度量空间的拓扑学
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作者杨忠强,杨寒彪 编
出版社科学出版社
ISBN9787030516176
出版时间2017-03
装帧平装
开本16开
定价128元
货号1201480209
上书时间2024-11-14
商品详情
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目录
第1章公理集合论简述1
1.1集合论公理1
1.2集合上的几种特殊关系8
1.3序数与基数16
1.4选择公理26
第2章度量空间31
2.1度量空间的定义及例子31
2.2开集、闭集、基、序列36
2.3闭包、内部、边界41
2.4连续映射、同胚、拓扑性质45
2.5一致连续、等距映射与等价映射51
2.6度量空间的运算53
2.7Urysohn引理和Tietze扩张定理67
2.8Borel集和绝对Borel空间73
第3章度量空间的连通性76
3.1连通空间76
3.2连通分支与局部连通空间82
3.3道路连通空间87
第4章紧度量空间91
4.1紧度量空间的定义、等价条件91
4.2紧度量空间的运算I96
4.3紧度量空间的性质99
4.4局部紧度量空间102
4.5紧度量空间的运算II106
4.5.1超空间106
4.5.2函数空间111
4.6Cantor集的拓扑特征113
第5章可分度量空间118
5.1可分度量空间的定义及等价条件118
5.2嵌入定理123
5.3Cantor空间的万有性质129
第6章完备度量空间与可完备度量空间134
6.1完备度量空间134
6.2度量空间的完备化142
6.3可完备度量空间144
6.4Baire性质及其应用146
第7章拓扑空间与可度量化定理156
7.1拓扑空间的定义及例子156
7.2分离性公理164
7.3紧性与紧化171
7.4可数性公理与可分可度量化定理182
7.5仿紧空间190
7.6度量化定理199
7.7说明207
第8章Michael选择定理与Brouwer不动点定理209
8.1线性空间209
8.2Michael选择定理及其应用216
8.3Euclidean空间Rn223
8.4Brouwer不动点定理230
8.4.1单形和单纯复形231
8.4.2单形的重心重分234
8.4.3Spermer定理240
8.4.4Brouwer不动点定理242
第9章维数论245
9.1三种维数的定义245
9.2关于覆盖维数的进一步讨论248
9.3度量空间的维数257
9.4维数与Euclidean空间Rn270
9.5无限维维数论简述282
第10章无限维拓扑学引论284
10.1构造同胚的三种方法及其应用284
10.1.1方法一:同胚列的极限是同胚的条件284
10.1.2方法二:Bing收缩准则289
10.1.3方法三:同痕294
10.2Z-集300
10.3Z-集的同胚扩张定理I303
10.4Z-集的同胚扩张定理II309
10.5吸收子313
10.6Anderson定理320
参考文献330
索引331
内容摘要
本书主要是以度量空间为基础进行拓扑学性质的探究.对于读者而言，以度量空间为基础可以降低拓扑学的入门难度.与此同时本书也介绍了对于拓扑学而言相对重要的结果，特别是其他中文书籍相对较少涉及的拓扑学维数论，无限维拓扑学等的相关结果也在本书中有所体现.此外，重视拓扑学和其他学科的结合是本书的一个特点.本书从基本的集合论知识起步，先介绍了度量空间、连续映射、度量空间的连通性和紧性，然后介绍了可分度量空间、完备度量空间、Baire空间，还包含了这些结论在分析学中的应用、Cantor集的拓扑特征及其万有性；进一步，本书定义了拓扑空间,并把度量空间的拓扑学知识推广到了更一般的拓扑空间中，并定义了仿紧性，证明了一些可度量化定理等.最后本书证明了Michael选择定理、Dugundji扩张定理、Brouwer不动点定理和Anderson定理.本教材主要面向数学专业本科生和低年级研究生，也可以作为对拓扑学有兴趣的研究者的参考书.
精彩内容
靠前章 公理集合论简述
集合论是现代数学的基础.本章将给出本书所需要的基本集合论知识.按照现在的教材体系，集合论知识在高中数学课本中已经出现，在大学的各门课程中又进行了加深，特别是\实变函数"课程中定义了基数等.因此，我们希望，作为这些课程的后续课程，我们给出的集合论知识能在此基础上有所提高.我们选择一种介于公理化方法和朴素方法之间的方法介绍集合论知识.具体而言，我们没有给出逻辑知识，虽然，一般来讲，公理化集合论需要很强的逻辑知识.另外，对于一些如果用公理化方法将会很麻烦的地方，我们进行了朴素处理.当然，我们也兼顾公理化方法和朴素方法，一方面用公理的方法给出严格的陈述，另一方面又用朴素的语言给出解释.关于集合论的系统知识见[8]，[10]，[20].
读者如果不想学习公理集合论，你可以简单浏览一下1.1节，知道本书的一些记号，然后继续看1.2节—1.4节即可.对于大多数读者已经熟悉的一些集合论知识，我们放在了练习中，希望大家复习.
1.1 集合论公理
本节将给出集合论公理和一些基本概念.所谓公理化方法就是用公理(即被认为是正确的论断)给出一些概念的性质.集合论中两个很重要的不定义概念为:集合和集合的元素.也就是说，下面的两个论断不需要给出定义:
靠前，Z是一个集合;
第二，集合a是集合A的元素，记作，或者.
因为读者已经熟悉这两个概念的朴素说明，我们在此不再进一步地说明.本书中，几乎所有的研究对象都是集合，所以，小写的英文字母等，大写的英文字母等，花写的英文字母A，B，C等，带下标的字母等，希腊字母等都可以表示集合.注意，“元素”并不是一个集合论概念，更不是一个不定义概念.所以，你可以说，集合a是集合A的一个元素，但是，你不可以说，集合a是一个元素！在很多教科书中，为了强调，有时称一个由集合组成的集合为族.但是，按照一般公理化集合论的观点，所有的集合都是由集合组成的.本书中，为了和大家的习惯一致，我们有时也称一些集合为族，也就是说，族是集合的同义词.另外，对于个别不是集合的类，我们用多个黑体字母表示，例如，SET表示所有集合构成的类.
在本书中，用或者记不成立，表示a不是集合A的元素.以后，我们也用类似的方法表示否定，例如，3662，a6=b等.
下面我们用公理给出这两个概念的基本性质，这个公理体系被称为Zermelo-Fraenki选择公理系统，简记为ZFC系统.
公理1.1.1(外延性公理)对于任意的两个集合X，Y，X=Y的充分必要条件是对任意的集合Z，
外延性公理说明集合是由该集合的元素确定的，这个公理是下面很多集合专享性的保障.而下面的公理1.1.2—公理1.1.7，公理1.1.9—公理1.1.10将保障存在充分多的集合.
公理1.1.2 (空集存在公理)存在集合X使得对于任意的集合Z，
由外延性公理，满足上面条件的集合X是专享的.
定义1.1.1 称满足上面公理的专享集合为空集，记为?.不是空集的其他集合称为非空集合.
公理1.1.3 (对集存在公理)对于任意的两个集合a;b，存在集合X使得对任意的集合x，
定义1.1.2 对于任意的两个集合a，b，我们称满足上面公理的专享集合为由a，b组成的对集，记为.当a=b时，我们用记，称为单点集.显然.设a，b是集合，我们使用
由三次对集存在公理知，后者确实是一个集合.称(a;b)是由a;b组成的序对集.
和对集不同，我们有下面的结论.
定理1.1.1 对任意的集合当且仅当x=a且y=b.特别地，当时
证明显然，当x=a，y=b时，有现在假设即我们考虑下面3种情况来证明这时x=a;y=b.
情况显然a=x成立.如果a=b，那么，y=a=b.所以有a=x，b=y成立.如果，那么，否则，与矛盾.所以，y=b.
情况这时，由靠前个等式和定义，有x=a且y=a;由第二个等式和定义，有a=x且b=x.所以x=a，y=b成立.
情况C.否则，这时，必然有.所以，仿情况B可以验证x=a;y=b也成立.
进一步，我们可以定义
公式是一个逻辑学概念，简单叙述如下.首先是原始公式，即下面的两类公式:
(1)x=y;
(2)
命题连接词包括
非:-p;且:p^q;或;蕴含:等价
量词包括
任意量词:存在量词:
公式是原始公式经过有限次命题连接词和量词复合所能得到的全体.
如果一个变量x出现在一个公式á中且在x的前面没有量词8x和9x，那么，我们称x为公式á的自由变量.如果是公式á的全部自由变量，我们记这个公式为不含自由变量的公式称为句子.在公理化集合论发展的早期，人们曾认为对任意的公式φ(x)，
是集合.但有名的Russell悖论否定了这种想法.事实上，假定如此，那么
是一个集合.但，容易看到，这时，Z2Z当且仅当Z62Z.矛盾!
对任意的公式，称
为一个可由变量，pn定义的类.如果φ仅含一个自由变量x，那么，上面的类称为可定义的类.集合一定是类.事实上，设A是一个集合，那么
所以，A是类.但是，Russell悖论说明类不一定是集合.SET表示所有集合构成的类.后面的正则性公理将显示它不是集合.我们需要下面的公理.
公理1.1.4 (分离性公理)设X是集合，是一个公式，那么对任意的u，存在集合Y使得对任意的集合x，
显然，满足上面条件的集合Y是专享的，记作
分离性公理有很多推论.
定理1.1.2 对任意的非空集合X，存在专享集合Y使得对任意的集合y，
证明因为X不是空集，所以存在.那么，
注意到，
是一个公式.因此，由分离性公理Y是一个集合.显然，Y是我们需要的集合.专享性由外延性公理立即得到.
定义1.1.3 满足上面定理的专享集合Y称为集合X的交，记作
当时，我们用代替TX.当时，我们说集合不相交;当时，我们说集合相交.
注1.1.1 我们不能证明空集的交存在!所以，以后我们谈到集合的交时一般指非空集合的交.但在特定的情况下，我们可以专门定义空集的交.
定理1.1.3 对任意的集合X;Y，存在专享的集合Z使得对任意的集合z，
证明显然，
满足要求.由外延性公理，满足上面定理的集合Z由集合X，Y确定.
定义1.1.4 满足上面定理的专享集合Z称为集合X与集合Y的差，记作
但分离性公理并不能得到并集的存在性，我们需要又一个公理.
公理1.1.5 (并集存在公理)对任意的集合X，存在集合Y使得对任意的集合y，
由外延性公理，满足上面公理的集合Y由集合X确定.
定义1.1.5 我们称满足上面公理的专享集合Y为集合X的并，记作
显然，是集合，令
通常，我们用
那么
也许你会认为，我们不需要对集存在公理而用定义即可保障对集的存在性.但，事实上是不对的，因为没有对集存在公理，对于集合x，将不能按照上面的方式定义.
同样，我们用
下面，我们将给出幂集公理，为此，我们需要一个定义.
定义1.1.6 设X，Y是集合，如果对任意的集合x，由可以推出，则称X是Y的子集或者X包含于Y或者Y包含X，记作或者否则，记为或者.如果且存在集合使得，则说X是Y的真子集.记作.①
下面是幂集公理.
公理1.1.6 (幂集公理)对任意的集合X，存在集合Y使得对任意的集合Z，
定义1.1.7 我们把满足上面条件的集合Y称为集合X的幂集，它由X专享确定，记为P(X).
幂集公理是说，集合的子集的全体是集合.
利用幂集公理，我们可以定义集合的乘积.对于集合X，Y，可能你知道，应该是由所有的序对集组成，这里.但，问题是为什么是一个集合？我们需要幂集公理.首先，对任意的，按定义.因此，同理.所以
再应用分离性公理，我们知道
是集合.
定义1.1.8 设X，Y是集合，称集合为集合X，Y的Cartesian乘积，简称为乘积.同样，我们可以定义有限乘积.设;Xn是集合，
被称为集合;Xn的乘积.特别地，当时，我们用Xn表示上面的集合.同时，为了方便，我们约定.
定义1.1.9 设X;Y是集合，X￡Y中的任何子集R被称为由X到Y的一个关系.令
显然，dom(R);ran(R)分别是集合X;Y的子集，分别称为关于R的定义域和值域.
如果由X到Y的关系f满足下面的条件，我们称f为一个由X到Y的映射:
(i)dom(f)=X;
(ii)对任意的，如果，那么，y1=y2.
显然，如果f是由X到Y的映射，那么，对任意的，存在专享的使得我们用f(x)记这个专享的y，称之为在f下x的像.我们用
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