需要一个不同类型的形状概念，用于描述我们所处的这个琐碎而不规则的世界。 
18.?双曲几何 
数学定义的高塔必须奠基于某处。对希腊人来说，这个基础是几何学。 
第三部分 不确定性 
19.?非传递性骰子 
世界痴迷于排名。 
20.?医疗概率 
量化担忧是有困难的，在这种情况下，任何人产生忧虑都是正常的，所以让我们对这个问题稍作修改：你罹患这种罕见疾病的可能性有多大？ 
21.?混沌 
骰子的滚动真的是随机的吗？ 
22.?社会选择与阿罗定理 
民主是根据社会成员的意见做出决定的过程。它是通过让个人有机会表达他们的偏好（通过投票），然后结合这些个人喜好做出决定来实现的。 
23.?纽科姆悖论 
人类的行为是可以预测的吗？

一个图形怎么才能有多于一个但又少于两个面？ 
一个高度精确的医药测试，有可能更容易得出错误的结论吗？ 
如果只能看到销售数据的*位数字，你怎么才能知道你的会计是不是在说谎？ 
…… 
在我们的生活中，数学无处不在，真实、有趣而美妙。当你开始用数学的眼光去观察世界，生活或许会变得更加简单而确定，你准备好了吗？ 
爱德华?沙伊纳曼，“沙伊纳曼定理”的命名人，知名的数学家和教育家，会在这本书中帮我们发现和解答身边有趣的数学问题，带领我们走进那个关于数字、图形和不确定性的美丽新世界。

爱德华·沙伊纳曼（Edward Scheinerman） 
普林斯顿大学数学博士，约翰?霍普金斯大学教授、工程教育学院副院长、应用数学系主任。曾两度获得美国数学协会福特写作奖，并提出了数学上的“沙伊纳曼定理”。目前已出版17部专著。

12. 算法 
创意厨师一般不会严格遵循食谱。相反，他们利用菜谱激发他们烹饪的灵感。新手厨师更倾 
向于严格按照步骤行事。 
同样，具有良好方向感的司机不需要地图或书面指示来找到他们的目的地。其他人则需要详 
细的路线规划引导。 
电脑就像新手一样。当需要对一些数进行求和时，他们遵循一系列精心规定的步骤，按照程序执行每个操作。这些程序被称为算法。计算机算法在我们的生活中无处不在：它们把利息加入我们的银行账户中，确定文本文档中的分页位置，将DVD上的数字数据转换成电影，预测天气，搜索网页上包含给定配料清单的食谱，当我们试图找到一个模糊的地址时，通过GPS设备与我们联系。 
大多数人学习的个数学算法是加法。求25 18，我们知道先将5和8相加（我们记住的结果是13），写下3，进位为1，依此类推。 
算法设计者不仅仅为解决问题提供正确的程序，该方法应该也是有效的。如果一个算法在数学上是正确的，但需要几个世纪才能完成其工作的话，就没有多大用处了。我们来看看例子。 

排序 
每学期结束时，我都会有一堆期末考试卷要发还给学生。当学生来到我的办公室拿作业时，我不想在乱糟糟的纸堆里翻检查找而找到他们的试卷。相反，我按照学生姓名的字母顺序排列试卷。所以，在我宣布试卷可以取走之前，需要对它们进行排序。 
问题是将一些顺序混乱的文件按字母顺序把它们重新排列。怎么做好？ 
让我们从一个简单而低效的想法开始吧。假设我班有一百名学生。我从未排序的纸堆取出张试卷，看看它是否按字母顺序排列。我如何做到这一点？我将这个卷子与其他的进行比较。很有可能，这张位于未排序的纸堆顶部的试卷并不是按字母顺序排列的张，所以我把它放在纸堆的底部，然后再试一次。我一直这样做，直到我确定出按字母顺序排列的纸张。我拿走那张纸，把它放入新的一堆，它们将按字母顺序摆放。 
我回到未排序的纸堆上，现在是99张，就像以前一样，按字母顺序查找纸张。我是这样做的，拿起上面的一张，然后与堆中的所有其他纸张比较，如果不是正确的，就把它放在后。当我找到靠前的字母时，将其从未排序的纸堆中取出，并将其放在已排序的纸堆的末尾。 
现在未排序的纸堆上只剩下98张纸，我重复这个程序：按字母顺序搜索靠前的纸张，然后将其移到已排序的纸堆的末端。 
这需要多长时间？ 
基本的步骤是比较两张卷子，并根据字母顺序决定。我们通过计算分类过程中执行的基本比较的次数来评估分类过程的效率。由于我的班级有100名学生，我需要进行多少次取出2张试卷、阅读名字和进行比较的操作，才能决定哪一个需要首先被拿出去？ 
在100张无序堆叠的试卷中，我将张与其后所有的试卷进行比较：这就是99次比较。我可能不得不这样比完所有100张试卷（我正在寻找的试卷可能是后一张）。所以要按字母顺序找到篇试卷可能需要100×99=9900次比较。 
…… 
因此，用这种方法进行比较的次数是99×99=9801。这比种方法好得多，但仍然复杂。如果我可以在两秒钟内比较两张试卷并且（如果需要的话）对它们进行互换，那么按照字母顺序排列这些试卷需要花费五个多小时。这是无法容忍的。 
我感到很沮丧，于是离开办公室出去散步。在大厅，我看到两个为我工作的博士后，一个邪恶的笑容浮现在我的嘴边。很快，我跑回办公室，把未分类的一堆试卷分成两半，分给他们每人各五十份。“给你们每个人一堆试卷”，我说，“请把每一堆按字母顺序排列，然后还到我的办公室。”搞定！我高兴地回到办公室。 
当我的博士后对试卷进行排序后，我还有一些工作要做。我需要将他们分别整理的试卷合并到一起。那会有多困难？我将把这两摞排列好的试卷放在我的桌子上。我会查看每一摞上面的试卷，看哪一张更靠近字母表的前面。下图说明了这个合并过程： 
当其中一摞用尽后，我只要将另一摞剩下的试卷放在排好的试卷后面。在复杂的情况下，我只做了99次对比。我可以在几分钟内做到这一点！ 
但是我的博士后呢？每个人有50张试卷要进行排序。他们都极其聪明，所以他们并没有自己整理，而是把各自的试卷分成两半（所以每个人未排序的试卷变为四摞，每一摞为25张），然后让四个研究生对这些试卷进行排序。当研究生完成工作后，博士后们只需要各自将两摞各25张的试卷合并成一摞。每个博士后多进行49次对比。 
然而四个研究生都不傻。他们每人把试卷分成两摞（每摞有12张和13张卷子），并找到8名高年级本科生，要求他们对小摞的试卷进行分类。研究生仍然需要将本科生返给他们的试卷进行合并，然后再将各自的25张交给博士后。 
高年级本科生如何对试卷进行排序呢？你猜对了：他们把各自的试卷又分成一半（每摞6或7张），让低年级本科生进行排序。三年级学生又将每一摞试卷分成两半（每摞3或4张），并交给二年级学生。后，二年级学生再把试卷分成两半（每个1或2张），并把它们交给一批大一新生。大一新生只能靠自己，他们直接将试卷排序——这并不困难，因为他们的试卷只有1或2张！