线性代数

线性代数作为一门数学基础课程，其地位已经上升到与微积分同等重要的程度。它不仅能够培养学生的计算和抽象思维能力，也是科学研究和处理工程技术领域问题的有力工具。
本书针对线性代数课程的特点，结合编者从事线性代数教学的经验和体会，并参考国内外优秀教材编写而成。线性代数主要研究有限线性空间的结构和线性空间上的线性变换，具有内容抽象、逻辑性强等特点。本书注重理论基础，旨在阐明抽象理论背后的应用背景，重在培养学生能力，提升学生对数学学习的兴趣。本书从求解线性方程组出发，比较自然地引出矩阵、初等变换和矩阵的秩等概念，并以线性方程组为主线，以矩阵为主要工具，阐明线性代数的基本概念、基本理论和基本方法。本书通过大量的应用实例，将线性代数的理论知识与现代科学技术及生产、生活实践紧密联系起来，使学生在学习线性代数基本知识的同时，了解所学的理论知识是如何在实践中应用的。本书将线性代数与 MATLAB软件紧密结合，每一章的结尾都包含大量的计算机操作练习，这些练习不但有助于学生理解线性代数的基本知识，还能够增强学生的动手能力和解决实际问题的能力。
由于编者水平有限，书中不足之处在所难免，敬请读者批评指正。
编者 
2021年 12月

线性代数主要研究有限维线性空间的结构和线性空间上的线性变换，具有内容抽象、逻辑性强等特点。该教材注重理论基础的同时结合实际问题及Matlab软件阐明抽象理论背后的应用背景及数学直观，重在培养学生的理论基础和实际应用能力，提升学生对数学学习的兴趣。主要内容包括：线性方程组和矩阵、行列式、向量组及矩阵的秩、向量空间、特征值与相似矩阵、二次型、线性空间与线性变换等。

周生彬，博士，讲师，硕士生导师。本科和硕士毕业于延边大学理学院，数学系，博士毕业于中国人民大学统计学院，长期从事数学和统计学的教学，教学经验丰富。在国内外数学和统计学期刊上，如Electronic Journal of Statistics，Communications in Statistics - Theory and Methods，统计与决策等，发表过多篇学术论文。

第 1章线性方程组和矩阵 1 

1.1线性方程组 .1 

1.2矩阵的定义 .9 

1.3矩阵的运算 . 11 

1.3.1矩阵的加法 . 11 

1.3.2矩阵的数乘 . 12 

1.3.3矩阵的乘法 . 12 

1.4矩阵的转置 . 16 

1.5矩阵的逆 18 

1.6初等矩阵 19 

1.7分块矩阵 23 

1.8应用举例 29 

1.9 MATLAB练习 . 33 

1.10习题 . 36

第 2章行列式 44 

2.1矩阵的行列式 . 44 

2.2行列式的性质 . 50 

2.3 n阶行列式的计算 . 54 

2.4逆矩阵的性质 . 60 

2.5克拉默法则 . 64 

2.6应用举例 66 

2.7 MATLAB练习 . 67 

2.8习题 . 68

第 3章向量组及矩阵的秩 73 

3.1向量组及其线性组合 . 73 

3.2向量组的线性相关性 . 76 

3.3向量组的秩 . 80 

3.4矩阵的秩及求法 82 

3.5线性方程组解的结构 . 88 

3.5.1齐次线性方程组解的结构 . 88 

3.5.2非齐次线性方程组解的结构 91 

3.6应用举例 96 

3.7 MATLAB练习 . 97 

3.8习题 . 99

第 4章向量空间 . 103 

4.1向量空间的概念 103 

4.2向量空间的基与维数 . 104 

4.3基变换与坐标变换 . 107 

4.4向量的内积与正交性 . 110 

4.4.1向量的内积 . 110 

4.4.2标准正交基 . 113 

4.4.3施密特正交化方法 . 114 

4.5应用举例 117 

4.6 MATLAB练习 . 120 

4.7习题 . 121

第 5章特征值与相似矩阵 123 

5.1特征值与特征向量 . 123 

5.2相似矩阵 130 

5.3实对称矩阵的对角化 . 135 

5.4应用举例 138 

5.5 MATLAB练习 . 146 

5.6习题 . 150

第 6章二次型 153 

6.1二次型及其矩阵表示 . 153 

6.2用配方法化二次型为标准型 . 160 

6.3惯性定理 162 

6.4正定二次型和正定矩阵 165 

6.5应用举例 171 

6.6 MATLAB练习 . 173 

6.7习题 . 174

第 7章线性空间与线性变换 177 

7.1线性空间的定义与性质 177 

7.1.1线性空间的定义 177 

7.1.2线性空间的性质 180 

7.1.3线性子空间 . 181 

7.2基、维数与坐标 . 182 

7.3基变换与坐标变换 . 184 

7.4线性变换 186 

7.5线性变换的矩阵表示 . 192 

7.6应用举例 199 

7.7 MATLAB练习 . 201 

7.8习题 . 202

参考文献 . 208 

本书具有以下特色：（1）从基本的线性方程组的求解出发，引出矩阵和初等变换等概念，初学者容易接受。（2）以线性方程组为主线，以矩阵和行列式为工具，阐明线性代数的基本概念、基本理论和方法。（3）注重理论联系实际，给出大量应用实例，让读者在学习线性代数的基本知识的同时，了解这些基本知识在实践中是如何应用的，从而大大提高学习兴趣。（4）紧密结合数学工具软件Matlab，每章都配备一定数量的Matlab练习，为读者进一步理解线性代数的基本内容，把握线性代数的实质提供帮助。