目录
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前言
第一版前言
第1章 概率论概述 1
1.1 什么是概率? 概率论是什么? 1
1.2 必然性与偶然性的关系 1
1.3 概率论简史 2
1.4 概率论的地位、角色和应用 2
第2章 随机事件及其概率 4
2.1 随机事件 4
2.1.1 样本空间和随机事件 4
2.1.2 (随机)事件的运算 5
2.2 相对频率和概率准则 7
2.3 古典概型 9
2.3.1 复习排列组合 10
2.3.2 古典概型的概率计算举例 11
2.4 几何概型 14
2.5 概率的公理化 17
2.5.1 概率的公理化定义 18
2.5.2 概率的性质 20
2.6 条件概率、乘法公式及独立性 22
2.7 全概率公式及贝叶斯准则 26
2.8 事件列的极限、概率的连续性与Borel-Cantelli引理 31
2.8.1 事件列的极限 31
2.8.2 概率的连续性 32
2.8.3 Borel-Cantelli引理 33
习题2 34
第3章 随机变量及其分布 39
3.1 随机变量的定义 39
3.2 离散型随机变量 41
3.2.1 离散型随机变量的概念 41
3.2.2 常用离散型随机变量的分布 42
3.3 分布函数 46
3.4 连续型随机变量 49
3.4.1 连续型随机变量的定义 49
3.4.2 常见的连续型随机变量的分布 52
3.5 随机变量函数的分布 60
3.5.1 离散型随机变量函数的分布 60
3.5.2 连续型随机变量函数的分布 61
*3.6 随机变量的模拟 64
3.6.1 随机数生成 64
3.6.2 离散型随机变量的模拟 65
3.6.3 连续型随机变量的模拟 66
习题3 67
第4章 随机变量的数值特征 70
4.1 数学期望 70
4.1.1 数学期望的定义 70
4.1.2 常用分布的数学期望 73
4.1.3 重要的计算公式 73
4.1.4 随机变量函数的期望 75
4.2 方差 79
4.2.1 方差的计算公式 80
4.2.2 常用分布的方差 80
4.2.3 方差的性质 81
4.3 随机变量的其他数值特征 83
*4.4 期望效用与风险偏好 86
*4.5 信息熵与概率分布 88
习题4 94
第5章 多维随机变量及其分布 96
5.1 多维随机变量及联合分布函数 96
5.1.1 多维随机变量的定义 96
5.1.2 二维随机变量的(联合)分布函数 98
5.1.3 n维随机变量的联合分布函数 100
5.2 多维离散型随机变量 102
5.2.1 二维离散型随机变量 102
5.2.2 n维离散型随机变量 104
5.3 多维连续型随机变量 105
5.4 多维随机变量的条件分布 111
5.4.1 离散型随机变量的条件分布 111
5.4.2 连续型随机变量的条件分布 113
5.5 多维随机变量函数的分布 116
5.5.1 和差Z=X±Y的分布 116
5.5.2 乘积、商的分布 119
5.5.3 向量值函数的联合分布 120
5.5.4 由条件分布引出的随机变量 124
5.6 顺序统计量 126
5.6.1 X(k)的分布 127
5.6.2 顺序统计量的联合密度函数 128
习题5 130
第6章 多维随机变量的数值特征 137
6.1 多维随机变量函数的期望 137
6.2 协方差与相关系数 143
6.3 协方差矩阵 148
6.4 条件期望 153
6.5 生成函数、矩生成函数与特征函数 155
6.5.1 生成函数 155
6.5.2 矩生成函数 158
6.5.3 特征函数 159
6.5.4 依分布收敛 165
习题6 168
第7章 大数定律与中心极限定理 173
7.1 大数定律 173
7.1.1 弱大数定律 174
7.1.2 强大数定律 175
7.2 中心极限定理 185
7.2.1 独立同分布的中心极限定理 185
*7.2.2 Lindeberg条件和Feller条件 193
7.3 大数定律与中心极限定理的联系 201
7.4 随机变量序列4种收敛性之间的关系 202
习题7 206
部分习题参考答案 210
参考文献 216
附表1 Poisson分布表 217
附表2 标准正态分布表 218
内容摘要
第1章 概率论概述
1.1 什么是概率?概率论是什么?
概率 随机现象(或随机事件)出现(或发生)的可能性大小的一种度量.
概率论 研究随机现象统计规律的一门数学分支学科.
随机现象 在一定条件下并不总是出现相同结果(每次结果具有一定偶然性)的现象，又称偶然现象，例如投硬币、掷骰子等.与之对应的是确定现象.
统计规律大量偶然现象所呈现的某种必然性，它是不依从人的意志所转移的客观规律.具体说，就是各种随机现象出现(或发生)的可能性大小的度量，即概率或概率分布.
图1.1
例1.1.1 (Galton(高尔顿)钉板)如图1.1，自上端放入小球，让其自由下落，在下落的过程中碰到钉子时，从左边落下和从右边落下的可能性相同.大量落下小球，就会出现规律性.无论是张三还是李四，试验结果大致相同:
小球的分布像一个“钟形”，这就是一种统计规律，是一种不以人的意志为转移的客观规律.
1.2 必然性与偶然性的关系
从哲学上讲:必然性和偶然性是对立统一的.必然性总是通过大量的偶然性表现出来，偶然性是必然性的表现形式和必要补充.必然性和偶然性在一定条件下相互转化.也就是说，
(1)必然性和偶然性是同时存在的;
(2)必然性存在于偶然性中，它通过大量的偶然性表现出来;
(3)偶然性中隐藏着必然性，它是必然性的补充和表现形式;
(4)它们在一定条件下可相互转化.
1.3 概率论简史
“好赌似乎是人类的天性”.追溯概率论，可以说它起源于赌博问题的概率计算.
据记载，人类*早的赌博游戏开始于公元前1400年，古埃及人为了忘却饥饿，经常聚在一起掷一种类似于现在骰子的东西来进行赌博.15—16世纪，意大利数学家Cardano(卡尔达诺)、Tartaglia(塔塔利亚)等研究过赌博问题，并未引起当时人们的注意.
1654年左右，爱好赌博的法国贵族Méray(梅雷)向Pascal(帕斯卡)提出了两个问题.
(1)赌金分配问题:甲乙两个人同掷(让中间人掷骰子)，如果甲先掷出了3次“6”点，或乙先掷出3次“4”点，就赢了全部赌金.若甲已有2次“6”点，乙有1次“4”点，问如何分配赌金?
(2)一对骰子抛掷25次，把赌注押到“至少出现一次双6点”是否比“完全不出现双6点”有利?
Pascal和他的好友Fermat(费马，法)进行通信讨论，后来，荷兰数学家、物理学家Huygens(惠更斯)也加入了讨论，并写了《论赌博中的计算》一书.18、19世纪，随着社会的发展和生产实践的需要，特别是在人口统计、保险、测量、射击等方面提出了大量的概率问题，促使人们在概率的极限定理(大数定律和中心极限定理)等方面进行深入地研究，这时期先后对概率论发展做出重要贡献的数学家有:Bernoulli(伯努利，瑞士)、Laplace(拉普拉斯，法)、Poisson(泊松，法)、Gauss(高斯，德).
20世纪初，俄罗斯学派也做出重要贡献:Chebyshev(切比雪夫，俄)不等式、Markov(马尔可夫，俄)过程.1933年，Kolmogorov(柯尔莫哥洛夫，苏联)提出了概率论的公理化体系，这不仅部分地回答了Hilbert(希尔伯特)23个问题中的第6个问题:“物理学的公理
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