高等代数
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作者编者:张孝金//昝立博//杨兴东|总主编:蒋勇 著
出版社科学出版社
ISBN9787030583260
出版时间2018-07
装帧平装
开本16开
定价49元
货号1201745621
上书时间2024-11-20
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目录
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序
前言
第1章 行列式 1
1.1二、三阶行列式1
1.1.1二阶行列式1
1.1.2三阶行列式3
习题1.1 4
1.2排列 4
习题1.2 5
1.3n阶行列式的定义6
习题1.3 8
1.4n阶行列式的性质8
习题1.4 12
1.5行列式的展开13
1.5.1行列式按一行(列)展开13
1.5.2行列式按k行(列)展开17
习题1.5 19
1.6Cramer法则21
习题1.6 23
总习题1 23
第2章 矩阵 25
2.1矩阵的概念25
2.2矩阵的运算26
习题2.2 31
2.3矩阵的秩与矩阵的初等变换32
习题2.3 36
2.4矩阵的逆36
习题2.4 38
2.5初等矩阵39
习题2.5 41
2.6矩阵的分块41
2.6.1分块矩阵41
2.6.2初等矩阵的应用44
2.6.3分块初等矩阵46
习题2.6 47
总习题2 48
第3章 线性方程组 50
3.1消元法50
3.1.1消元法解线性方程组50
3.1.2利用初等变换解线性方程组51
习题3.1 54
3.2向量组的线性相关性54
习题3.2 58
3.3向量组的秩与极大无关组59
习题3.3 62
3.4线性方程组有解判别定理63
习题3.4 66
3.5线性方程组解的结构67
习题3.5 72
总习题3 73
第4章 多项式 75
4.1整数与整环75
4.1.1整数理论75
4.1.2整环76
习题4.1 77
4.2一元多项式77
习题4.2 78
4.3带余除法79
习题4.3 80
4.4最大公因式80
习题4.4 83
4.5因式分解，重因式，重根83
习题4.5 86
4.6复系数与实系数多项式87
习题4.6 88
4.7有理多项式88
习题4.7 90
4.8多元多项式91
总习题4 91
第5章 二次型 93
5.1二次型及其表示93
习题5.1 94
5.2标准形94
习题5.2 97
5.3规范形97
习题5.3 99
5.4正定二次型100
习题5.4 103
总习题5 103
第6章 线性空间 105
6.1映射105
习题6.1 105
6.2线性空间的定义106
习题6.2 106
6.3基与维数107
习题6.3 111
6.4子空间111
习题6.4 113
6.5子空间的交与和113
习题6.5 116
6.6子空间的直和116
习题6.6 117
6.7线性空间的同构117
习题6.7 119
总习题6 119
第7章 线性变换 120
7.1线性变换的运算120
习题7.1 121
7.2线性变换的矩阵122
习题7.2 125
7.3特征值与特征向量125
习题7.3 130
7.4对角化130
习题7.4 133
7.5线性变换的值域与核133
习题7.5 136
7.6不变子空间136
习题7.6 139
7.7Jordan标准形139
总习题7 140
第8章 矩阵 143
8.1矩阵及其标准形143
习题8.1 147
8.2行列式因子与不变因子148
习题8.2 150
8.3矩阵相似的条件151
习题8.3 153
8.4初等因子与Jordan标准形153
习题8.4 160
8.5矩阵的有理标准形160
习题8.5 162
8.6最小多项式162
习题8.6 164
总习题8 164
第9章 欧氏空间 165
9.1内积与欧氏空间165
习题9.1 169
9.2标准正交基170
习题9.2 173
9.3子空间174
习题9.3 176
9.4正交变换176
习题9.4 178
9.5对称变换与实对称矩阵178
习题9.5 184
9.6同构185
习题9.6 186
9.7酉空间介绍186
习题9.7 187
总习题9 188
第10章 双线性函数 189
10.1线性函数189
习题10.1 190
10.2对偶空间191
习题10.2 193
10.3双线性函数193
总习题10 196
参考文献 198
内容摘要
本书主要介绍本科高等代数中行列式理论、矩阵理论、线性方程组理论、多项式理论、线性空间理论等.全书共分10章：第1章为行列式，第2章为矩阵，第3章为线性方程组，第4章为多项式，第5章为二次型，第6章为线性空间第7章为线性变换，第8章为λ-矩阵,第9章为欧氏空间,第10章为双线性函数(选修).本书每节都配有相应的习题,方便老师教学和学生学习.
精彩内容
第1章行列式
本书中，如无特殊声明，所有用到的数集均是数域P。数域P是复数C的包含0和1的子集且它关于复数中定义的加法、减法、乘法和除法运算封闭。
行列式是高等代数的一个重要概念，它是一个形式化运算或表示数字运算结果的符号形式。它广泛应用于理、工、农、医、经济等诸多领域。本章主要介绍数域P上的行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer法则。
1.1 二、三阶行列式
1.1.1二阶行列式
为了引入二、三阶行列式的定义，首先回顾用消元法解二元线性方程组。设方程组为消去未知量，以与分别乘(1-1)两方程的两端，然后两个方程相减，得类似地，消去，得当时，求得方程组(1-1)的解为(1-2)式中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得，其中分母是由方程组(1-1)的4个系数确定且与这4个数在方程组(1-1)中的位置有关。由此我们引入二阶行列式的定义。
定义1.1.1由4个数排成2行2列(横排称行，竖排称列)的数表
表达式称为数表(1-3)所确定的二阶行列式，并记作(1-4)数称为行列式(1-4)的元素。元素的第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列。
二阶行列式的定义可用对角线法则来记:
把到的实连线称为主对角线，到的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。利用二阶行列式的概念，式(1-2)中的分子也可写成二阶行列式，即若记那么式(1-2)可写成注这里的分母D是由方程组(1-1)的系数所确定的二阶行列式(称系数行列式)，的分子是用常数项替换中的的系数所得的二阶行列式，的分子是用常数项替换中的的系数所得的二阶行列式。
例1.1.1求解二元线性方程组。
解由于因此，
1.1.2三阶行列式
仿照二阶行列式的定义，下面给出三阶行列式的定义。
定义1.1.2设有9个数排成3行3列的数表则称式(1-6)为数表(1-5)所确定的三阶行列式。
上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的3个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循下图所示的对角线法则:图中三条实线看作是平行于主对角线的联线，三条虚线看作是平行于副对角线的联线，实线上3元素的乘积冠正号，虚线上3元素的乘积冠负号。
例1.1.2求解方程解方程左端的三阶行列式
于是，x=2或x=5。
对于三元线性方程组利用消元法可证明:当三阶行列式方程组(1-7)有唯一的解
在本章中，我们要把这个结果推广到n元线性方程组的情形。为此，我们需要给出n阶行列式的定义。
习题1.1
1.计算下列行列式。
2.解下列线性方程组。
注意到对角线法则只适用于二、三阶行列式。为了系统地引入n阶行列式的定义，我们在本节引入排列和逆序数的定义。首先，我们有
定义1.2.1由整数组成的一个有序数组称为一个n级排列。
例如，231是一个3级排列，是一个5级排列。我们知道，n级排列的总数是n!。
显然，12 n也是一个n级排列。这个排列是按照自然顺序排起来的，称为标准排列，其他的排列都会破坏自然顺序。
定义1.2.2在一个n级排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序。排列中逆序的总数称为排列的逆序数，记为。逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
下面讨论计算排列的逆序数的方法。
设n级排列。考虑元素p，如果排在p前面且比它大的元素有个，就说pi的逆序数是。全体元素的逆序数总和，即是这个排列的逆序数。
1.2 排列
例1.2.1求排列45132的逆序数。
解在排列中，
4排在首位，逆序数为0；
5是最大数，逆序数为0；
1的前面比1大的数有2个(4、5)，故逆序数为2；
3的前面比3大的数有2个(4、5)，故逆序数为2；
2的前面比2大的数有3个(4、5、3)，故逆序数为3。
于是这个排列的逆序数为。
定义1.2.3把一个排列中某两个数的位置对换，而其余的数不动，就得到另一个排列。
这样一个变换称为一个对换，将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理1.2.1对换改变排列的奇偶性。
证明先考虑相邻对换的情形。
设排列为，对换，变为。显然，除a;b外，其他元素的逆序数不变。而a;b两元素的逆序数改变情况如下:
当a<b时，经对换后a逆序数加1而b的逆序数不变；
当a>b时，经对换后a逆序数不变而b的逆序数少1，所以，排列与对换后的排列的奇偶性相反。
再证一般对换的情形。
设排列。对换，变成。把原排列作m次相邻对换，调成，再作m+1次相邻对换，调成。总之，经过2m+1次相邻对换，排列调成排列，所以这两个排列的奇偶性相反。
推论1.2.1奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
证明由定理1.2.1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数是0)。
推论1.2.2在全部n(n>2)级排列中，奇、偶排列的个数相等且等于n!
证明假设全部n级排列中共有s个奇排列，t个偶排列。将s个奇排列中的前两个数对换，得到s个不同的偶排列，因此。同理可证，于是s=t，即奇、偶排列的总数相等，各有个。
习题1.2
1.求下列排列的逆序数，并确定其奇偶性。
2.选择i与j，使(1)成奇排列；(2)成偶排列。
3.写出把排列12345变成52143的那些对换。
4.确定排列的逆序数，并讨论它的奇偶性.
5.如果排列的逆序数为，那么的逆序数是多少？
1.3n阶行列式的定义
在给出n阶行列式的定义之前，我们先回顾一下三阶行列式的定义。
由此可以看出，三阶行列式共有6项，每项都是位于不同行不同列的3个元素的乘积，且带有符号。这符号是按什么原则决定的？每项的一般形式可以写成，其中是偶排列时，对应的项在式(1-8)中带有正号;当是奇排列时，对应的项在式(1-8)中带有负号。而二阶行列式显然也符合这个原则。
定义1.3.1由n2个数排成n行n列的数表(1-9)
作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积，并冠以正负号，得到形如的项，其中，是一个n级排列，。为该排列的逆序数。所有这n！项的代数和
称为由式(1-9)所确定的n阶行列式，记作简记为或。
在行列式中，从左上角到右下角称为行列式的主对角线，称为主对角线
元素。当n=1时，规定，即由一个元素a构成的一阶行列式就是a本身。
从定义可以看出，当行列式的阶数较大并且非零元素比较多时，用定义计算行列式是困难的。但是对于一些特殊的行列式，可以利用定义直接求得结果。
例1.3.1计算行列式
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