高等数学 上册

本套书根据高等学校大学数学课程教学指导委员会公布的*大学数学课程教学的基本要求进行编写，力争体现新工科理念与国际化的深度整合．全套书在编写过程中充分吸取和借鉴国内外优秀教材的精华，针对当前学生的知识结构和习惯特点，结合南京邮电大学高等数学教学中心和南京邮电大学通达学院数学教研室多年的科研与教学经验，在配有课程思政内容的同时对教材的深度和广度进行了精心的安排．全套书分为上、下两册．本书是上册，为一元函数微积分部分，共6章，内容包括函数、极限与连续，导数与微分，微分中值定理与导数的应用，不定积分，定积分及其应用和常微分方程．每节后配有习题，每章后配有本章小结和总习题，书末附有习题答案与提示．

本书可作为高等院校理工科类各专业学生的教材，也可作为报考硕士研究生的人员和科研工作者学习高等数学知识的参考用书．

张颖 南京邮电大学通达学院大学数学基础课程教学团队主任。 张颖主任所带领的团队近年来师资队伍建设不断加强，教学效果和质量显著提升，多名教师多次在*、省级和校级各类授课比赛中荣获大奖，指导的学生在全国大学生数学建模比赛、全国大学生数学竞赛、江苏省高等学校高等数学竞赛中多次获奖，团队整体的教学水平十分突出。

第 1章函数、极限与连续1

1.1函数1

1.1.1预备知识1

1.1.2映射4

1.1.3函数5

1.1.4初等函数9

1.1.5*双曲函数与反双曲函数14

习题1.115

1.2数列的极限16

1.2.1引例（割圆术）16

1.2.2数列的概念16

1.2.3数列极限的概念17

1.2.4收敛数列的性质19

1.2.5子数列的概念20

习题1.221

1.3函数的极限21

1.3.1函数极限的概念22

1.3.2函数极限的性质25

1.3.3函数极限与数列极限的关系26

习题1.326

1.4无穷小与无穷大27

1.4.1无穷小27

1.4.2无穷大29

习题1.430

1.5极限运算法则31

1.5.1极限的四则运算法则31

1.5.2复合函数的极限运算法则34

习题1.535

1.6极限存在准则两个重要极限

36

1.6.1准则Ⅰ夹逼准则36

1.6.2准则Ⅱ单调有界收敛准则39

习题1.641

1.7无穷小的比较42

习题1.745

1.8函数的连续性与间断点45

1.8.1函数的连续性46

1.8.2初等函数的连续性48

1.8.3函数的间断点及其分类51

习题1.853

1.9闭区间上连续函数的性质54

习题1.956

本章小结56

总习题158

第　2章导数与微分60

2.1导数的定义60

2.1.1引例60

2.1.2导数的定义61

2.1.3求导举例62

2.1.4导数的几何意义64

2.1.5函数的可导性与连续性的关系

66

习题2.166

2.2求导法则67

2.2.1函数的和、差、积、商求导法则

67

2.2.2反函数的求导法则69

2.2.3复合函数的求导法则70

2.2.4基本求导法则与导数公式72

习题2.273

2.3高阶导数74

习题2.377

2.4隐函数及由参数方程所确定的

函数的导数相关变化率78

2.4.1隐函数的导数78

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数

80

2.4.3相关变化率82

习题2.483

2.5函数的微分84

2.5.1微分的概念84

2.5.2微分的运算法则及基本公式87

习题2.588

本章小结89

总习题290

第3章微分中值定理与导数的应用92

3.1微分中值定理92

3.1.1费马（Fermat）定理92

3.1.2罗尔（Rolle）定理93

3.1.3拉格朗日（Lagrange）定理94

3.1.4柯西（Cauchy）定理95

习题3.196

3.2洛必达法则97

3.2.100型极限97

3.2.2∞∞型极限100

3.2.30·∞,∞-∞,00,∞0,1∞型极限

100

习题3.2102

3.3泰勒公式102

3.3.1泰勒（Taylor）多项式103

3.3.2泰勒（Taylor）定理104

3.3.3常用初等函数的麦克劳林公式

105

习题3.3108

3.4函数的单调性和极值108

3.4.1函数单调性的判定方法108

3.4.2函数的极值110

3.4.3函数的*值113

习题3.4115

3.5函数图形的描绘116

3.5.1曲线的凹凸性与拐点116

3.5.2曲线的渐近线118

3.5.3函数的作图119

习题3.5121

3.6平面曲线的曲率122

3.6.1弧微分122

3.6.2曲率及其计算公式123

3.6.3曲率圆和曲率半径124

习题3.6125

本章小结125

总习题3126

第4章不定积分128

4.1不定积分的概念与性质128

4.1.1原函数的概念128

4.1.2不定积分的概念129

4.1.3基本积分公式130

4.1.4不定积分的性质131

习题4.1133

4.2换元积分法133

4.2.1第　一类换元法（凑微分法）133

4.2.2第二类换元法137

习题4.2141

4.3分部积分法141

习题4.3144

4.4有理函数和可化为有理函数

的积分145

4.4.1有理函数的积分145

4.4.2可化为有理函数的积分147

习题4.4150

本章小结151

总习题4152

第5章定积分及其应用154

5.1定积分的概念与性质154

5.1.1两个实际问题154

5.1.2定积分的概念156

5.1.3定积分的几何意义158

5.1.4定积分的性质159

习题5.1162

5.2微积分基本定理163

5.2.1变速直线运动中位置函数与速度

函数之间的联系163

5.2.2积分上限函数及其导数163

5.2.3微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹

公式）166

习题5.2166

5.3定积分的换元法与分部积分法

168

5.3.1定积分的换元积分法168

5.3.2定积分的分部积分法172

习题5.3174

5.4反常积分175

5.4.1无穷区间上的反常积分175

5.4.2无界函数的反常积分177

习题5.4179

5.5定积分的几何应用180

5.5.1定积分的元素法180

5.5.2平面图形的面积181

5.5.3立体的体积185

5.5.4平面曲线的弧长187

习题5.5188

5.6定积分的物理应用189

5.6.1变力沿直线做功189

5.6.2液体对薄板的侧压力190

5.6.3引力191

习题5.6192

本章小结192

总习题5195

第6章常微分方程197

6.1微分方程的基本概念197

6.1.1引例197

6.1.2微分方程的概念198

6.1.3微分方程的解198

习题6.1200

6.2一阶微分方程200

6.2.1可分离变量的微分方程201

6.2.2一阶线性微分方程203

6.2.3几类可降阶的高阶微分方程

207

习题6.2210

6.3高阶线性微分方程211

6.3.1高阶线性微分方程解的结构

211

6.3.2常系数线性微分方程214

6.3.3*欧拉（Euler）方程222

习题6.3224

6.4*微分方程的应用225

习题6.4231

本章小结231

总习题6234

习题答案与提示236

参考文献25