【现货速发】高等代数

前言

“高等代数”课程是高等学校数学类本科专业核心基础课程（代数、分析、几何）之一，它的主要任务是使本科生掌握基本的、系统的代数学知识，抽象的、严格的代数学方法以及广泛的、深刻的代数学思想，要求学生初步掌握行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间（变换）、欧氏空间、多项式等代数学基本理论和数学方法，为数学类专业后续课程的学习打下坚实的基础。吉林师范大学数学学院前身是成立于1958年的四平师专数理科，“高等代数”作为专业基础课程从建校起就已经开设。1973年四平师专升格为四平师范学院，“高等代数”作为师范专业本科课程开设至今。六十年来，负责“高等代数”课程教学工作的许许多多任课教师，为了教好、建设好这门课程倾注了大量的心血和汗水，所选用过的教材多种多样，教学参考书更是不计其数。早期北大版《高等代数》一直被作为代数课程教材，但对于省属师范大学数学专业的学生而言无疑难度较大。1998年，我系与东北师范大学数学系联合承担国家*本科教改项目，将高等代数与解析几何课程合并设课，从1998级学生开始使用东北师范大学王仁发牵头编写的《代数与解析几何》教材。同年“高等代数”被评为“吉林省优秀课程”，2003年顺利通过省教育厅专家组复查验收，2005年被评为“校级建设精品课程”，2006年被评为“校级网络课程”，2007年被评为“校级精品课程”和“吉林省省级精品课程”。在“高等代数”课程讲授过程中，各位专任教师一直在探索出版一本更适合省属师范大学数学专业本科生学习的代数教材，本授课讲义也在这一过程中逐渐酝酿形成，并得到“吉林师大首届精品教材”立项资助。“高等代数”省级精品课程带头人张敏教授为此付出了辛勤的汗水，在张敏教授退休之后课程团队继续在教学实践中对讲义进行了修改和完善。感谢张力宏、杜奕秋两位教授对书稿的详细审读和所提建设性意见。感谢清华大学出版社王定、邵慧平两位编辑的辛勤付出。书中编入的一些相关教材内容和习题未能列出出处的，在此一并向作者表示感谢。欢迎“高等代数”教学战线的同行对本教材多多批评指正。

徐乃楠刘鹏飞

2017年11月于吉林师范大学数学学院

目录

第1章行列式1

1.1排列1

1.2n阶行列式的定义3

1.3行列式的性质6

1.4行列式按行（列）展开12

1.5克拉默（Cramer）法则19

1.6习题21

第2章矩阵和向量26

2.1矩阵及其运算26

2.2可逆矩阵31

2.3矩阵的秩36

2.4初等矩阵39

2.5分块矩阵43

2.6n维向量47

2.7习题56

第3章线性方程组60

3.1矩阵消元法60

3.2线性方程组解的结构66

3.3习题70

第4章多项式73

4.1数域73

4.2一元多项式74

4.3多项式的整除性76

4.4公因式80

4.5多项式的因式分解85

4.6重因式与重根88

4.7特殊域上的多项式92

4.8习题97

第5章二次型100

5.1二次型及其矩阵100

5.2化二次型为标准型103

5.3二次型的惯性定理108

5.4恒正二次型110

5.5实二次型的分类与应用114

5.6习题118

第6章线性空间120

6.1线性空间的定义与简单

性质120

6.2基底、坐标与维数123

6.3基变换与坐标变换127

6.4线性空间的子空间130

6.5子空间的交与和132

6.6子空间的直和与线性

空间的同构134

6.7习题136

第7章欧氏空间138

7.1欧氏空间的定义及性质138

7.2欧氏空间的标准正交基142

7.3正交子空间与欧氏空间的

同构146

7.4习题148

第8章线性变换150

8.1线性变换的定义及性质150

8.2线性变换的运算152

8.3线性变换的表示阵155

8.4线性变换的值域与核159

8.5不变子空间、特征根与

特征向量160

8.6欧氏空间的正交变换和

对称变换167

8.7习题172

第9章矩阵的标准型176

9.1λ矩阵的等价与法式176

9.2行列式因子和不变因子182

9.3初等因子184

9.4矩阵环上的多项式188

9.5矩阵的小多项式191

9.6若当标准型193

9.7习题197

参考文献199