新编微积分（上）

微积分既是人类智慧伟大的成就之一, 又是人们在阐明和解决来自自然界各领域问题
的强大智力工具之一. 微积分作为整个数理知识体系的基石, 不仅有着科学而优美的语言, 而
且自诞生以来的三百多年里, 一直成为培养人才的重要且必须掌握的内容. 另一方面, 微积分
是理工科学生学习的重要的一门基础课程, 它不仅是学生进校后面临的*门数学课程,
而且后续许多数学课程是它在本质上的延伸和深化. 而且, 随着我国一流大学、一流学科建
设任务的提出, 特别是2020年1月, 为培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质
优秀或基础学科拔尖的学生, 开始实施“强基计划”, 且不少高校还在理工科专业中设置了
“本硕博贯通培养实验班”, “强基计划”与“本硕博贯通”都要求学生有很强的逻辑思维
能力训练和厚实的数学理论基础；同时，2017年2月以来, 积极推进“新工科”专业
建设, 这些”新工科“专业以培养创新型和复合型人才为主, 需要培养学生的逻辑思维能力、
计算能力、实际应用能力、团结协作能力和创新能力, 这些能力的培养对微积分课程的内容
和形式提出了新的要求, 其根本目标是着力帮助学生为进入新工科领域做好准备. 因此，为
配合“强基计划”、“本硕博贯通”和“新工科”这种创新人才培养模式的课程改革, 真正体
现特色、符合改革精神. 我们结合自身的教学经验, 加大了改革的力度与深度, 提高了“高阶
性、创新性、挑战性”, 希望达到推动课堂教学革命, 打造“金课”, 对微积分这门课程教材
进行了改革与创新, 形成了本教材的编写指导思想：
1. 将有限的时间与精力花在基本的内容、核心的概念和关键的方法上, 对微积
分学基本理论体系与阐述方式进行了再处理: 学习这门课的目的, 是为创新型人才培养进行
知识储备和打下良好的基础, 使学生将主要精力集中在基本的内容、核心的概念和关键的
方法上, 掌握本课程精髓, 做到学深懂透, 内容尽量精简.
2. 精选有一定难度的例题与习题, 强调严格思维训练与分析问题能力: 改革的目的是
使学生达到理解与应用, 精选富于启迪的例题并进行简洁和完美的证明, 不仅有助于学生的
理解, 而且使学生从中学到分析问题的方法; 一定难度的习题选取, 保证了学生训练的质量与
挑战, 做到了少而精.
3. 基于以学生为中心和问题驱动学习, 编选了扩展性的应用事例和探究课题: 为体现
以学生为中心和问题驱动, 提高解决问题能力, 编制了高起点典范性的应用事例和探究课题，
使学生在课后可以独立或者小组研讨进行深究和拓广，达到初步进入科学研究的思维训练
研习目标。
4. 采取学术著作的写作风格, 强调学习基本概念和结论后进行思考与补证: 在本教材
的编写中, 几乎所有的定义和定理后面, 有大量的“注”, 这些“注”有相当多的是很好的结
论或者命题, 学生为了弄清楚, 必须思考并证明, 达到提高学生的数学素养.
5. 部分内容以数字化形式存在于教材中, 引入了二维码: 编写了一些数学家的介绍和
历史资料、部分定理和“注”的证明提示, 以及部分习题的解答思路, 这些资料以数字化形
式存在于教材中, 通过扫二维码能再现内容.
囿于学识, 本书错误和不妥之处在所难免, 敬请广大读者批评指正.
作 者
2020年6月于华中科技大学

本书是大学数学系列创新教材之一，内容主要包括：实数集与函数、极限、连续性、一元微分学、一元积分学、常微分方程与常差分方程.本书风格独特、特点鲜明、内容丰富、例题典型.本书主要是基于一流大学强基计划实验班、新工科专业一年级工科学生实验班或提高班，加强厚实的数学基础，加强数学思想方法和应用数学能力，强化逻辑思维能力的培养而编写的. 本书可作为研究型大学理工科学生一年级*学期的数学课程教材或者教学参考书，同时也可作为研究生入学考试中高等数学科目的复习资料.

刘斌，教授，博士生导师，理学博士，华中科技大学 华中学者 特聘岗，宝钢优秀教师奖获得者，华中科技大学教学名师，华中科技大学数学与统计学院党委书记，高等学校数学基础课程教学分委员会委员，高等学校大学数学课程教学指导委员会委员，中国工业与应用数学学会理事，湖北省工业与应用数学学会副理事长，湖北省数学学会公共数学专业委员会主任，《应用数学》编委

目 录
第 1 章 实数集、函数及其应用 ................................................ (1)
1.1 实数集................................................................ (1)
1.1.1 实数集及其性质 ................................................ (1)
1.1.2 *值与不等式 ................................................ (1)
1.1.3 区间与邻域 ..................................................... (2)
1.1.4 确界原理 ....................................................... (3)
习题 1.1 ............................................................... (4)
1.2 函数................................................................. (5)
1.2.1 函数的概念 ..................................................... (5)
1.2.2 函数的某些特性 ................................................ (9)
习题 1.2 .............................................................. (11)
1.2.3 应用事例与探究课题 ........................................... (13)
第 2 章 极限及其应用 .................................................... (16)
2.1 数列极限及其应用 ..................................................... (16)
2.1.1 数列极限的概念 ............................................... (16)
2.1.2 收敛数列的性质 ............................................... (19)
2.1.3 数列收敛性的判别 ............................................. (22)
习题 2.1 .............................................................. (27)
2.1.4 应用事例与探究课题 ........................................... (29)
2.2 函数极限及其应用 ..................................................... (32)
2.2.1 函数极限的概念 ............................................... (32)
2.2.2 函数极限的性质 ............................................... (35)
2.2.3 函数极限存在的判别 ........................................... (38)
2.2.4 无穷小与无穷大 ............................................... (42)
习题 2.2 .............................................................. (44)
2.2.5 应用事例与探究课题 ........................................... (46)
第 3 章 连续性及其应用 .................................................. (48)
3.1 函数的连续性及其应用................................................. (48)
3.1.1 函数连续的概念 ............................................... (48)
3.1.2 连续函数的基本性质与初等函数的连续性 ...................... (51)
3.1.3 闭区间上连续函数的性质 ...................................... (52)
习题 3.1 .............................................................. (58)
3.1.4 应用事例与探究课题 ........................................... (61)
3.2 实数的连续性及其应用................................................. (63)
3.2.1 闭区间套定理 ................................................. (63)
3.2.2 聚点定理 ...................................................... (64)
3.2.3 有限覆盖定理 ................................................. (66)
习题 3.2 .............................................................. (67)
第 4 章 一元微分学及其应用 ............................................... (68)
4.1 导数及其应用.......................................................... (68)
4.1.1 导数的定义 .................................................... (68)
习题 4.1 .............................................................. (72)
4.1.2 求导法则 ...................................................... (73)
习题 4.2 .............................................................. (77)
4.1.3 隐函数与参数方程所确定的导数 ............................... (79)
习题 4.3............................................................... (81)
4.1.4 高阶导数 ...................................................... (81)
习题 4.4 .............................................................. (83)
4.1.5 应用事例与探究课题 ........................................... (84)
4.2 微分................................................................ (86)
4.2.1 微分的定义 .................................................... (86)
4.2.2 微分的运算法则 ............................................... (88)
4.2.3 高阶微分 ...................................................... (89)
习题 4.5 .............................................................. (90)
4.3 微分学基本定理及其应用 .............................................. (90)
4.3.1 中值定理 ...................................................... (90)
习题 4.6 .............................................................. (95)
4.3.2 待定式极限 .................................................... (96)
习题 4.7 .............................................................. (99)
4.3.3 泰勒公式 ..................................................... (100)
习题 4.8 ............................................................. (104)
4.3.4 函数的单调性与极值 ......................................... (105)
习题 4.9 ............................................................. (108)
4.3.5 函数的凸性与拐点 ........................................... (110)
习题 4.10 ............................................................ (113)
4.3.6 曲线的渐近线与函数的图像 ................................... (113)
习题 4.11 ............................................................ (116)
4.3.7 应用事例与探究课题 ......................................... (116)
第 5 章 一元积分学及其应用 .............................................. (120)
5.1 不定积分及其应用.................................................... (120)
5.1.1 不定积分的概念 .............................................. (120)
习题 5.1 ............................................................. (122)
5.1.2 换元积分法与分部积分法 ..................................... (123)
习题 5.2 ............................................................. (127)
5.1.3 有理函数与可化为有理函数的不定积分 ....................... (128)
习题 5.3 ............................................................. (133)
5.1.4 应用事例与探究课题 ......................................... (134)
5.2 定积分及其应用 ...................................................... (136)
5.2.1 定积分的概念与可积条件 ..................................... (136)
习题 5.4 ............................................................. (142)
5.2.2 定积分的性质 ................................................ (143)
习题 5.5 ............................................................. (147)
5.2.3 微积分学基本定理 ............................................ (148)
习题 5.6 ............................................................. (153)
5.2.4 应用事例与探究课题 ......................................... (155)
5.3 定积分的应用 ........................................................ (157)
5.3.1 微元法 ....................................................... (157)
5.3.2 平面图形的面积 .............................................. (158)
5.3.3 利用平行截面面积求体积 ..................................... (161)
5.3.4 平面曲线的弧长 .............................................. (163)
5.3.5 旋转曲面的面积 .............................................. (165)
习题 5.7 ............................................................. (166)
5.3.6 应用事例与探究课题 ......................................... (167)
5.4 反常积分及其应用.................................................... (168)
5.4.1 无穷积分 ..................................................... (168)
习题 5.8 ............................................................. (172)
5.4.2 瑕积分 ....................................................... (173)
习题 5.9 ............................................................. (178)
5.4.3 应用事例与探究课题 ......................................... (179)
第 6 章 常微分方程、常差分方程及其应用 ................................... (182)
6.1 常微分方程及其应用.................................................. (182)
6.1.1 基本概念 ..................................................... (182)
6.1.2 初等积分法 ................................................... (183)
习题 6.1 ............................................................. (191)
6.1.3 线性微分方程组 .............................................. (193)
习题 6.2 ............................................................. (204)
6.1.4 高阶线性微分方程 ............................................ (205)
习题 6.3 ............................................................. (213)
6.1.5 应用事例与探究课题 ......................................... (