【现货速发】矩阵论及其应用

矩阵论(matrix theory)提出于19世纪，经过近两个世纪的发展，现已成为数学中一个独立的重要分支，矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论，具有极其丰富的内容. 作为一种重要的数学工具，矩阵论不仅在数学学科内部，而且在力学、物理学和其他科学技术领域都有十分广泛的应用. 进入20世纪以后，电子计算机的发明及计算机科技的迅速发展为矩阵论的应用开辟了广阔前景，矩阵论的理论和方法因具有适合计算机处理的特点而愈加重要，可以说，矩阵论已成为科学研究人员和工程技术人员的数学基础，矩阵论的相关知识对于高等院校理工科学生而言是必须掌握的.

本书编著者多年来在中山大学为理工科硕士研究生讲授矩阵论课程，并面向高年级本科生开设矩阵论选修课.本书是在多年使用的讲义基础上修订完善而来的.

矩阵论的先修课程是线性代数、高等数学，本书以大学理工科专业通用的线性代数、高等数学课程的内容作为预备知识，较全面、系统地介绍了矩阵论的基本理论、方法和实际应用.

全书共7章.

第1章，线性空间； 第2章，线性变换. 这两章的内容较抽象，但对训练学生的逻辑思维能力、提高分析问题的严密性、培养学生的数学素养而言非常重要。本书在例题、定理等内容中增加了分析和解释性语言，以使抽象回归到具体，降低理解难度，消除歧义，起到辅导作用. 这种分析、解释、辅导也是本书所有章节的一大特色.

第3章，典型矩阵与变换，是前两章理论的运用，也是线性代数相关内容的深化，同时也是后续章节的必要基础. 

第4章，矩阵的相似标准形； 第5章，矩阵分解. 这两章的内容是矩阵理论的重要部分，实用性强，是理工科学生和科技人员在分析和解决实际问题中直接用到的数学工具，也是线性代数相关内容的深化. 

第6章，矩阵的微积分. 这一章的内容对应数学学科中的“分析”领域，即矩阵分析，是高等数学相关内容的深化，需要用到序列、函数、极限、无穷级数、导数与微分、不定积分、定积分等高等数学知识，由于向量范数和矩阵范数是新内容，本章用单独的一节给出. 

第7章，广义逆矩阵. 广义逆矩阵是矩阵的现代理论的重要内容之一，可应用于矛盾方程组的求解等问题，是线性代数相关内容的深化，实用性很强. 

本书的出版凝聚了许多老师、同学和业界同人的努力和心血. 

感谢中山大学电子与通信工程学院2017至2021级本科生和研究生在本书使用中对本书内容提出的宝贵建议，感谢同学们的勘误和补充. 感谢中山大学电子与通信工程学院的领导和同事在本书写作过程中给予的支持. 

感谢清华大学出版社盛东亮和崔彤等在本书的编校工作中所做出的贡献. 

虽然我们在本书编撰过程中精益求精，但由于时间仓促和编著者水平有限，书中难免有疏漏和不足之处，恳请读者批评指正!

编著者
2024年2月
于中山大学深圳校区

本书系统地介绍了矩阵论的基础理论和方法，以及其在数学学科内部和工程技术领域的应用实例，矩阵论作为本科生的线性代数课程的后续课程，在内容上以矩阵、线性变换、矩阵分解、广义逆矩阵等为核心，是线性代数课程内容的进一步深化和实用化，全书共分为7章，分别为线性空间、线性变换、典型矩阵与变换、矩阵的相似标准形、矩阵分解、矩阵的微积分、广义逆矩阵。各章有引言、知识网络图、理论部分和例题、应用实例、习题，书后附有相关MATLAB函数、习题参考答案。本书可作为理工科院校高年级本科生或硕士研究生的矩阵论及其应用等课程的教材，也可供相关工程技术人员参考。本书配有学习指导书，可辅助教师教学或学生自学。

郭东亮，中山大学电子与通信工程学院高级实验师，获南昌大学应用数学专业理学硕士学位、东南大学信号与信息处理专业工学博士学位，矩阵分析课程负责人，教材作者。

第1章线性空间

1.1线性空间的概念

1.1.1线性空间的定义和性质

1.1.2向量组的线性相关性

1.1.3线性空间的基与维数

1.1.4线性空间的坐标与坐标变换

1.2线性空间的子空间

1.2.1线性子空间

1.2.2子空间的交与和

1.2.3子空间的直和

1.3赋范线性空间

1.3.1范数

1.3.2赋范线性空间的定义

1.4度量空间

1.4.1向量的距离

1.4.2度量空间的定义

1.5内积空间

1.5.1欧氏空间

1.5.2酉空间

1.5.3向量的夹角

1.5.4基的正交化

1.6应用实例

1.6.1线性分组码的编码

1.6.2线性分组码的译码

本章小结

习题1 

第2章线性变换

2.1线性映射

2.1.1线性映射的定义及性质

2.1.2线性映射的矩阵表示

2.1.3两个线性空间不同基组合下的矩阵表示

2.1.4线性映射的值域、核

2.1.5线性映射与其矩阵表示的值域、核的关系

2.1.6同构映射

2.2线性变换及其矩阵

2.2.1线性变换及其矩阵表示

2.2.2线性变换的运算

2.2.3线性变换的特征值与特征向量

2.2.4线性变换的值域、核

2.3线性变换的不变子空间

2.3.1不变子空间的定义

2.3.2不变子空间的性质

2.4应用实例

2.4.1同构映射的应用

2.4.2乘积矩阵的秩

2.4.3数字信号处理中的线性变换

本章小结

习题2

第3章典型矩阵与变换

3.1正交矩阵与正交变换、酉矩阵与酉变换

3.1.1正交矩阵和酉矩阵

3.1.2正交变换和酉变换

3.1.3正交变换、酉变换实例

3.2幂等矩阵与投影变换

3.2.1幂等矩阵

3.2.2正交补与正交投影变换

3.3对称变换、Hermite变换及其矩阵

3.3.1对称变换与对称矩阵

3.3.2Hermite矩阵与Hermite变换

3.4正规矩阵与正规变换

3.4.1正规矩阵

3.4.2伴随变换和正规变换

3.5应用实例

3.5.1Householder镜像变换

3.5.2最小二乘法的数学原理

本章小结

习题3

第4章矩阵的相似标准形

4.1λ矩阵及其初等变换

4.1.1λ矩阵的定义

4.1.2λ矩阵的初等变换及等价

4.2λ矩阵的Smith标准形

4.2.1λ矩阵的Smith标准形、不变因子

4.2.2用初等变换求λ矩阵的Smith标准形

4.2.3行列式因子、λ矩阵等价的充要条件

4.2.4初等因子

4.3数字矩阵相似的充要条件

4.4矩阵的Jordan标准形

4.4.1Jordan标准形的定义及求解

4.4.2相似变换矩阵的求法

4.5应用实例

4.5.1常系数线性微分方程组的求解

4.5.2矩阵计算

本章小结

习题4

第5章矩阵分解

5.1矩阵的三角分解

5.1.1三角分解及其存在唯一性

5.1.2规范化三角分解

5.1.3三角分解的紧凑计算格式

5.1.4Hermite正定矩阵的Cholesky分解

5.2矩阵的满秩分解

5.2.1满秩分解

5.2.2不同满秩分解之间的关系

5.3矩阵的正交三角分解

5.3.1满秩方阵的正交三角分解

5.3.2一般矩阵的正交三角分解

5.4矩阵的奇异值分解

5.4.1矩阵的奇异值

5.4.2矩阵的奇异值分解方法

5.5应用实例

5.5.1解线性代数方程组

5.5.2基于奇异值分解的数字图像压缩

5.5.3基于奇异值分解的数字水印

本章小结

习题5

第6章矩阵的微积分

6.1向量和矩阵的范数

6.1.1向量范数

6.1.2矩阵范数

6.1.3向量范数与矩阵范数的相容性

6.2矩阵序列与极限

6.2.1矩阵序列

6.2.2矩阵序列收敛的性质

6.2.3矩阵序列的敛散性

6.3矩阵级数与矩阵函数

6.3.1矩阵级数

6.3.2矩阵幂级数

6.3.3矩阵函数的幂级数定义

6.4函数矩阵的微分与积分

6.4.1函数矩阵的定义及运算

6.4.2函数矩阵的极限

6.4.3函数矩阵的导数

6.4.4函数矩阵的积分

6.5应用实例

6.5.1矩阵范数的应用

6.5.2矩阵函数的应用

本章小结

习题6

第7章广义逆矩阵

7.1广义逆矩阵的概念

7.1.1广义逆矩阵的定义

7.1.2减号逆的性质

7.1.3减号逆的计算

7.2MP广义逆矩阵

7.2.1MP广义逆矩阵的定义

7.2.2加号逆的性质

7.2.3加号逆的计算

7.3应用实例

7.3.1相容方程组和矛盾方程组

7.3.2相容方程组的求解

7.3.3矛盾方程组的求解

本章小结

习题7

参考文献

附录A矩阵运算相关MATLAB函数

附录B习题参考答案

本书系统地介绍了矩阵论的基础理论和方法，以及其在数学学科内部和工程技术领域的应用实例，矩阵论作为本科生的线性代数课程的后续课程，在内容上以矩阵、线性变换、矩阵分解、广义逆矩阵等为核心，是线性代数课程内容的进一步深化和实用化，全书共分为7章，分别为线性空间、线性变换、典型矩阵与变换、矩阵的相似标准形、矩阵分解、矩阵的微积分、广义逆矩阵。各章有引言、知识网络图、理论部分和例题、应用实例、习题，书后附有相关MATLAB函数、习题参考答案。本书可作为理工科院校高年级本科生或硕士研究生的矩阵论及其应用等课程的教材，也可供相关工程技术人员参考。本书配有学习指导书，可辅助教师教学或学生自学。

郭东亮，中山大学电子与通信工程学院高级实验师，获南昌大学应用数学专业理学硕士学位、东南大学信号与信息处理专业工学博士学位，矩阵分析课程负责人，教材作者。