玩不够的数学 算术与几何的妙趣

　　声称自己不喜欢数学的人往往是在自欺欺人，这源于他们对“数学”一词的狭隘理解。
　　数学，意味着一切通过推理或计算破解谜题的历程，但是，单纯对问题抽象结构进行思考，也是数学的一部分。这是一个尤其崇尚自由创造的领域。你在下西洋跳棋或者国际象棋时，就是在处理数学问题。棋子的形状或棋盘的材质都不重要。当一场棋局被登载在专业报刊上时，重要的是用符号代码记录下游戏的一般几何状态。若这个状态出现在未来的棋局中，而你已经知道如何锁定胜局，那你就一定能再次获胜。
　　物理学也经常可以转化成类似的游戏形式。计算机科学也是一样的，连法律也不例外，一些基本法律原则就起着几何公理的作用。人际交往中有时也包含着策略性的因素，将人与人之间的关系转化为数学游戏。
　　不过，我们在学校学到的显然不是这些无处不在、充满创意的数学。这不能不令人倍感遗憾，否则，也不会有这么多人宣称不喜欢数学，或者对数学一窍不通了。任何勤奋的人只要愿意在数学上稍稍投入一点精力，在研习经济模型、统计数据、生命科学等领域时会更加得心应手。无论做何事，若想追求完美与成功，都需要运用到数学。数学能激发想象力和创造力，是拓展新知的原动力。
　　本书前两章将介绍有限或无穷不可能图形，向读者举例说明数学可以既没有复杂公式也没有严密推理。的确，我们讲的是抽象形状与几何学，甚至在插图中给出了定理。但是，所有人都能理解主题，并从这些奇怪的图像中找到乐趣，无一例外。乍一看可能的图形，仔细看却显得不可实现，再次端详，努力忽略“视觉反射”后，终才能看出端倪。
　　传说来自中国的七巧板能让四岁孩子爱不释手，魔方、垒砖块、切披萨、视觉编码、独特质数、蜥蜴数列……让人着迷，引发惊人的智力成就。数学探险中的趣题将向你一章一章地展开。这些主题出自《为了科学》杂志每月刊登的《逻辑与计算》专栏，内容彼此独立，你可以随意选取阅读。这些文章会让你了解广义上的数学世界，这也是数学的本来样貌。你将会看到数学如何带来乐趣、激发智慧、鼓励创造。
　　在本质上，数学世界是永恒且不随时间变化的：我们今天所讲的内容，若不包含错误，在一个世纪或千年之后还会被重复宣讲。然而，人类的知识在不断进步，即便在趣味课题方面，也不断有新的发现。数学有着惊人的生命力，新的想法一刻不停地涌现，并逐渐走向成熟。比如，人们也是刚刚才知道 20 步就可以还原一个颇为杂乱的魔方，刚刚才知道砖块堆叠能产生多大的悬空。
　　充满活力与趣味，供所有人之用，引发万千赞叹——对于愿意打开眼界和思维的人，这便是数学。
　　让 - 保罗 · 德拉耶 

　　本书揭开趣味游戏、艺术设计和日常生活中的数学密码，通过新颖话题和精美图示展现算术与几何中隐藏的妙趣，从简单的数学原理走入算法的精彩世界，展现算法破解数学谜题的无穷威力。本书适合所有数学爱好者阅读。

　　让-保罗·德拉耶（Jean-Paul Delahaye），法国数学家和计算机科学家，数学科普作家，现任法国里尔科技大学计算机技术教授，法国国家科学研究院计算机基础科学实验室研究员，主要研究逻辑编程、偶然性和游戏的算法原理。

章  平面上的几何艺术
  不可能！你确信吗？
  无穷与不可能
  三角形几何学远未消亡！
  披萨数学家
  七巧板
第二章  三维空间的游戏
  两位数学雕塑家
  悬空问题
  皮亚特·海恩的27个小方块
  挂画问题
  魔方：不超过20步！
第三章  几何与算术的桥梁
  矩形的乐趣
  数字自动机
  萌芽游戏
  视觉密码学
  天使问题
第四章  整数的无穷奥秘
  跳格子游戏中的算术
  五花八门的数字收藏
  不同寻常的质数
  蜥蜴数列及其他发明
  令人困惑的猜想
  点点滴滴的数字奇观
参考文献

　　本书揭开趣味游戏、艺术设计和日常生活中的数学密码，通过新颖话题和精美图示展现算术与几何中隐藏的妙趣，从简单的数学原理走入算法的精彩世界，展现算法破解数学谜题的无穷威力。本书适合所有数学爱好者阅读。

　　让-保罗·德拉耶（Jean-Paul Delahaye），法国数学家和计算机科学家，数学科普作家，现任法国里尔科技大学计算机技术教授，法国国家科学研究院计算机基础科学实验室研究员，主要研究逻辑编程、偶然性和游戏的算法原理。

　　不可能！你确信吗？ 人们从透视错觉得来灵感，创造了神秘的“不可能图形”。人类的视觉系统让我们觉得这样的图形很奇怪。然而这些图形确实是可行的，并为我们带来双重乐趣——先是惊奇，然后理解。
　　亚历山大·马赛，1829年生于法国坎佩尔。他在 1872年发明了四眼纽扣的系衣服方法。相比其前身两眼纽扣，这个极其简单的物件具备不会因旋转而滑动的优点。四眼纽扣曾让其天才发明者变得富有，如今仍以数千亿的数量出现在一半以上的服装上。你也一定拥有几件配有四眼纽扣的衣服。然而，四眼纽扣也许应当早1000年就出现，甚至在古代就该问世。想象一下颇为有趣：伟大的亚里士多德或许忽略了这枚纽扣的存在，而他的生活质量本可以因此改善。
　　自行车、四色定理、整数和一条直线上的点之间双射的不可能性、康威生命游戏、便利贴、不可能图形，都是近来一些颇为简单的创意。很难解释它们为何这么晚才闪现在人类的脑海中。这些发现让人不禁自问，我们今天是不是也对身旁的一些想法视而不见 ——而我们的后代也许会对我们的盲目难以理解。罗特斯维尔德，别无他人！ 不可能图形及其无穷的变化带我们从心理学迈入奇幻艺术与数学的，世界，终来到计算机图形学领域。近的一些研究成果既展示了人们对不可能图形更深入的理解，也暴露出我们思维的欠缺。
　　仔细找找，我们会在古代绘画和版画中发现不可能物体的蛛丝马迹(参见“不可能图形的先驱”)。然而，我们并不确定作者是否刻意留下这样的踪迹，还是仅仅出于对透视法则的无知、粗心或者错用。在威廉·贺加斯的版画或马塞尔·杜尚的不可能床中，图画是刻意为之，但离纯粹的构思还相去甚远，并且没有一个早期不可能图画脱离了现实世界。画中错乱的现实世界，似乎是制造错觉不可或缺的源泉。
　　不可能图形的先驱。法王亨利二世收藏的一本早于公元1025年的《圣经》选读中有一幅圣母像(a)，画像中装饰柱的位置不合常理。我们可以认为这个错误不是有意而为，而是源于对透视的理解不足。在勃鲁盖尔1568年的画作《绞刑架下的舞蹈》(b)中央有一具几何形状很奇怪的悬架——到底是艺术家有意在作品中安放这个奇怪的物体，还是在悬架透视效果上出了差错呢？威廉·贺加斯于1754年创作的版画(c) 就是存心弄错的透视戏法。点烟斗的人在给他递火人的房子后面很远的山上。同样，羊群里远的那头却画得！树也一样。马塞尔·杜尚在1917年根据一幅广告画画了一张不合常理的床(d)。
　　瑞典人奥斯卡·罗特斯维尔德(1915—2002)是不可能图形无可争议的发明人。1934年，年轻的奥斯卡在拉丁文课上百无聊赖。不知不觉问，他开始画出了像图A中那样摆放、位置不合常理的9个立方体。9个立方体连起来，就有了图B中著名的“不可能三角形 ”。不可能图形就是这样诞生的。当他意识到自己画了什么后，奥斯卡·罗特斯维尔德将毕生都投入到研究透视悖论的问题中。
　　20年之后，数学家罗杰·潘洛斯和他的父亲里昂内·潘洛斯重新发明的不可能三角形出现在《英国心理学期刊》(Britch Journal of Psychology)上的一篇科学文章中。今天，它被“不公正地”称为潘洛斯三角形，并有数不清的变化形式。
　　奥斯卡·罗特斯维尔德发明并且画了数百个不可能图形，为此，他的祖国瑞典在1982发行了一套印着其数百幅作品的邮票(见左图)以示纪念。莫里茨·科内利斯·埃舍尔用美妙的版画为这些令人困扰的几何物体带来巨大声誉，并首次将其置于复杂的图形创作中，彰显其魔幻般的美。
　　如今，其他艺术家继续着不可能图形和透视错觉的游戏，创造了引人思考的作品，个中玄妙力量可谓妙趣横生，令人啧啧称奇。其中巧妙的艺术家包括我们认为堪称的桑德罗·德尔普雷特，以及冈萨尔维斯、尤斯·德梅、布拉多、莫莱蒂、恩斯特、福田繁雄、哈梅克斯、谢帕德、奥洛斯。
　　自1934年以来，悖论图形爱好者发明了各种令人难以置信的不可能物体，除此以外，数百篇针对不可能物体的文章也探讨了众多问题。这些让人称叹的小小图画引出了数不清的谜题，相关研究改变着人类对空间认知的理解，这至今仍是个挑战。
　　P2-4