【现货速发】从一到无穷大

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通过《从一到无穷大》，我们会发现：

数学工具用来解决物理难题，

物理结论能够分析化学反应，

化学分析可以解答生物疑问，

科学就是这样你中有我，我中有你！      

作者

大科学家简历

乔治·伽莫夫

国籍：美国

生卒时间：1904—1968

职业：物理学家，生物学家，科普作家

贡献： 大爆炸理论推动者，提出生物密码理论，创作多种科普经典，享誉世界，《从一到无穷大》为其代表作。

座右铭：我喜欢用清晰而简单的方法去看待事物，在试图为自己简化事物的过程中，我学会了如何为他人做同样的事情。

数学游戏

传说印度的舍罕王打算重赏象棋的发明和进贡者——宰相西萨·本·达希尔。这位聪明的大臣提出了一个看起来十分谦逊的要求。“陛下，”他跪在国王身前说道，“请在棋盘的个格子里放一粒麦子，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒。每个格子里的麦子数量是前一个格子的两倍，这样填满整张棋盘的64个格子。噢，我的王，这就是我要的奖赏。”

“哦，我忠诚的仆人，你要的的确不多。”国王暗自得意。象棋太神奇了！为了奖励这个游戏的发明者，他做出了慷慨的姿态，后却所费不多，真是皆大欢喜。于是他说:“你的要求当然会得到满足。”然后他命令卫士送来了一袋麦子。

不过等到他们真正开始数的时候——格内放一粒麦子，第二格内放两粒，第三格内放四粒，以此类推——还没填满二十个格子，袋子就空了。卫士们送来了一袋又一袋麦子，但每个格子需要的麦粒数量增长得太快，没过多久国王就明白过来：全印度的庄稼加起来都不够发放他许给西萨·本·达希尔的奖赏。要填满64个格子，他们一共需要18 446 744 073 709 551 615粒麦子，约等于全世界2000年的小麦总产量！

大数

你想写多大的数就能写多大，对今天的我们来说，这样的想法早已深入人心——哪怕你想以分为单位记录战争支出，或者以英寸为单位测量恒星间的距离，也只需要在数字的右侧加无数个零而已。你可以写零一直写到手酸，不经意间你就能得到一个比宇宙中原子总数量还大的数字——顺便说一下，这个数是300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

或者你可以把它简写成3×10⁷⁴。

小小的数字“74”位于“10”的右上角，它代表的是“3”后面有多少个0，换句话说，这个数等于3乘以10的74次方。但古人不懂这套“简易记数法”。事实上，科学记数法诞生还不到2000 年，它的创造者是一位佚名的印度数学家。对古人来说，那些特别大的数字都是“不可数”的，只能简单地概括成“很多”！

公元前3世纪，著名科学家阿基米德提出过一种描述极大数字的方法。他在《数沙者》一书中写道：

“有人认为沙子的数量多得数不清；我说的不仅仅是锡拉丘兹或者整个西西里岛的沙子，而是地球上有人或无人居住的所有地方的所有沙子。另一些人并不这样认为，但他们觉得我们想不出一个足够大的数字来描述地球上的沙子数量。这些人显然也同样觉得，如果有一个和地球一样大的沙堆，而且地面上所有的海洋和盆地都已被沙子填满堆高，一直堆到和的山峰齐平，那么我们更不可能想出办法来描述这个沙堆中所有沙子的数量。但现在我想说的是，我的方法不仅能描述地球上所有沙子的数量，或者刚才那个大沙堆中的沙子数量——哪怕有个宇宙那么大的沙堆，我们也能准确描述它拥有多少沙子。”

阿基米德在这本著作中介绍的描述极大数字的方法和我们今天的科学记数法十分相似。他先是采用了古埃及算术中的数字“万”，然后引入了一个新数“万万”（亿）作为二级单位，以此类推，“亿亿”是三级单位，“亿亿亿”是四级单位……

今天的我们或许觉得这样的记数法过于琐碎，描述一个数可能要花费好几页的篇幅，但在阿基米德那个时代，这种描述大数字的方法的确是个大发现，也是古人探索数学的重要一步。

无穷大有多大

上一节中我们讨论了数字，其中很多数字相当大。尽管这些数字界的巨无霸（例如西萨·本·达希尔要求的麦粒数量）大得超乎想象，但它们依然是有限的，只要有足够的时间，你总能将它数到后一位。

但世界上还有一些真正“无穷大”的数字，无论你花多少时间都写不完。比如说，“所有数字的数量”显然无穷大，同样的还有“一条线上所有几何点的数量”。除了“无穷大”以外，你还能用什么办法来描述这样的数字？或者说，我们能不能比较两个不同的“无穷数”，看看它们谁“更大”？

“所有数字的数量和一条线上所有几何点的数量，这两个数到底哪个大？”我们能这样问吗？著名数学家格奥尔格·康托尔头一次认真审视了这些被视作异想天开的问题，他是当之无愧的“无穷数学”奠基者。

要比较“无穷数”的大小，我们首先会遇到一个问题：这些数字我们既无法描述，也无法数清。康托尔提出：我们可以对两组无穷数进行配对，每个集合里的一个元素分别对应另一个集合里的一个元素，如果后它们正好一一对应，任何一个集合都没有多余的元素，那么这两个数的大小相等；但是，如果两组无穷数无法一一对应，某个集合中存在无法配对的剩余元素，那么我们可以说，这个集合的无穷数更大，或者更强。

这显然是合理的办法，事实上，要比较无穷大的数字，我们也只有这个办法；但是，如果你真的打算采用这种办法，那你得做好大吃一惊的准备。比如说，奇数的数量和偶数的数量都是无穷大，我们先来比较一下这两个无穷数。当然，出于直觉，你肯定认为这两个数相等，它们也完全符合我们刚才描述的规律，奇数和偶数可以列成一对一的组合。

在这张表格中，每个偶数都有一个对应的奇数，反之亦然；因此，奇数的数量和偶数的数量是两个相等的无穷数。看起来真的非常简单自然！

不过，请稍等一下。下面两个数你觉得哪个更大：所有数字的数量（包括奇数和偶数）和偶数的数量？你当然会说，肯定是所有数字的数量更大，因为除了偶数以外，它还包含了奇数。不过这只是你的直觉，要找到准确答案，你得严格按照我们上面描述的方法来比较这两个无穷数。这样一来，你会惊讶地发现，你的直觉错了。事实上，所有数字的集合和只有偶数的集合也能做成一张一一对应的表格。

根据无穷数的比较规则，我们只能说，偶数的数量和所有数的数量是两个相等的无穷数。这听起来当然很矛盾，因为偶数只是所有数字的一部分，但我们必须记住，这里讨论的是无穷数，所以我们只能做好准备，直面它们的古怪特性。

事实上，在无穷数的世界里，部分可能等于整体！