近世代数

代数学是数学中*重要的、基础的分支之一．代数学的历史悠久，它随着数学本身的发展和应用、科学技术的进步
 和需要而产生和发展．在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化，并在初等代数学的基础上产生和发展了近世代数学，即抽象代数学．它是一种带有运算的集合，即以代数系统为研究对象的一门学科．这样，从一般的集合出发，研究各种运算的性质，就具有非常重要的意义，因为它的结论和方法不仅可以渗透到数学的各个领域，而且在其他学科，例如在化学、物理、编码和计算机等理论中都有重要应用．
 同构、群、环和域等基本概念对于大多数大学生来说都是新的，因此在概念的引入和定理的证明上，本书尽量采用通俗的语言和形象化的方法来表达，并辅以生动的例子，抽出若干*常用的代数系统，如整数加群、对称群Sn、GLn、整数环、多项式环、有理数（实数、复数）域等，将代数语言以它们为背景展示出来，并不计较多次返回同样的议题或者同一个例子，同时顾及从高中到大学的过渡，让基本的代数结构自然地产生．
 本书是作者在长期的近世代数教学实践的基础上，参考国内外大量相关教材、专著、文献编写而成的.全书共五章，第1章介绍基本概念，是全书的基础；第2章和第3章介绍群、环、域理论，包括子系统、商系统和同态同构等，同时介绍了具体的群、环和域，是本书的核心内容；第4章介绍整环里的因式分解论，并由此介绍了两个特殊的环类——主理想整环和欧式环；第5章主要介绍了扩域，特别是有限扩域和有限域．同时，为了提高学生的解题能力，加强实训练习，每章后配有一定数量的习题供学生练习．
 本书可作为师范院校和综合大学数学专业学生的教材和参考书，亦可作为其他数学爱好者和工程技术人员的参考书．在采用本书作为教材时，教师可根据实际情况作适当的取舍．
 本书由成都师范学院郭茜、吴桂康主编.具体分工如下： 郭茜编写*章至第三章；吴桂康编写第四章和第五章；全书由郭茜负责统稿.
 本书的编写得到了成都师范学院
 数学学院的支持和帮助，
 参加教材审查会的同志们对本书亦提出了不少宝贵意见，
 在此我们一并表示衷心感谢！

 限于编者水平，书中错漏难免，我们希望大家在使用的同时不断提出意见，以便今后写出高质量的教材．

 编者

 2018．09

第1章基本概念/ 1
 §1集合/ 1
 §2整数的整除/ 3
 §3映射/ 5
 §4二元运算/ 9
 §5运算律/ 11
 §6同态与同构/ 15
 §7等价关系与集合的分类/ 20

 第2章群论/ 26
 §1群的定义/ 26
 §2单位元、逆元、消去律/ 29
 §3群的同态/ 32
 §4变换群/ 35
 §5置换群/ 38
 §6循环群/ 44
 §7子群/ 48
 §8子群的陪集/ 52
 §9不变子群、商群/ 57
 §10同态与不变子群/ 62

 第3章环与域/ 72
 §1环的定义/ 72
 §2交换律、单位元、零因子、整环/ 75
 §3除环、域/ 79
 §4无零因子环的特征/ 82
 §5子环、环的同态/ 84
 §6多项式环/ 88
 §7理想/ 94
 §8剩余类环/ 97
 §9*理想/ 101
 §10商域/ 102

 第4章整环里的因子分解/ 113
 §1素元、*分解/ 113
 §2*分解环/ 118
 §3主理想环/ 121
 §4欧氏环/ 124
 §5多项式环的因子分解/ 127
 §6因子分解与多项式的根/ 132

 第5章扩域/ 139
 §1扩域、素域/ 139
 §2单扩域/ 142
 §3代数扩域/ 149
 §4多项式的分裂域/ 153
 §5有限域/ 159

 参考文献/ 167
 符号表/ 168
 名词索引/ 170