向量与立体几何

数学竞赛活动的开展，其目的是激发青少年学习数学的兴趣，发现和培养具有数学天赋的学生，因材施教。数学竞赛是中小学生的课外活动，也是一种特殊的素质教育——思维训练。
数学竞赛，可以让学生养成独立思考问题的习惯、建立对数学知识的看法及求知能力、初步具有创新意识。一个人对某个专业领域的兴趣与创新意识应该从青少年时代就开始培养。
在近20年的菲尔兹奖(Fields Medal)获得者中，有一半以上是IMO的优胜者。
我国的数学竞赛选手中已经涌现出许多优秀的青年数学人才，如获得著名的拉马努金奖(Ramanujan Prize)的张伟、恽之玮、许展阳、刘一峰等，并且有不少学者在国内外知名高校或科研机构从事数学研究工作，如：朱歆文、刘若川、何宏宇、何斯迈、袁新意、肖梁、张瑞祥等。2008年、2009年IMO的满分金牌获得者韦东奕，在研究生一二年级时就做出了很好的成果。无论从整体还是从个别、从国外还是从国内来看，数学竞赛对数学与科学英才的教育都有非常重要的价值。
“数学奥林匹克命题人讲座”丛书自2009年起陆续出版，受到了广大数学竞赛爱好者以及数学竞赛教练员的欢迎和好评。
近十年来，在各级各类数学竞赛中又有不少好题与精妙的解法，为了与广大数学爱好者分享这些妙题与巧解，在版的基础上，我们组织了版的原作者和一些新作者编写了“数学奥林匹克命题人讲座(升级版)”。
“数学奥林匹克命题人讲座(升级版)”包括《集合与对应》(单博)《数列与数学归纳法》(单博)、《函数迭代与函数方程》(王伟叶、熊斌)、《初等数论》(冯志刚)、《组合问题》(刘培杰、张永芹、杜莹雪)、《平面几何(圆)》(田廷彦)、《组合几何》(田廷彦)、《三角函数与复数》(杨德胜)、《向量与立体几何》(唐立华)、《图论》(任韩)、《不等式的证明》(熊斌、罗振华)、《平面几何(直线型)》(金磊)。其中《不等式的证明》和《平面几何(直线型)》为新增加的两本。
本丛书中既有传统的具有典型性的数学问题，也有选自近年高校自主招生、全国高中数学联赛、中国数学奥林匹克、中国西部数学邀请赛、中国女子数学奥林匹克、国际数学奥林匹克以及国外数学竞赛中的好题，还有一些是作者自编的问题。
感谢上海科技教育出版社和本丛书责任编辑卢源先生的精心策划与组织。
感谢各位读者自版出版以来提出了不少好的建议，希望大家继续对升级版提出建议和批评，使本丛书不断完善。
熊 斌
2021年1月

本书是“数学奥林匹克命题人讲座”（升级版）中的一本，主要讲述向量与立体几何的内容。各章节从高考难题、全国联赛一试试题的难度入手，充分考虑了参加数学竞赛的高中学生的实际需要。
升级版书稿保留了版中具有典型性的问题，在此基础上删减了部分老题目，并将近年来的高校自招、全国联赛、冬令营、IMO、中国女子数学奥林匹克、中国西部数学邀请赛及国外的数学竞赛中的新题好题充实进来，既有一定的新鲜度，又充分考虑到合理性。

唐立华，湖南省特级教师，上海市特级教师，中国数学奥林匹克高级教练，现任教于华东师范大学第二附属中学。长期从事中学数学教学和竞赛培训工作，所指导的学生中已有3人获国际数学奥林匹克金牌，10余人次入选国家集训队，30余人次入选中国数学奥林匹克并获奖，100余人次获全国高中数学联赛一等奖。曾多次作为主试委员会成员，参加了中国西部数学奥林匹克和东南数学奥林匹克的命题工作。在国内外数学期刊上发表论文60多篇，其中6篇被《美国数学评论》摘评，2篇上SCI，主编和参编了多本（套）数学竞赛教程。曾获“中国科协学科国际奥林匹克突出贡献奖”、“全国第五届苏步青数学教育一等奖”等多项表彰和奖励。

命题人写书，富于原创性，且因为充分了解问题的背景，写来能够深入浅出，“百炼钢化为绕指柔”。

讲 空间距离与空间角/001
1.1 空间角的问题/001
1.2 空间距离问题/016
1.3 多面角及应用/030
第二讲 几何体的面积与体积/040
2.1 面积与体积问题/040
2.2 截面与射影问题/053
2.3 翻折与展开问题/073
第三讲 空间向量及其应用/085
3.1 空间向量及数量积/085
3.2 向量的向量积及混合积/103
3.3 向量方法的应用/119
第四讲 四面体与球/137
4.1 四面体的基本性质/137
4.2特殊四面体及其性质/157
4.3 球的相关问题/175
4.4空间不等式及其他问题/199
参考答案及提示/225

本套丛书不同于一般的堆砌大量难题的数学奥林匹克教材，而是力求做到既深入浅出，又具备很大的实用性，完整地体现各专题的思想方法，探索解题的一般规律，并注重对学生兴趣和能力的培养。