现代优化理论与方法
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广东广州
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作者黄庆道 等 编
出版社科学出版社
ISBN9787030496737
出版时间2017-06
装帧平装
开本16开
定价29元
货号1201540897
上书时间2024-11-23
商品详情
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目录
第8章二次规划187
8.1QP问题187
8.2对偶性质190
8.3等式约束问题194
8.4积极集法199
8.5对偶方法204
8.6习题209
第9章整数规划211
9.1整数规划的一般概念211
9.2整数规划问题及其数学模型212
9.2.1生产计划问题212
9.2.2投资项目选择问题213
9.2.3指派问题215
9.3分枝定界法216
9.40-1规划的解法220
9.4.1完全枚举法220
9.4.2隐枚举法223
9.5指派问题的解法229
9.6应用实例233
9.7习题237
第10章动态规划240
10.1动态规划的一般概念240
10.2动态规划模型的基本结构243
10.2.1动态规划的基本概念243
10.2.2最优化原理与函数基本方程245
10.3动态规划的计算方向248
10.4动态规划的求解形式250
10.5习题259
第11章优化求解的软件实现263
11.1优化软件概况263
11.1.1求解最优化问题的常用方法263
11.1.2几个解最优化问题的软件包264
11.2Mathematica中优化软件的用法264
11.2.1方程表示264
11.2.2方程求解265
11.2.3线性规划266
11.2.4非线性规划267
11.3MATLAB中优化软件的用法268
11.3.1优化工具箱的功能及其应用步骤269
11.3.2优化工具箱的函数使用方法269
11.4LINGO软件的用法279
11.4.1LINDO和LINGO命令280
11.4.2LINGO函数286
11.4.3在LINGO中的集合291
11.4.4LINGO的变量域函数292
11.4.5在LINGO中使用数据294
11.4.6LINGO的典型应用举例295
11.5习题307
参考文献310
内容摘要
本书着重介绍现代优化理论的基本概念，基本原理，基本方法及其在实际问题中的应用。靠前章预备知识，介绍很优化理论基本知识，第二章至第六章讲述准确优化方法，第七章是现代优化方法。本书着重介绍现代优化理论的基本概念，基本原理，基本方法及其在实际问题中的应用。靠前章预备知识，介绍很优化理论基本知识，第二章至第六章讲述准确优化方法，第七章是现代优化方法。
精彩内容
第8章 二次规划
8.1 QP问题
二次规划是很简单的约束非线性规划问题， 它是问题基本规划问题在f(x)是二次函数， ci(x)(i=1，2，
，m)都是线性函数时的特殊情形， 即可写成
(8.1)
(8.2)
(8.3)
利用前面的结果， 我们可以得到如下定理.
定理 8.1.1 设x*是二次规划问题(8.1)—(8.3)的局部极小点， 则必存在乘子使得
(8.4)
(8.5)
(8.6)
且对一切满足于
(8.7)
的d∈Rn都有
(8.8)
其中E = {1，
，me}， 以及
(8.9)
定理 8.1.2 设x*是一个K-T点， λ*是相应的Lagrange乘子， 如果对一切满足于
(8.10)
(8.11)
(8.12)
的非零向量d都有
(8.13)
则x*必是问题(8.1)—(8.3)的局部严格极小点.
定理 8.1.3 设x*是二次规划问题(8.1)—(8.3)的可行点， 则x*是一局部极小点当且仅当存在乘子使得(8.4)—(8.6)成立而且对一切满足(8.10)—(8.12) 的向量d都有
(8.14)
证明 设x*是一局部极小点， 由定理8.1.1知存在乘子λ*使得(8.1)—(8.3)成立. 设d是任何一个满足(8.10)—(8.12)的非零向量. 显然， 对充分小的t>0有
(8.15)
于是， 由d的定义，
(8.16)
对所有充分小的t>0成立， 故知(8:14)式成立. 由于d的任意性， 所以对一切满足于(8.10)—(8.12)的向量d都有 (8:14).
反之， 设存在λ*=(λ*1，
，λ*m) 使得(8.4)—(8.6)成立， 而且对一切满足于(8.10)—(8.12)的向量d都有(8:14)式成立. 如果 x*不是一局部极小点， 则必存在δk>0， dk使得
(8.17)
(8.18)
而且.考虑Lagrange函数
(8.19)
由于L(x，λ*)是关于x的二次函数且有
(8.20)
(8.21)
(8.22)
由(8:20)和(8:22)可知d满足(8.10)—(8.12).令矩阵A是组成的. 定义
(8.23)
(8.24)
由(8:22)可知
(8.25)
由(8:20)和(8:21)可知
(8.26)
从(8:22)和(8:26)可得到
(8.27)
这与δk→0相矛盾.矛盾说明x*必是一局部极小点.
由于问题的特殊形式， 求解二次规划的K-T点等价于寻求x*∈Rn，λ*∈Rm使得线性系统(8.2)—(8.3)， (8.4)， (8.6)满足而且线性互补条件(8:5)也成立.
如果H是(正定) 半正定矩阵， (8:1)中的目标函数是 (严格)凸函数，这时问题(8.1)—(8.3)被称为(严格) 凸的二次规划问题. 对于二次规划， 可行域只要不空就必定是凸集， 所以但当目标函数是凸函数时， 任何K-T点必为二次规划的全局极小点.
定理 8.1.4 设H是半正定矩阵， 则x*是二次规划问题(8.2)—(8.3)的全局极小点当且仅当它是一个局部极小点， 也当且仅当它是一个K-T点.
所以， 当H是半正定时，求解(8.2)—(8.3)等价于求解(x，λ)∈Rm+n使得
(8.28)
(8.29)
(8.30)
(8.31)
(8.32)
成立， 其中I=me+1，
，m，λ=λ1，
，λm以及
(8.33)
这一等价关系对推导凸二次规划的对偶规划问题是十分重要的.
8.2 对偶性质
假定H是正定矩阵， 由上节的结果可知二次规划(8.1)—(8.3)等价于(8.28)—(8.32).记
(8.34)
(8.35)
则(8.28)—(8.32)可写成下列形式
(8.37)
(8.38)
(8.39)
(8.40)
由定理8.1.3可知(8.36)—(8.40)等价于
(8.41)
(8.42)
(8.43)
由于问题(8.41)—(8.43)与问题(8.1)—(8.3)等价， 称(8.41)—(8.43)为(8.1)—(8.3)的对偶问题，称(8.1)—(8.3)为原始问题. 利用(8:34)， 可将问题(8.41)—(8.43)简化成如下形式
(8.44)
(8.45)
假定(λ，y)是对偶问题(8.41)—(8.43)的可行点， x是原始问题(8.1)—(8.3)的可行点， 则有
(8.46)
其中ti由 (8:35)定义.由于H正定，显然有
(8.47)
从(8:46)式还看出， (8:47)式两边相等当且仅当
(8.48)
(8.49)
(8:49)等价于(8:28)，因为x是可行点， (8:48)与(8:31)等价. 于是我们已经证明了下面的定理.
定理8.2.1 设H正定， 如果原始问题有可行点， 则x*∈X是问题(8.1)—(8.3)的解当且仅当存在 (λ*，y*)是对偶问题(8.41)—(8.43)之解且x*=H-1y*以及λ*是原问题在x*处的Lagrange乘子.对于原始问题无可行点的情形， 我们有下列结果.
定理 8.2.2设H正定， 则原始问题有可行点当且仅当对偶问题无界.
证明 如果原始问题有可行点， 由(8:47)式可知对偶问题的目标函数在满足(8.42)—(8.43)的集合上一致有上界.
现假设原始问题无可行点， 于是
(8.50)
(8.51)
(8.52)
在上无解. 由Farkas引理即知存在λi(i=1，
，m) 使得
(8.53)
(8.54)
(8.55)
令λi = tλi，y=-g， 当t→+∞时有
而且对一切t > 0，= (tλ1，
，tλm)和y=-g满足约束条件(8.42)和(8.43).所以对偶问题无界.
原始问题的Lagrange函数
(8.56)
与对偶问题也是有着密切联系的.不难看出， 求解(8.28)—(8.32)等价于求函数L(x，λ)在区域上的稳定点.由于L(x，λ)的Hesse阵为
(8.57)
利用恒等式
(8.58)
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