蝴蝶效应：从分形到混沌

有一首译为中文的英文诗：“钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶；战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折；战事折，国家灭。”
苏轼诗：“斫得龙光竹两竿，持归岭北万人看。竹中一滴曹溪水，涨起西江十八滩。”
成语：“失之毫厘，谬以千里。”
以上文字可用一个现代著名而热门的科学术语来概括——蝴蝶效应。
什么是“蝴蝶效应”？此名词早起始于20世纪60年代研究非线性效应的美国气象学家洛伦茨［1］，它的原意指的是气象预报对初始条件的敏感性。初始值上很小的偏差，能导致结果偏离十万八千里！
例如，1998年，太平洋上出现“厄尔尼诺”现象，气象学家们便说：这是大气运动引起的“蝴蝶效应”。好比美国纽约的一只蝴蝶扇了扇翅膀，就可能在大气中引发一系列的连锁事件， 从而导致之后的某一天，中国上海将出现一场暴风雨！
也许如此比喻有些哗众取宠、言过其实。但无论如何，它击中了结果对初始值可以无比敏感的这点要害和精髓，因此，如今各行各业的人都喜欢使用它。
毫不起眼的小改变，可能酿成大灾难。名人一件芝麻大的小事，经过一传十、十传百，可能被放大成一条面目全非的大新闻，有人也将此比喻为“蝴蝶效应”。
股票市场中，快速的计算机程控交易，通过互联网反馈调节，有时会使得很小的一则坏消息被迅速传递和放大，以至于促使股市灾难性下跌，造成如“黑色星期一”“黑色星期五”这类为期一天的灾祸。更有甚者，一点很小的经济扰动，有可能被放大后变成一场巨大的金融危机。这时，股市中的人们会说“这是‘蝴蝶效应’”。
有人还打了一个不太恰当的比喻，来解释社会现象中的“蝴蝶效应”：如果希特勒在孩童时期就得一场大病而夭折了的话，在1933年还会爆发第二次世界大战吗？对此我们很难给出答案，但是却可以肯定，起码战争的进程可能会大不相同了。
“蝴蝶效应”一词还激发了众多文人作家无比的想象力，多次被用于科幻小说和电影。
然而，在这个原始的科学术语中，究竟隐藏着一些什么样的科学奥秘呢？它所涉及的学科领域有哪些？这些学科领域的历史、现状和未来如何？其中活跃着哪些人物？他们为何造就了这个奇怪的术语？这里所涉及的科学思想和概念，与我们的日常生活真有关系吗？这些概念在当今突飞猛进发展的高科技中有何应用？如何应用？
从这些一个接一个的疑问出发，作者将用讲故事的方式，带你轻松愉快地走进科技世界中美妙、神奇的一个角落，向你展示“蝴蝶效应”之奥秘——分形和混沌理论，数学物理百花园中这两朵美丽的奇葩！同时，作者将带你广开眼界，从分形和混沌这两朵数学和物理学中的奇葩，走向如今整个学术界都有所研究、也许都能用得上的“复杂性科学”！
分形和混沌既简单又复杂，从复杂的系统中寻找简单的规律，反映了大自然及人类社会中许多相类似的共性。从20世纪七八十年代开始，学术界兴起了一个“复杂性科学”建立和发展的高潮。
数学上，从冯·诺依曼开始就有研究了多年的自动细胞机； 化学上，有普里高津远离非平衡态的耗散理论、自组织过程； 物理学中，固体物理延拓成为凝聚态物理后，不仅研究对象之范围得以极大的扩充，还包括量变到质变引起的深刻改变。安德森曾从“多则异”角度，提倡用“层展论”的观点来看待复杂体系的行为。复杂性科学研究的各种复杂现象，在心理学、生物学、计算机科学、网络理论等领域都有表现。
因此，1984年，一批从事物理学、经济学、生物学、计算机科学的学者，包括诺贝尔奖得主、夸克之父马瑞·盖尔曼与乔治·考温等人，建立了一个研究复杂性科学的“圣塔菲研究所”，全力支持年轻人对这个世界各方面的复杂系统进行探索。为此，我们对这一新兴领域稍作介绍。
仅以此书献给我的家人：丈夫章球、儿子章刚、女儿章毅和章玄。
张天蓉

2022年春

有人将本书首先描述了各种分形的基础知识和特性，包括线性迭代产生的分形如分形龙、科和曲线等，以及非线性迭代产生的曼德勃罗集、朱利亚集等。通过这些例子，介绍了自相似性及分数维的概念。然后，遵循混沌现象发展的历史，通过讲述庞加莱的三体问题、洛伦茨的蝴蝶效应等等故事和趣闻，将读者带进神奇混沌理论的天地中。再进一步通过对一个简单混沌系统--逻辑斯蒂映射的探讨，详细介绍分岔理论、稳定性、及费根鲍姆普适常数等概念。

本书后半部分，介绍了分形和混沌在各个领域的应用及前景、分形和混沌的关系、以及与分形混沌密切相关而发展起来的复杂性科学。

俗话说：“授人以鱼不如授人以渔”，作为科普书，介绍知识固然重要，传授科学研究之方法更为重要，本书极力体现这个宗旨。作者不仅介绍科学，还煞费苦心地重点介绍科学家作出重大发现时的思路历程，带领读者一起思考，从前人的经验教训中得到深刻启示，从而激发读者的好奇心和创造力。

一本老少皆宜、文理兼容的科普读物。图文并茂，用轻松有趣的语言，加之通俗生动的图解，来讲述深奥难懂的科学理论。为广大读者剥开理论的坚果，使不同领域的人士，都能领悟到数学及物理学的无穷魅力。

有人将本书首先描述了各种分形的基础知识和特性，包括线性迭代产生的分形如分形龙、科和曲线等，以及非线性迭代产生的曼德勃罗集、朱利亚集等。通过这些例子，介绍了自相似性及分数维的概念。然后，遵循混沌现象发展的历史，通过讲述庞加莱的三体问题、洛伦茨的蝴蝶效应等等故事和趣闻，将读者带进神奇混沌理论的天地中。再进一步通过对一个简单混沌系统--逻辑斯蒂映射的探讨，详细介绍分岔理论、稳定性、及费根鲍姆普适常数等概念。

本书后半部分，介绍了分形和混沌在各个领域的应用及前景、分形和混沌的关系、以及与分形混沌密切相关而发展起来的复杂性科学。

俗话说：“授人以鱼不如授人以渔”，作为科普书，介绍知识固然重要，传授科学研究之方法更为重要，本书极力体现这个宗旨。作者不仅介绍科学，还煞费苦心地重点介绍科学家作出重大发现时的思路历程，带领读者一起思考，从前人的经验教训中得到深刻启示，从而激发读者的好奇心和创造力。

一本老少皆宜、文理兼容的科普读物。图文并茂，用轻松有趣的语言，加之通俗生动的图解，来讲述深奥难懂的科学理论。为广大读者剥开理论的坚果，使不同领域的人士，都能领悟到数学及物理学的无穷魅力。

张天蓉，女，四川成都人。科普作家，美国得州奥斯汀大学理论物理博士。研究方向黑洞辐射、费曼路径积分、毫微微秒激光、高频及微波通讯的EDA集成电路软件等。发表专业论文三十余篇。所著科普著作《永恒的诱惑：宇宙之谜》入围2016中国好书奖，并获得科技部2017年全国优秀科普作品奖。

篇美哉分形//00

1.1有趣的分形龙//00

1.2简单分形//00

1.3分数维是怎么回事？//0

1.4再回到分形龙//0

1.5大自然中的分形//0

1.6分形之父的启示//0

1.7魔鬼的聚合物——芒德布罗集//0

1.8朱利亚的故事//0

第二篇奇哉混沌//0

2.1拉普拉斯妖//0

2.2洛伦茨的迷惑//0

2.3奇异吸引子//0

2.4蝴蝶效应//0

2.5超越时代的庞加莱//0

2.6三体问题及趣闻//0

2.7生态繁衍和混沌//0

2.8从有序到混沌//0

2.9混沌魔鬼“不稳定”//0

第三篇分形天使处处逞能//0

3.1分形音乐//0

3.2分形艺术//0

3.3分形用于图像处理//0

3.4人体中的分形和混沌//0

第四篇天使魔鬼一家人//0

4.1万变之不变//

4.2再回魔鬼聚合物//

4.3混沌游戏产生分形//

4.4混沌和兰州拉面//

第五篇混沌魔鬼大有作为//

5.1单摆也混沌//

5.2混沌电路//

5.3股市大海找混沌//

5.4混沌在CDMA通信中的应用//

第六篇从简单到复杂//

6.1三生混沌//

6.2自组织现象//

6.3孤立子的故事//

6.4生命游戏//

6.5木匠眼中的月亮//

6.6凝聚态物理和层展论//

6.7复杂性科学//

参考文献//

从数学游戏到真实世界//

有人将本书首先描述了各种分形的基础知识和特性，包括线性迭代产生的分形如分形龙、科和曲线等，以及非线性迭代产生的曼德勃罗集、朱利亚集等。通过这些例子，介绍了自相似性及分数维的概念。然后，遵循混沌现象发展的历史，通过讲述庞加莱的三体问题、洛伦茨的蝴蝶效应等等故事和趣闻，将读者带进神奇混沌理论的天地中。再进一步通过对一个简单混沌系统--逻辑斯蒂映射的探讨，详细介绍分岔理论、稳定性、及费根鲍姆普适常数等概念。

本书后半部分，介绍了分形和混沌在各个领域的应用及前景、分形和混沌的关系、以及与分形混沌密切相关而发展起来的复杂性科学。

俗话说：“授人以鱼不如授人以渔”，作为科普书，介绍知识固然重要，传授科学研究之方法更为重要，本书极力体现这个宗旨。作者不仅介绍科学，还煞费苦心地重点介绍科学家作出重大发现时的思路历程，带领读者一起思考，从前人的经验教训中得到深刻启示，从而激发读者的好奇心和创造力。

一本老少皆宜、文理兼容的科普读物。图文并茂，用轻松有趣的语言，加之通俗生动的图解，来讲述深奥难懂的科学理论。为广大读者剥开理论的坚果，使不同领域的人士，都能领悟到数学及物理学的无穷魅力。

张天蓉，女，四川成都人。科普作家，美国得州奥斯汀大学理论物理博士。研究方向黑洞辐射、费曼路径积分、毫微微秒激光、高频及微波通讯的EDA集成电路软件等。发表专业论文三十余篇。所著科普著作《永恒的诱惑：宇宙之谜》入围2016中国好书奖，并获得科技部2017年全国优秀科普作品奖。

2.4﹕蝴蝶效应

由图（2.3.1）右图可见，洛仑兹吸引子看起来就显然不同于那几个经典的。不属于经典理论的吸引子。我们把这种图像叫做奇异吸引子。

此外，我们得从数学上弄明白，奇异吸引子到底有哪些特别之处。我们在前一章中提到过：几个经典吸引子分别是0、1、2维的图形。那么，图（2.4.1）中这个3维空间的洛仑兹吸引子看起来像是多少维呢？

图（2.4.1）：洛伦茨吸引子是个2.06维的分形^【C】

图（2.4.1）中的图形看起来像一个分形，但是分形的维数也不一定就是分数。图形虽然复杂，但是看起来，每个分支基本上都还是在各自的平面上转圈圈。总共是两个平面，因此这个图形的维数有可能是2。有点类似分形龙的图形那样，曲线绕来绕去，绕来绕去，后充满一部分面积。但到底是不是2维，或者是一个接近2的分数，还得数学说了算。

从前几章对分形的介绍中, 我们已经知道: 不仅有整数维的几何图形，也有分数维的几何形状存在。表现出‘混沌现象’的系统的吸引子-奇异吸引子，就是一种分形。整数维数的吸引子（正常吸引子）是光滑的周期运动解，分数维数的吸引子（奇异吸引子）则是相关于‘非线性系统’的非光滑的混沌解。图（2.4.1）所示的洛伦茨吸引子的曲线, 只是象征性地显示了曲线的一部分。吸引子实际上是一个具有无穷结构的分形。如读者用本书后给出的链接，到‘洛伦茨吸引子’程序, 进一步观察, 则会发现, 状态点, 也就是洛伦茨系统的解, 将随着时间的流逝不重复地, 无限次数地奔波于两个分支图形之间。有数学家仔细研究了洛伦茨吸引子的分形维数，得出的结果是2.06（ 、-）0.01。

从奇异吸引子的形状及几何性质，我们看到了混沌和分形关联的一个方面：分形是混沌的几何表述。

奇异吸引子不同于正常吸引子的另一个很重要特征是它对初始值的敏感性：前面一章中所说的三种经典吸引子对初始值都是稳定的，也就是说，初始状态接近的轨迹始终接近，偏离不远。而奇异吸引子中，初始状态接近的轨迹之间的距离却随着时间的增大而指数增加。

这就是为什么使得在数学上造诣颇深的洛伦茨迷惑的原因。因为他发现，用他的数学模型进行计算的结果大大地违背了经典吸引子应有的结论。因为给定初始值的一点点微小差别，将使得结果完全不同。这个敏感性体现在气象学中，就是说：计算结果随着被计算的天气预报的时间, 成指数地放大, 在洛伦茨所计算的两个月的预报之中, 每隔四天的预报计算, 差别就被放大一倍。因此，后得到了显然不同的结果。

由此, 洛伦茨意识到，‘长时期的气象现象是不可能被准确无误地预报的’。因为，计算结果证明：初始条件的极微小变化, 可能导致预报结果的巨大差别。而气象预报的初始条件, 则由极不稳定的环球的大气流所决定。这个结论被他形象地称为‘蝴蝶效应’，用以形容结果对初值的极其敏感。意思是说，只是因为巴西的一只蝴蝶抖动了一下翅膀，而改变了气象站所掌握的初始资料，三个月之后，就有可能引发美国德克萨斯州出乎意料之外地刮起一阵未曾预报到的龙卷风。用中国人的术语来说，则叫做：‘差之毫厘, 失之千里’也。

图（2.4.2）：‘蝴蝶效应’示意图

也有人说，叫做蝴蝶效应是因为洛仑兹吸引子的图看起来很像两个抖动的蝴蝶翅膀。无论如何，这个名字启发了文学艺术家们无限的想象，产生出不少相关的作品。

‘洛伦茨吸引子’是个被深入研究的‘奇异吸引子’。洛伦兹模型是个被详细研究过的可产生混沌的非线性系统。

有些人认为，具有‘奇异吸引子’的系统可能只是比较少的特例。例如，在洛伦茨的方程组中，有一个叫瑞利数的参数R，当R=28的时候，方程才有混沌解。在许多别的R值，都得到经典的正常解。

但以上观点是一个误解。其实, 象洛伦茨发现的这类具有‘奇异吸引子’的系统并非什么凤毛麟角的例外，而是自然界随处可见的极普遍的现象，是经典力学所描述的事物的常规。然而，经典力学已建立三百多年, 为什么经典系统的混沌现象却直到三十多年前才被发现呢? 这其中的原因不外乎如下几点: 一是人们的观念上总是容易被成熟的, 权威的理论所束缚; 二则又是与近二, 三十年来计算机技术的飞速进展分不开的。洛伦茨吸引子被发现之后, 许多类似的研究结果也相继问世。有趣的是，各个领域的科学家还纷纷抱怨说他们早就观测到诸如此类的现象了。可是当时，或是得不到上司的认可, 或是文章难以发表, 或是自己以为测量不够精确, 或是认为由于噪声的影响, 等等等等。总而言之，各种原因，使他们失去了千载难逢的个发现奇异吸引子，发现混沌现象的机会。

换句话说，奇异吸引子的行为广泛地存在于经典力学所描述的现象中。这儿，‘经典’这个字用得有点混淆。本来，所谓经典物理，是指有别于量子物理而言。奇异吸引子与量子物理是两回事。比如说吧，洛伦茨得到的微分方程组，是从经典物理理论、经典力学规律得到的方程组。既不是随机统计的，也与量子理论无关。但是，这种符合经典理论的方程却有混沌行为的解。

奇异吸引子的行为广泛地存在于经典力学所描述的现象中，存在于各类非线性系统中。由于‘奇异吸引子’和 ‘混沌行为’是非线性系统的特点，这些发现，又将非线性数学的研究推至高潮。上个世纪的八十年代，九十年代，各门传统学科都在谱写自己的非线性篇章，即使在人文，社会学的研究系统中也发现了一批奇异吸引子和混沌运动的实例。因此，混沌理论的创立与牛顿的经典理论发生冲突，给了决定论致命的一击，拉普拉斯妖也无能为力了。

也有人认为，蝴蝶效应虽然说明了某些情况下，结果对初值非常敏感，但并不等于就完全否定了决定论。他们认为世界仍然是决定论的，只是计算及测量的精度问题。比如说到洛伦茨的天气预报吧，由于混沌现象的产生，目前的计算技术使他的误差在四天后增加一倍，但是如果将来计算机的速度加快、精度提高，对初始值也测量得更准确，就可能使得误差在四十天、或四百天后，才增加一倍，这不就等于能‘准确预报’了吗？

然而，另一派观点坚信决定论是不对的！怎么可能像拉普拉斯妖所说那样，这个世界，还有你、我、他，将来的一切都被决定了呢？难道我们此时此刻正在阅读的书中的每一句话，以及我们脑袋里所思所想，都在大爆炸的那个时刻就决定了？这听起来太荒谬绝伦了！万事万物的发展变化具有太多的偶然因素，不可能都是很久很久之前就注定了的。

笔者支持非决定论的观点，当然，数学终解决不了决定论还是非决定论的问题。但从物理学的角度而言，起码有两点证据，不支持决定论。一是已经有100多年历史的量子理论的发展。量子物理中的不确定原理表明：位置和动量不可能同时确定，时间和能量也不可能同时确定。因此，初始条件是不确定的，永远不可能有所谓‘准确的初始条件’，当然，结果也就不可能确定。这是其一。

另外，经典的物理规律，大多数都是用微分方程组的数学模型来描述的。建立微分方程的目的，本来就是为了研究那些确定的、有限维的、可微的演化过程。因此，微分方程的理论是机械决定论的基础。但是，微分方程组不一定就真是描述世界所有现象的好方法，事实上，在牛顿力学以外的许多物理现象，不能只用微分方程来研究，而对大自然中广泛存在的分形结构、物理中的湍流、布朗运动、生命形成过程，等等，微分方程理论也是勉为其难，力不从心。既然作为决定论基础的微分方程并不能用来解决世界的许多问题，“皮之不存，毛将焉附”。基础没有了，决定论失去了依托，拉普拉斯妖还有话说吗？恐怕只能躲在天国里唉声叹气了！

2.1﹕拉普拉斯妖

分形的确太奇妙了，特别是计算机产生的图像，真可算是一门特别的艺术！然而，分形与科学有什么关系呢？读者们也许注意到，在很多文章中，分形总是和混沌联系在一起，混沌是科学中常见的现象。所以也可以说，混沌现象是分形在科学中的表现。

什么叫‘混沌’？要用一個简单的方法來讲清楚‘混沌理论’是很困难的。不过，我们的老祖宗早就使用了‘混沌’这个词来描述和表达中国古代人的宇宙观：

“天地混沌如鸡子，盘古生其中。”

盘古开天地是我们十分熟悉的神话，无愧于中国几千年的文明，我们的祖先早就认识到我们有序的文明社会是诞生于混沌之中：“天地混沌如鸡子 ”，有点像现代物理学所描述的‘宇宙大爆炸’后的世界。

不过, ‘盘古开天地’的故事只说了一半，说的是有关我们的过去的那一半。就算宇宙的过去是天地混沌一片吧。宇宙的未来如何呢？预测未来总是比探讨过去更具诱惑力和实用性。不是吗？气象预报让你能未雨绸缪； 预测股市的走向可能使你发大财；研究未来的学者文人颇受人尊重；还有那些张大师、李大师之流，也得靠自称有先知先觉的功能，来蒙蔽人们，招摇撞骗。

我们将要解释的‘混沌理论’，就与预测未来有点关系。

其实，科学的目的之一就是要解释世界，放眼未来。问题是这些“未来事件”在什么条件下可以被预测？在多大程度上可以被预测？先见之明者能有多远的眼光？预测的准确性又如何？常言道: “人有旦夕祸福，天有不测风云” ，利用今后日新月异的科学技术，是否就能完全预知将要发生的“旦夕祸福”与“不测风云”，及未来的一切了呢？这一类有关“将来”的问题，用如今学术的语言来说，叫做：“研究一个动力系统的长期行为”。

1975年，美国数学家约克，和他的华裔研究生李天岩，将“混沌”这个词赋予科学的定义，用以描述某些系统长时期观察时表现的奇异行为。因此，这里我们将讨论的混沌理论，有别于通常意义的“混沌”，有别于盘古开天地时的混沌。它探索的课题， 与“世界的可知/不可知”这类哲学问题有关……

混沌理论研究的是一个动力系统的长期行为。我们重温一下分形中的曼德勃罗图是如何画出来的。那时我们考虑的，是一个非线性方程，在进行无限次迭代后，