【现货速发】超简单的微积分

之前，我曾经在推特上发帖说“人们通过微分描述世界、通过积分解读世界”，没想到这竟然在理工科专业的大学生和教授之间引发了强烈的反响。

世界是由微分和积分构成的。因此，从某种意义上讲，学习微积分就意味着主动去了解我们生活的世界。

即使在高等数学的课程中，微积分也占据着重要的地位，是一个充满数学魅力和乐趣的部分。

然而，令人遗憾的是，微积分的理论性非常强，因此也是最容易挫伤学生学习数学积极性的部分之一。

我曾经上过许多关于微积分的课程，也读过一些以微积分为主题的书籍。

在学习和读书过程中，我一直在思考一个问题：自己是否能够通过更简单、更有趣的形式学懂、弄通微积分呢？

后来，我在YouTube（优兔）上开设了一个频道――“预科学校必学的‘大学数学和物理’”，专门发布面向理工科大学生和高考生的数学、物理相关知识的授课视频。截至2019年4月，我已经发布了超过200个动画视频。在开设频道的一年半时间内，登录的访客人数突破了13万。令人倍感欣慰的是，我的授课视频被多家大学采用，当成教材的参考资料，并且备受好评。

后来，我的视频逐渐吸引了AbemaTV员工的关注。2018年秋，堀江贵文先生向我发出邀请，希望我能与另外三位极具才华的老师一同录制一档名为《龙堀江》的纪实类节目，以数学教师的身份向那些报考东京大学的考生传授经验。

在学习数学的过程中，我也曾经有过灵光闪现的瞬间，突然迸发出数学灵感，领悟到了数学世界与现实世界之间的联系。

在之前的教学生涯中，我也曾经看到过许多同学们开悟的瞬间。作为一名教师，我也真心为他们感到高兴，那种兴奋之情是难以言表的。

在《龙堀江》节目中，我亲自向堀江贵文先生讲了关于微积分的课程，结果得到了他的赞誉。他说：“通过拓巳老师清晰、形象的讲解，我终于搞懂了大学时代怎么也学不好的微积分！”之后，堀江贵文先生似乎找到了学习数学的感觉，无论走到哪里都爱讲一些关于数学的话题（听起来有些夸张，但事实就是如此）。

我在YouTube上授课时，对简明扼要的重要性有了深刻的理解，因此我将每个视频的时长都控制在10分钟左右。

当然，这并不意味着我只用短时间就能讲完大学教授的微积分课程。但是，如果能够精心选择授课主题，最大限度地发挥学生的主观能动性，在最短的时间内抓住并阐明本质，大家就可以只用短短的一小时弄明白微积分的基本原理。实际上，本书就是面向不擅长数学的成年人的“一小时微积分”课程的教材。

我想在读完本书后，广大读者肯定会有一种“之前从没有听过类似课程”的感觉。

如果本书能够激发读者的数学灵感，将大家带入数学的神圣殿堂，就是对我最大的肯定与褒奖！

从数学的角度来看，世界是由微分和积分构成的。因此，学习微积分就是我们主动了解我们生活的世界的一种方式。微积分在数学中占据着重要的地位，是一个充满数学魅力和乐趣的领域。

然而，微积分的理论性非常强，学习难度大，是最容易挫伤学生学习数学积极性的部分之一。为了最大限度地发挥学生的主观能动性，在最短的时间内抓住并阐明本质，本书以师生对话的方式，配以简单的图片，用浅显易懂的文字说明了微积分的基本原理。

本书共包括四个部分，分别是：课前准备、60分钟揭开微积分神秘面纱的四大步骤、所谓“微分”是指什么？、所谓“积分”是指什么？。

本书通过日常生活中的常见事例说明了微积分的基本原理、公式推导过程及实际应用意义。本书讲解循序渐进，生动亲切，没有烦琐复杂的计算过程，是一本写给不擅长数学的成年人的学习微积分基础知识的参考书。

拓巳，优兔（YouTuber）教育类视频主讲人，硕士，毕业于东京大学，本科和硕士专业均为物理学相关专业。

在攻读博士学位期间，他辞去了工作6年的预科学校讲师职务，创设优兔科普频道“预科学校必学的‘大学数学和物理’”，通过网络视频讲授数学和物理知识。

许多日本的大学都将他的授课视频定为教辅材料，推荐给学生学习参考。

2023年，他因为“通过网络视频促进人们对科学的理解”而获得日本“科学技术领域文部科学大臣表彰”中的“科学技术奖（促进理解部门）”。

第一部分 课前准备

课前准备1 实际上，小学生也能学会微积分？！

课前准备2 学习数学90%要靠“想象”

课前准备3 经常在生活中遇见的微积分

课前准备4 学会了微积分，就了解了整个世界的运动规律 ①

课前准备5 学会了微积分，就了解了整个世界的运动规律 ②

课前准备6 数学备受管理者青睐的理由

第二部分 一小时揭开微积分神秘面纱的四个阶段

第1课 通过四个阶段学习微积分

第2课 新接触的符号只有2个

第3课 所谓“函数”是指什么？

第4课 尝试使用“转换装置”进行计算

第5课 所谓“图”是指什么？

第6课 让我们一起试着实际画图

第7课 让我们试着画抛物线的图形

第8课 所谓“斜率”是指什么？

第9课 所谓“面积”是指什么？

第10课 “非匀速”状态，才是微积分表演的真正舞台

第三部分 所谓“微分”是指什么？

第1课 微分的本质就是观察事物的细微变化

第2课 尝试用符号表示“平均速度”

第3课 通过“切线”理解“瞬时速度”

微分的练习题（①—③）

第4课 微分在现实世界中是如何应用的？

第四部分 所谓“积分”是指什么？

第1课 在非匀速状态下，积分会发挥显著作用

第2课 试着在求解对象的图形中绘制长方形

第3课 认真思考长方形的间隙问题

第4课 长方形面积的计算方法

第5课 曲线部分面积的计算方法

第6课 积分的起源是这样的

积分的练习题（①—③）

第7课 微分和积分也暗藏在小学学习的数学知识中

结语

从数学的角度来看，世界是由微分和积分构成的。因此，学习微积分就是我们主动了解我们生活的世界的一种方式。微积分在数学中占据着重要的地位，是一个充满数学魅力和乐趣的领域。

然而，微积分的理论性非常强，学习难度大，是最容易挫伤学生学习数学积极性的部分之一。为了最大限度地发挥学生的主观能动性，在最短的时间内抓住并阐明本质，本书以师生对话的方式，配以简单的图片，用浅显易懂的文字说明了微积分的基本原理。

本书共包括四个部分，分别是：课前准备、60分钟揭开微积分神秘面纱的四大步骤、所谓“微分”是指什么？、所谓“积分”是指什么？。

本书通过日常生活中的常见事例说明了微积分的基本原理、公式推导过程及实际应用意义。本书讲解循序渐进，生动亲切，没有烦琐复杂的计算过程，是一本写给不擅长数学的成年人的学习微积分基础知识的参考书。

拓巳，优兔（YouTuber）教育类视频主讲人，硕士，毕业于东京大学，本科和硕士专业均为物理学相关专业。

在攻读博士学位期间，他辞去了工作6年的预科学校讲师职务，创设优兔科普频道“预科学校必学的‘大学数学和物理’”，通过网络视频讲授数学和物理知识。

许多日本的大学都将他的授课视频定为教辅材料，推荐给学生学习参考。

2023年，他因为“通过网络视频促进人们对科学的理解”而获得日本“科学技术领域文部科学大臣表彰”中的“科学技术奖（促进理解部门）”。

第3课  所谓“函数”是指什么？

所谓“函数”是指什么？

拓巳：在上文中，我们用直观形象的语言来描述微积分的作用：微分的作用是运用显微镜观察灰尘之类肉眼很难发现的微小事物，积分的作用是将灰尘之类的微小物体累积起来直至肉眼可见为止。

实际上，这种表达方式还不够精确，更为严谨的说法应该是：

• 微分是指“发现杂乱细微的变化”；
• 积分是指“累积杂乱细微的变化”。

惠理：怎么又出现了“变化”这个新名词？

拓巳：你听得很认真，确实如此！发现变化、累积变化，我们才能更好地了解微积分的本质。请你一定要牢记这一点。下面，我们就从学习微积分的第一个阶段“学习函数”说起。

惠理：那就拜托您了，我洗耳恭听！

拓巳：简单来说，所谓“函数”，就是“魔法师的魔法箱”，相当于一种转换装置。

惠理：魔法箱？！

拓巳：别急，下面我会详细介绍。假设在你的面前有一个魔法箱。如果箱子上工工整整地写着一个“f”，这很可能会激起人们的好奇心。这个有着“f”记号的箱子是个魔法箱，它有一个非常有意思的功能，那就是将数字放进去后，输出的结果是其他数字。例如：输入1后，输出的结果是3；输入3后，输出的结果是7；输入﹣2后，输出的结果是﹣3。那么，这个神秘的箱子中，到底蕴含着什么规律呢？

惠理：如果输入1，输出的结果是3；如果输入3，输出的结果是7，那么我可以假设“f”的功能是将输入的数字加2，照这样推算，最开始输入的1＋2＝3，我明白了！接着，3＋2＝5……不对！结果不是7啊……这是怎么回事啊？难道规律不是输入值加2？真是急死人了，我怎么也搞不懂啊。（哭）

拓巳：你还真是容易灰心啊！不用担心，针对惠理这样的情况，我有一个独门武器，那就是所谓的转换装置――函数。你觉得我为什么会特意将中间的箱子称为“f”呢？

惠理：我猜一下，拓巳老师之前的女朋友叫“文乃”，您该不会是为了纪念她而用她名字的首字母给箱子命名吧？

表示“输入”和“输出”的关系

拓巳：没有那层意思，是你想多了！（哈哈）我之所以将中间的箱子称为“f”是因为在数学中，“f”代表的就是函数（function）。我们将“输入值”和“输出值”之间存在的某种对应关系称为函数。也就是说，函数具有“转换装置”的功能，微分就是用来研究这种转换装置究竟具有什么特征的。

惠理：确实如此！您这么一说，还真是那么回事。

拓巳：在了解了函数的真正含义后，我们再来思考一下开头时提出的问题。如果在“f”的箱子中放入1，得出的结果是3；如果放入3，得出的结果是7。那么，这里面究竟蕴含着什么规律呢？如果将放入“f”中的数字看成是输入值，将经过“f”得出的数字看成是输出值，则正确的答案是“输入值＝输出值的2倍＋1”。

惠理：噢……我已经跟不上您的思维了，脑子里乱得很（哭）。

拓巳：实际上，你可以将输入值乘以2，然后再加1试试。我们以1为例，你看得出的结果是什么。

惠理：好的。1×2＋1＝3，对吗？

拓巳：答对了。下面，你再拿3作为例子，计算一下看看。

惠理：3×2＋1，结果是7 ！

拓巳：你看，这不是很简单吗？你已经完全理解了。如果用数学公式的方式来表示这个规律，就是下面这个公式。

输出值 ＝2× 输入值 ＋1

幸得拓巳老师不吝赐教，我才有了深入了解微积分的机会，并从中领悟到学习数学的无限乐趣！！

——崛江贵文