数学概念的演变（数学文化名著译丛）

不可否认，数学是现代社会重要的文化组成部分之一。它对其他文化元素的影响是如此的基础和广泛，以至于有理由相信，如果没有数学，我们“现代”的生活方式几乎不可能实现。暂不说电力、无线电、电视、计算机和太空旅行这些显而易见的例子，单单计算的基本技巧就足以证实这一说法。难以想象不使用任何数字的一天是如何度过的。
    然而，开展本研究的动机并非出于数学的重要性，更确切地说，是出于对数学概念（如数和几何）如何以及为何被创造和发展的渴求。我们对数学家个体如何创造和发展他们的概念有相当多的了解，并已经从心理学层面进行研究——杰出的数学家，尤其是庞加莱和哈达玛，以自身的经历做出了贡献。但这些只是一部分情况，没有任何数学家能够在真空中工作。数学家的兴趣不仅取决于他那个时代的数学状况，还取决于他与世界各地的数学同事的联系。已故人类学家拉尔夫·林顿提出了一个假设：“……如果爱因斯坦出生在一个无法数到3以上的原始部落，那么他耗尽毕生的努力可能都无法超越基于手指和脚趾的十进制的发展。”经过了几个“文明”，不计其数的数学家历经了四五千年的努力，才得以产生十进制，所以即使是天赋异禀的爱因斯坦，在他的整整一生中能否做到这一点也还是值得怀疑的。爱因斯坦（包括其他的数学天才）之所以能够达成他所做的事情，是由多种因素促成的，其中只有一个是他那毋庸置疑的天赋，而大部分因素都具有文化性质。
    数学家们往往会忽视或者忘记他们工作的文化性质，常觉得他们所处理的概念在文化环境之外拥有一个“现实（reality）”（一种柏拉图式的理想世界）。事实上，一些数学家似乎完全缺乏一种洞察力，即没有意识到他的观察和他的概念会受到观察者的影响，而关于这一点，现代物理学家已经意识到了。还有哪个学科像数学这样，概念逐渐比可观察的事物更重要？
    没有人指望能够在某一特定文化的逻辑和语言中找到物理世界严格遵循的规律。物理学家将所谓的规律纯粹地表述为一种使环境合理化和预测其行为的模式，他并没有断言自然遵循这些“规律”。就数学而言，它基于真实的物理环境，寻求宇宙所遵循的算数、几何等规律。但是，一旦数学成为一个成熟的文化元素，它似乎就会自行发展，仿佛独立于“现实（reality）”之外一样。
    然而，数学并非独立于文化的力量而发展，它受到一些文化自身特有的性质的影响，而不仅仅是物理学、艺术或其他文化成分。有些人认为在某一特定时期盛行的倾向是“错误的”，于是试图改变数学研究的方向，但这似乎是徒劳的。只有在强大的环境和内部压力作用下才能有效地改变数学发展的进程，例如有时由于战争的施压、政治变革所引发的混乱、宿主文化（host culture）的重大改变和数学本身的“危机”等等。中国古代和中世纪数学的停滞，反映了宿主文化的静态特征；希腊数学的衰落，其原因虽一直备受争议，但无论如何，它都属于文化整体衰落（内部的和环境的）的一部分；同时还有第二次世界大战前欧洲数学家涌入美国对美国数学和一般的数学的影响等都足以证实上述观点。近年来，数学领域中新研究的兴起，以及其从业者地位不寻常的提高，如同物理学领域发生的那样——主要是由于政治环境的作用。
    而且，我相信数学和数学哲学都可以从对数学演变的研究中获益。如果我们相信“那些不知道历史的人会陷在黑暗中”，密歇根大学威廉·克莱门茨图书馆外墙上的题字（致已故的乌尔里希·菲利普斯教授）。那么同样我们也会相信，数学家若忽视塑造他思想的演变力量，就相当于失去了一个有价值的研究视角。单纯了解历史是不够的，虽然日期、传记等很重要，但它们只是这类研究的一部分资料。此外，既然文化的演变已经成为人类学中公认的理论，那么这类研究应该引起广泛的关注，尤其是那些对他所处的文化环境的思想起源感兴趣的人。
    开展这类研究的主要障碍在于早期记录的不足。是研究一般文化的演变过程容易还是研究某一种特定文化（如数学）的演变过程容易，这个问题一直悬而未决。一方面，将文化视为一个整体来研究，可以从大量的文物中得出结论，而对于某一种特定文化（如数学），则可用的材料相对比较有限。另一方面，有限的材料可以降低复杂性和减少关注点。关于马的进化的研究就是一个例子。正如对特定生命形式的进化进行研究可以为一般的生命形式提供模式一样，研究特定文化（如数学）的演变过程对研究文化演变的一般形式具有重要意义。
    然而众所周知，数学是技术性的，其关注点集中在数和几何的基本方面。它们的演变基本上展现了高等数学发展过程中的所有特点。数字不仅是数学的开始，而且数概念以某种形式贯穿于数学的各个领域。这是每个文明人（也包括非文明人）为适应社会和物理环境所需要掌握的数学知识。因此，为了便于一般的理解，它不应具有太多的技术性。本书只有在第4章有一些技术性的东西，但我希望其呈现的方式能有助于非数学家对该内容的吸收。我相信没有读完这一章的读者可以从本书的其余部分找到足够的材料来理解它的大概意思。
    在这里我尝试从人类学家的角度而不是从数学家的角度来研究数学子文化。当然，由于我是一名数学家，与社会科学家在研究自身所处的文化时所遇到的风险一样，我很难摆脱自己的文化而去冷静地审视它。但是，数学的技术性如此之强，专业以外的人几乎不可能穿透符号的帘子和抽象的概念来发展它。与通常用来获取原始文化的风俗和信仰知识的“报告者（informant）”系统不同，相似的情况在数学中是行不通的。
    我想否认任何哲学化的尝试，我纯粹只想对某一特定文化的发展和行为进行研究。然而，完全避免哲学概念是不可能的，毕竟数学哲学影响了数的发展，尤其是在希腊时期。另一方面，如果我的某些结论似乎只有哲学基础，那么它必定是由所谓的科学哲学和科学理论之间的模糊界限造成的。我通过类比宗教来说明这一点，宗教纯粹是从人类学的观点进行研究的，很少或根本没有提及宗教哲学，除非它构成了某一特定的宗教内容。
    专业数学家不应期望在本书中找到对诸如实数系等主题的严格处理，因为这不是一本教科书。这是一本关于作为一种文化现象的数学著作，而并非关于数学本身。如果阅读完本书之后，专业数学家对其工作性质有了更深刻的理解，那么我认为我的目的就已经达到了。另一方面，我相信对于非数学专业的读者，尤其是研修社会学和人类学的学生来说，在阅读完本书后，将会对数学是什么有一个真正的理解，同时他可以忽略本书涉及的一些技术性知识并继续读到后。
    由于非数学专业领域的读者的缘故，本书对现代数学的相关内容进行了介绍，不仅包括它是什么、它是如何发展的，还从数学教学的角度介绍了正在发生的事情。为了同时照顾数学专业和非数学专业的读者，本书的第1章介绍初步概念，我希望它包含足够多的关于文化人类学的资料，以及我们日常所使用的十进制系统的性质，以帮助阐明一些技术性术语。如果读者熟悉该内容，那么可以忽略这部分的所有资料，从第2章开始阅读。
    参考书目提供作者的名字和日期，因此“Bell，1933，P.20”指的是贝尔在1931年的出版物，具体到第20页。对本书内容的引用一般只提供章和节，如果引用同一章内不同节的内容，则省略章号。
    我感激那些为我的观点的形成做出贡献的同事和学生，人数太多以至于我没办法一一列举出他们的名字。我特别感谢我的人类学家朋友莱斯利·怀特教授，还有我的孩子贝蒂·安·迪林厄姆（她阅读了初稿并做了评论）和大卫，这两位社会学家与我一起对很多相关的资料进行了讨论，此处所呈现出来的想法是众人努力的结果。我要感谢我的同事菲利普·琼斯教授和我以前的学生爱丽丝·迪金森教授，感谢他们的讨论与鼓励。特别感谢秘书玛丽·安·索伯女士的协助。另外，我还要感谢大学和学院让我有机会从文化的角度讲授数学。正是由于听众们的鼓励，我才决定写这本书。我希望那些听过我的讲座并且碰巧读到这本书的人会意识到两者之间的相似之处。还要感谢密歇根科学与技术研究所和佛罗里达州立大学的支持，分别在1960—1961年和1961—1962年授予我研究教授的职位，为研究工作提供了时间支持和经费资助。
    怀尔德
    安阿伯市，美国密歇根州
    1968年5月

前言1

平装版前言1

绪论

1  数学的性质

2  学校数学

3  数学的人文价值

4  现代数学教育“改革”

1  预备概念

1.1  文化的概念

1.1.1  作为一个有机整体的文化

1.1.2  文化与群体之间的关系

1.1.3  文化“生命”和个体“生命”的对比

1.2  文化变革与成长的过程

1.3  作为一种文化的数学

1.4  数学符号系统

2  数的早期演变

2.1  计数的开始

2.1.1  环境张力——物理张力和文化张力（Physical and Cultural）

2.1.2  原始的计数

2.1.2a  “Numeral”和“Number”的区别

2.1.2b  “基数”和“序数”的区别

2.1.2c  “2计数”

2.1.2d  计数和一一对应

2.1.2e  数字类别和形容词的形式

2.2  书写数字系统

2.2.1  苏美尔-巴比伦和玛雅数字、位值和零符号

2.2.1a  基数10和基数60

2.2.1b  巴比伦和玛雅数字系统的位值

2.2.1c  零符号

2.2.1d  六十进制小数

2.2.2  密码化

2.2.2a  爱奥尼亚数字

2.2.3  位值和密码化的结合

2.2.3a  “印度-阿拉伯”数字

2.2.4  十进制小数

2.3  数概念的演变

2.3.1  数字神秘主义和数字命理学

2.3.2  数字科学（A
Number Science）

2.3.3  数概念的地位及其在巴比伦统治末期的符号表示

2.3.4  “毕达哥拉斯”学派

2.4  插曲

3  几何的演变

3.1  几何在数学中的地位

3.2  希腊之前的“几何”

3.3  几何为什么成为数学的一部分？

3.3.1  数与几何量

3.3.1a  几何数论

3.3.2  欧几里得数论： 数与量

3.3.3  数和几何的形式概念

3.4  几何后期的发展

3.4.1  非欧几何

3.4.2  解析几何

3.5  几何模式的渗透对数学的影响

3.5.1  公理化方法和逻辑的引入

3.5.2  数学思想的革命

3.5.3  对分析学的影响

3.5.4  标签和思维模式

4  实数和对无限的征服

4.1  实数

4.1.1  无理数与无限

4.1.2  实数的无限小数符号

4.1.3  作为“量”的实数

4.1.4  基于自然数的实数

4.2  实数类型

4.2.1  康托尔对角线法

4.3  超限数和基数

4.3.1  将“计数数”扩展到无限

4.3.2  超限序数

4.4  什么是数

5  演变的过程

5.1  希腊之前的数学

5.2  希腊时代

5.3  希腊之后欧洲数学的发展

5.3.1  非欧几何

5.3.2  关于无限的介绍

5.4  数学演变的力量

5.4.1  评论和定义

5.4.2  个人层面

5.5  数的演变阶段

6  现代数学的演变

6.1  数学与其他科学的关系

6.1.1  与物理学的关系

6.1.2  更加抽象的趋势

6.1.3  与其他一般科学的关系

6.1.4  专业化

6.1.5  纯数学与应用数学

6.2  数学的“基础”

6.2.1  数学子文化

6.2.2  矛盾的出现

6.2.3  数理逻辑与集合论

6.3  数学存在

6.4  数学概念演变的“规则”

6.4.1  讨论

6.4.2  结论

参考文献

索引

译者序
    20世纪80年代以来，数学文化研究在我国数学界和数学哲学界悄然兴起。进入21世纪后，随着新一轮中小学数学课程改革的启动，它又获得数学教育界的高度认可，并成为数学教育研究的热点话题。在*颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，要求把数学文化融入课程内容，标志着数学文化走进中小学课堂。
    关于数学是文化的观点，中国学者很早就有论及。例如马遵廷1933年在《数学与文化》一文中提出了“数学和文化互为函数”的观点；陈建功1952年提出“数学教育是在经济的、社会的、政治的制约下的一种文化形态”；殷海光在20世纪60年代认为欧几里德几何学、纯粹数学都是文化；李大潜2005年提出“数学是一种先进的文化，是人类文明的重要基础”。代钦.释数学文化［J］.数学通报,2013，52(4).
2002年8月20日，丘成桐接受《东方时空》的采访时说：“由于我重视历史，而历史是宏观的，所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点，和别人的看法不一样。”这是一位数学大家对数学文化的阐述。
    国内外已有的著述可分为三类： 
    一类是基于数学与社会的互相作用的数学文化研究，以克莱因为代表。代表作品有《西方文化中的数学》（1953），《数学： 一种文化探索》（1962），《数学与知识的探求》（1986）。克莱因的工作侧重于对数学与各种文化及社会因素之间相互作用的现象的描述，进而分析数学文化的特征，其中提供了大量具体案例。由于国内学者的大力引介，使得克莱因的数学文化观点和成果在中国影响很大，处于主导地位。
    另一类是基于数学哲学和数学社会学的数学文化研究，以郑毓信为代表。出版代表性著作《数学文化学》（2000），试图从数学哲学和数学社会学的视角构建数学文化学的理论体系，在国内诸多学者的研究中独树一帜。
    第三类是基于文化人类学的数学文化研究，以怀尔德为主要代表。怀尔德（Raymond L. Wilder）曾任美国数学会主席，在数学文化方面有两部重要著作，即《数学概念的演变》（1968）和《作为文化体系的数学》（1981），是迄今为止理论价值的数学文化专著。
C.Smorynski.数学： 一种文化系统［J］.数学译林,1988(3).他在前一本书中提出了数学发展的11个动力和10条规律，在后一本书中进一步总结出23条规律。怀尔德注重建立数学文化学的理论体系，关注数学发展的内在文化机制，也