【现货速发】初等数论
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天津津南
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作者张廷海,黄福生
出版社科学出版社
ISBN9787030558862
出版时间2020-08
装帧平装
开本16开
定价45元
货号25221893
上书时间2025-01-01
商品详情
- 品相描述：全新
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导语摘要
《初等数论》是作者结合多年初等数论的教学实践，根据高校初等数论课程的教学大纲，并充分考虑专业理论知识与学生未来就业的实际需要相结合的需求编写而成的。其主要内容包括整除理论、不定方程、同余、数的表示、一元同余方程、平方剩余与二次同余方程、原根与指标。《初等数论》例题和习题大部分选自中小学各类数学竞赛试题，且每节节后几乎都附有数学家小故事。
目录
目录
前言
第1章 整除理论 1
1.1 整除的概念和基本性质 1
1.2 带余除法 6
1.3 **公因数 10
1.4 *小公倍数 17
1.5 辗转相除法 21
1.6 素数与合数 26
1.7 算术基本定理 30
1.8 数的奇偶性与平方数 34
1.9 高斯函数[x]及其应用 37
总习题1 43
第2章 不定方程 46
2.1 二元一次不定方程 46
2.2 n元一次不定方程 53
2.3 数学竞赛中的不定方程问题的常用解法 58
2.4 勾股数 63
2.5 费马问题介绍 67
总习题2 69
第3章 同余 72
3.1 同余的概念及基本性质 72
3.2 剩余类和完全剩余系 76
3.3 简化剩余系与欧拉函数 81
3.4 欧拉定理和费马小定理 85
总习题3 88
第4章 数的表示 90
4.1 实数的进位制及相互转化 90
4.2 分数化小数 96
4.3 小数化分数 101
4.4 实数的连分数表示 104
4.5 二次无理数与循环连分数 112
总习题4 116
第5章 一元同余方程 118
5.1 一次同余方程 118
5.2 孙子定理与一次同余方程组 122
5.3 合数模高次同余方程 132
5.4 素数幂模的同余方程 135
5.5 素数模同余方程 140
总习题5 145
第6章 平方剩余与二次同余方程 147
6.1 平方剩余 147
6.2 勒让德符号，高斯二次互反律 153
6.3 雅可比符号 160
6.4 二次同余方程的求解 165
总习题6 172
第7章 原根与指标 175
7.1 指数及其基本性质 175
7.2 原根存在的充要条件 178
7.3 原根的个数及简化剩余系的构造 183
7.4 指标与二项同余方程 186
总习题7 190
习题参考答案及提示 192
参考书目 220
附录1 梅森素数史表 221
附录2 素数及其*小正原根表(5000以内) 223
内容摘要
《初等数论》是作者结合多年初等数论的教学实践，根据高校初等数论课程的教学大纲，并充分考虑专业理论知识与学生未来就业的实际需要相结合的需求编写而成的。其主要内容包括整除理论、不定方程、同余、数的表示、一元同余方程、平方剩余与二次同余方程、原根与指标。《初等数论》例题和习题大部分选自中小学各类数学竞赛试题，且每节节后几乎都附有数学家小故事。
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初等数论
精彩内容
第1章 整除理论
数论是研究整数性质的一个数学分支，其中整数的整除理论是初等数论的基础，其他内容都与之有着直接或间接的联系。它是对在小学就学过的整数的算术运算作抽象的、系统的总结，看起来似乎简单，但是它的内涵却十分深刻。它也是中小学数学竞赛和公务员考试中所考查的有关初等数论知识的主要部分。本章主要内容包括整除的概念和基本性质、带余除法、**公因数与*小公倍数、辗转相除法、素数与合数、算术基本定理、数的奇偶性与平方数以及高斯函数[x]及其应用，其中**公因数和算术基本定理是整除理论的核心内容，带余除法和辗转相除法是整除理论的重要工具。
1.1 整除的概念和基本性质
我们知道，两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用不为零的整数去除另一个整数所得的商却不一定是整数，为此，我们引入整数的整除的概念，并由此给出其性质及应用。
定义1.1.1 设 (Z表示整数集合)，且，如果存在整数c，使得a=bc，则称a被b整除或b整除a，记为，并称a是b的倍数，b是a的因数(或约数)。如果不存在整数c，使得a=bc成立，则称a不能被b整除或b不整除a，记为。
显然每个非零整数a至少有因数，称它们为a的平凡因数，a的其他因数，称为a的非平凡因数。
由整除的定义和乘法运算性质立即可以推出整除的以下性质。
定理1.1.1 设a，b，则下面的结论成立。
(i) 若，则；
(ii) 若，且，则 (整除的传递性)，
(iii) 若，且，则对任意整数 m，n，有，一般地，若，则对任意整数，有(整除的线性性)，
(iv) 若，且，则，反之也成立，
(v) 若，且，则，若，且，则，若，且，则。
请读者自证。
注意 由整除的定义可知，为了证明，设法将a分解为b与另一个因数的乘积是其中的基本方法之一，因此一些常见的代数式的分解公式对证明整数的整除具有一定的帮助。如
(Ⅰ) 设n是正整数，则
(Ⅱ) 设n是正奇数，则在上式中以-b代换b得
(Ⅲ) 设n是正偶数，则
例1 证明：能被1001整除。
证明 由分解公式 (Ⅲ)，有，所以，1001=103+1整除
例2 证明：若，且，则。
证明 由，有n=5k，由可知。又由，可知，即，因此有。所以n=35t，即。
例3 设p，q都是正奇数，且p-1=q+1，证明：
证明 由分解公式 (Ⅰ)，有，由分解公式 (Ⅱ)，有
再由有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和、差也是奇数，因此和都是奇数，于是。上述两式相加并结合p-1=q+1得所以.
例4 设正整数m 的十进制表示为：证明：
证明 (i) 由及，有，对于所有的，有，从而由整除的线性性可知3整除上式右端，因此，由此进一步得到。
(ii) 由，有，再由分解公式 (Ⅱ)，(Ⅲ) 可知，i为正奇数，j为正偶数，于是由整除的线性性有，再由及整除的传递性有，由此进一步推出：
(iii)，(iv) 可分别类似于 (i)，(ii) 证得。
注意 一个十进制整数被另一个正整数整除的条件 (如本节例4)，称为 “整除的数字特征”。 此类问题在数学竞赛和公务员考试中经常出现，现将常见的整除数字特征归纳如表1.1.1。
表1.1.1
华罗庚小传
华罗庚 (1910~1985)，出生于江苏省金坛县。数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士。他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人和开拓者，他为中国数学的发展做出了无与伦比的贡献，被誉为 “中国现代数学之父”。美国著名数学家贝特曼著文称：”华罗庚是中国的爱因斯坦，足够成为全世界所有著名科学院的院士。”
华罗庚少年时期因家境贫困，初中毕业后无法继续上学，弃学回家帮助其父经营小店，他只能利用业余时间自修数学。这时华罗庚已对数学产生了强烈的兴趣，而不能全力从事小店工作，他的父亲对此很反感，多次要撕掉他的 “天书”。他18岁时不幸染上伤寒，卧床半年，从此左腿落下残疾。但是，华罗庚不悲观，不气馁，顽强发奋，刻苦自学，20岁时，就在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到当时清华大学数学系主任熊庆来的重视，被邀请到清华大学工作. 在清华大学，华罗庚勤奋好学，只用了一年时间，就把大学数学系的全部课程学完了，同时开始了对数论的研究，卓有成就。
华罗庚一生热爱祖国。新中国诞生时，他正在美国伊利诺伊大学任教，是终身教授. 出于对祖国的热爱和对民族强烈的责任感，他致信留美同学：“为了抉择真理，我们应当回去；为了国家民族，我们应当回去；为了为人民服务，我们也应当回去 为我们伟大祖国的建设和发展而奋斗！”1950年，华罗庚毅然回到祖国，以极大的热情参与国家的建设和科学事业的复兴。他领导中国科学院数学研究所，推动中国近代数学的研究和发展，培养了许多数学人才，使中国多个数学领域的研究领先于国际水平。在长期的科学研究中，尽管有时身处逆境，他总是精神振奋，全然不顾自己身残，以赤子之心，忘我工作，“沧海不捐一滴水，洪炉陶冶砂成金，四化作尖兵”“横刀哪顾头颅白，跃马紧傍青壮人，不负党员名”，他诗如其人，一生都以极大的热情报效国家。
1985年6月12日，他在访问日本期间因突发心脏病不幸逝世。为了纪念他，1986年中国数学学会等单位开展了以 “华罗庚”名字命名的全国性少年数学竞赛活动，其中**影响力的是“华罗庚金杯”少年数学邀请赛，至今已举办了20余届，以弘扬他热爱祖国和献身科学的精神。
习题1.1
1. 设，证明：
2. 证明： 若整系数方程有整数根，则必有。并由此判断以下方程有无整数根，若有整数根，则求出所有整数根。
(1) x2+x+2=0，(2) x3-x2-4x+4=0。
3. 证明：若，且，则。
4. (第3届“华罗庚金杯”复赛) 173A是一个四位数。数学老师说：”先后用3个数字代替a，所得到的3个四位数，依次可以被9，11，6整除。“ 问： 这3个数字的和是多少？
5. (第5届“华罗庚金杯”初赛) 李明1995年的年龄是他出生那年的年份的数字之和。问： 李明1995年多少岁？
6. 一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，**的是几？
7. (1992年小学数学奥林匹克竞赛) 一个整数乘13后，积的*后三位数是123，那么这样的整数中*小的是几？
8. 设，证明：的充分必要条件是。
9. 设是整系数多项式. 证明：若，则。
10. 证明：能被19整除。
1.2 带余除法
1.1节我们讨论了两个整数之间的整除的性质，事实上对任意两个整数，a未必能被b整除。为此本节将介绍整数的除法算法——带余除法，它是初等数论的证明中*重要、*基本、*常用的工具。
定理1.2.1 (带余除法) 设a，b是两个整数，则存在**的一对整数q和r，使得(1.2.1)特别地，当且仅当r=0。
证明 作整数序列，则a必位于上述序列中的某相邻两项之间，即存在一个整数q，使得成立.从而有，令。因此，当b>0 时，有a=qb+r，当b< 0时，有a=(-q)b+r。总之，q，r是存在的。
下面证明q，r也是**的。
设q1，r1也满足式(1.2.1)，即，则有，(1.2.2)
于是b(q-q1)=r1-r，由此得到，但，故必有r1-r=0，即r=r1。
代入式(1.2.2) 得q=q1，**性得证。
定义1.2.1 称式(1.2.1) 中的q是a被b除的不完全商，r是a被b除的余数，也称为*小非负余数。
此外，带余除法还有以下更灵活的形式。
推论1.2.1 设a，b，d是给定的整数，则存在**的一对整数q，r，使得(1.2.3)
证明 对整数a，d和b，由定理1.2.1可知，存在**的一对整数q，使得，从而，令，于是a=bq+r，且
由q，的**性可知q，r也是**的。
注意 由推论1.2.1可得到另外两种常见的余数：
(1) 当时，取，当时，取，则此时式(1.2.3)成为
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