理解与欣赏一一初中数学教学案例集

 1 一定要双垂直吗 
 2问题一般化及其引申——以一道与角平分线有关的赛题为例 
 3闲赏一道含60度角的三角形习题 
 4禅房花木深——两道平面几何题赏析 
 5探求新的结论——以一道经典平面几何习题为例 
 6意外的发现 
 7同心正三角形探究 
 8内嵌式同心正三角形探究 
 9正三角形——边角的转换器 
 10赏一路风景——以一道平面几何题为例 
 11从等腰三角形性质到高联二试题 / 
 12问题的实质与推广——以一道自主招生试题为例 
 13条件结论重组 
 14从中点三角形开始思考 
 15心心相印 
 16群“心”璀璨 
 17联想与反思——以两道自招训练题为例 
 18配对——一种思维方式 
 19尺规作图——两千多年前的神思 
 20圆的幂 
 21师生共玩平面几何题四则 
 22从多个角度思考——对一道自招试题解题思路的分析 
 23妙手偶得之吗——以第55届荷兰数学奥林匹克的一道试题为例 
 24从特殊到一般——三个学生作品展示 
 25为有源头活水来 
 26过圆锥曲线与直线交点的圆系方程 
 27函数f(x)=ax2 bx c的几何意义 
 28从群论视角看一道集合题 
 29有限集子集个数 
 30一道测验试题的评析与探究 
 31和即是差，差即是和——以应用于抽屉原理为例 
 32美丽的方程(组) 
 33配方的实质 
 34图难于其易——为什么要学习《乘法公式》 
 35判别式——一个有用的不变量 
 36形形色色的平均数 
 37创设情境，欣赏数学的生命价值——“数轴上两点间距离公式”教育价值探讨 
 38合理引导，欣赏数学思考的过程——以分数拆分为例 
 39在图形中求角的度数 
 40一道熟知赛题的应用 

 主要参考文献 

推荐序1

 柯新立老师是我的师弟，我们的研究生导师是刘鸿坤教授.新立老师研究生毕业后先到上海中学任教，后来又去了延安中学，现在在华东师范大学第二附属中学，一直在教学第一线从事数学资优生的教学工作，硕果累累，学生中有数百人次获得了全国及上海市各类数学竞赛的等第奖.我们平时见面的机会较多，经常在一起讨论一些数学问题，以及国内外数学资优生的发现和培养方面的一些做法和经验.
 看了新立老师的《理解与欣赏： 初中数学教学案例集》的电子稿后，我感慨良多.近年来，人们已经逐渐地认识到数学的重要性，数学是自然科学的基础，也是重大技术创新的基础.数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，往往数学上的突破，会带动很多其他学科的重大突破.但是对于许多中学生来说，数学是枯燥的、抽象的、难懂的，在实际生活中是没有用的.我们如何在中学数学教学中改变这种现象？怎样使数学变得有趣，能启迪思维？怎样激发学生的学习兴趣？这些是摆在我们每一位数学教育工作者面前的一个问题.
 新立老师在他三十多年的教学实践中，以问题解决为抓手，以问题探究、问题讨论为切入点，在学生理解数学、欣赏数学方面，作了一些有益的思考和探索.
 本书蕴含了新立老师的教育教学理念.如：书中《同心正三角形探究》这一讲，通过不断改变条件，鼓励学生“像数学家一样的思考”；通过有数学内涵的对数学问题探究，解决数学问题，品鉴数学之美.《问题的实质与推广》这一讲，通过对一些数学问题的拓展与讨论，培养学生的归纳、总结与推广的能力，从而进一步理解数学、欣赏数学的美.《配方的实质》这一讲，帮助学生理解、掌握知识内容，在学习数学思想方法的同时感悟数学的价值、数学的美、数学的本质.《妙手偶得之吗》这一讲，则通过对试题的各种不同解法的探索，以及对这些解法的反思，进一步培养和提高数学创新能力.
 在《理解与欣赏： 初中数学教学案例集》出版之际，写了以上的一些体会，与新立老师共勉，同时也向各位读者请教，希望大家一起努力，在数学学习中更好地理解数学的精髓，欣赏数学的美，学好数学.
 熊斌
 2021年5月
 

推荐序2

 柯新立老师是我校的数学教研组组长，他常年耕耘在数学教学一线，业务能力突出，教学艺术精湛，是学者型教师，是同事们敬佩和信赖的老大哥，是学生眼中的大神级教师.他还是上海市业余数学学校的资深教练，在数学资优生培养方面成绩卓著，为我校乃至整个上海的数学拔尖人才培养做出了卓越贡献.
 本书收录了柯新立老师40篇数学随笔及问题研究小论文，内容涉猎广泛，包含了平面几何、方程、函数等初中数学核心内容.本书篇目编排不强调知识顺序，更像是数学散文集：既是他日常教学的体悟，也是他与同事及学生分享的素材.柯老师善于引申和推广，他注重数学思想方法的提炼，写作思路很清晰，数学问题表述简洁明了，展示的解题方法多样且深刻；间或用诗一般的语言，将自己对数学问题的深邃思考呈现给读者.
 柯新立老师热爱数学、欣赏数学，他理解并认同“数学美丽”、“数学好玩”，并努力把自己对数学的感悟渗透于数学课堂教学和课外辅导活动中.书稿给人耳目一新的感觉，特别适宜爱好数学竞赛的中学生和数学教师阅读，是非常好的课外自学辅导书.全书以数学问题解决的简洁形态，准确、科学地呈现了数学问题的实质，展现数学方法解决问题的魅力，引导读者体味数学思想方法的深刻性与普适性.相信通过阅读本书，广大数学爱好者能领悟数学之魂、认识数学之功、经历数学之旅、欣赏数学之美、品味数学之趣、感受数学之妙.
 让我们一起跟着柯老师的《理解与欣赏： 初中数学教学案例集》一书来开启一场美好的数学之旅吧！
 华东师大二附中、华东师大二附中附属初中
 施洪亮
 2021.5.30

 

前 言

 我曾给数学成绩优秀的初二学生开设过一门拓展课.参加的学生大约20人，占同年级学生比约10%，可以认为这些学生为数学资优生.这门课有一个很漂亮的名字，称作“数学很美丽”，课程目标为：理解数学、欣赏数学.希望通过构作情景、创设条件，让学生在理解数学中欣赏数学，通过欣赏数学促进数学理解，甚至数学创造.
 实现上述目标的主要途径是数学解题.数学解题，不是一个热点或时髦话题，但它又是一个永恒的话题，因为人类从现实世界中抽象出数学以来，就离不开数学解题，研究或发现新的数学、学习现有的数学都离不开数学解题.在学生、家长、老师的社会认知里，学数学需要解题，天经地义，容易接受.喜欢数学的学生大都比较喜欢解题，但是由于对结果和效率的过度追求，很少驻足停留，欣赏一路美丽风景，这实在是一件憾事.
 有人说：解数学题需要思考，思考，再思考.这个说法很有道理，美国数学家G.波利亚的《怎样解题》一书十万余言，说的就是如何思考.数学学习的目的是通过数学知识载体，习得数学思维方式、思想方法，感悟数学的价值、数学之美.数学既是一种文化，也是一门有温度的学科，因此在教学过程中要尽可能体现数学的本质、数学生动的思考、数学的人文内涵，以帮助学生理解、掌握知识内容的同时感悟数学的育人内涵，从而理解生活、理解社会、理解客观世界.数学思维方式、思想方法的习得，数学价值、数学美、数学的本质、数学的人文内涵的感悟都必须通过思考.著名数学家陈省身先生曾为少年儿童题词“数学好玩”.陈先生这里说的“好玩”首先是殷切希望少年儿童喜欢数学，热爱数学；其次，我想这里的“玩”还有“玩味、品玩、鉴赏”之意，而玩味、品玩、鉴赏都需思考，只有深度思考方能味到数学之美，品出数学之味.所谓思考是思维的一种探索活动，是主体对输入信息的加工过程，对于个体而言，这就是理解的过程，因此，这门课实际上也可以说是通过解题学思考，在思考(理解)中欣赏数学，品味数学，通过品鉴数学促进理解数学、创造数学.
 对于解题，获得结果固然重要，但解题的思考过程更重要.一道题如果我们认真思考了，即使没有解出，我们也有收获，至少我们知道那些途径不能解出它，即所谓“思考必有所得”.如果我们解出了它，我们也要继续思考.裘宗沪先生认为我们不仅要“会解题”，还要“会得好”，这两者境界不一样.只有多思考、会多种方法，才能更深刻理解问题中条件和结论之间的内在联系、理解问题实质与内涵，才知道哪种方法好，才能“会得好”.因此，我更希望学生品玩解题、品玩数学，如是否还有其他解法？改变一些条件，情况会怎样？一般情况下结论如何？如果提出的问题不会解，怎么办？有不会解之题很正常，我们不可能解出所有的问题，提出问题比解决问题更重要.遇到问题，首先要独立思考，然后再与别人交流讨论.现代技术为我们交流讨论提供了很大的便利，喜欢数学、讨论数学的人群和渠道越来越多.
 这门课程内容主要是提供一些问题，带领学生研究、讨论、品玩.有时我们做些探究，如《问题的实质与推广》《探求新的结论》等；有时师生一起共玩一题多解，如《师生共玩平面几何题四则》《妙手偶得之吗》等，当然有时也作些专题讨论，如《配对——一种思维方式》《正三角形——边角的转换器》《和即是差，差即是和》等，总之课堂形式灵活、多样.但是由于课堂时间有限，我们的很多研究需要延伸到课外，很多工作并不是课堂上完成，课堂上更多的是作品展示.本书中很多素材来源于这门拓展课，因此，这本书也可以说是我们师生共同思考的成果汇集，书中也尽可能展现对这些问题的思考过程和思考方法.本书所选题目多偏向高中自招试题和数学竞赛题，因此适合八、九年级喜欢数学的学生课外阅读，也可作给八、九年级资优生开设拓展课的教师参考书或者课程资源.尽管对书中各问题尽可能用初中知识解答，但还是少量牵涉到高中的三角知识，如正弦定理、余弦定理，及一些三角公式，不过书中对一个问题的解答通常有多种，读者可跳过此部分而不影响理解，也可以先查阅一下这些知识点以方便阅读和理解.当然书中的观点和方法并非一定最优，只是一种思考，有时甚至可能有错误之处，欢迎批评指正，我们将继续修订，丰富和完善这门拓展课.
 柯新立
 2021.5

数学枯燥、抽象、难懂？
数学在实际生活中没什么用？
如何通过数学教学启迪学生的思维？
如何引导学生感受到数学学习的乐趣？
唯有理解、思考，方能觉数学之味，品数学之美，察数学之温度。
《理解与欣赏——初中数学教学案例集》以高中自招可能涉及的经典数学试题及数学竞赛题为例，记录了作者引导、带领学生理解、欣赏数学的过程。期望与更多同行分享，从而帮助更多的学生在数学学习时，也能学会思考、学会学习，实现“再创造”。