概率论与数理统计轻松学

在 “高等数学”“线性代数”“概率论与数理统计”这三门大学数学基础课程和考研数学统考科目中,“概率论与数理统计”无疑是*“接地气”的一门 课程。相比在考研数学一和数学三中同样占34分的线性代数, 概率论与数理统计不但没有那么强的抽象性和逻辑性,而且还有着鲜明的现实背景。 因此,本书与拙著 《高等数学轻松学》和 《线性代数轻松学》*的不同之处, 就是每章不再以 “问题脉络”的框架图开篇,取而代之的是 “抛砖引 玉”中生动的引例, 并且将小明同学和概率论与数理统计的故事从*章连贯地进展到了第五章。我想通过这些与大学生活息息相关的例子, 带领读者走近 这门“接地气”的学科, 从而思考探讨随机事件和概率、一维随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、数理统计这五部分内容的意义。

学好概率论与数理统计有以下三个关键:

 *,要有高等数学 (或微积分)的基础。与中学数学所学的概率和统计知识不同, 大学的“概率论与数理统计”课程需要大量使用高等数学的方法, 尤其是定积分和二重积分的计算成为了不少同学学习这门课程的 “拦路虎”。 所以, 在学习概率论与数理统计的同时,有针对性地复习高等数学是必要的。

第二, 学会类比。“类比”是将概率论与数理统计中的知识点化繁为简的 好方法,而这也是本书 “知识储备”中大量通过表格来梳理知识的原因。 由于离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度 “扮演着相同的角色”, 所以关于连续型随机变量的许多公式都能与离散型随机变量的相应公式进行类比,而有的只不过用求积分来代替求和。 此外,关于二维随机变量的一些问题也能与一维随机变量的相应问题进行类比, 甚至就连随机变量的独立性都能与随机事件的独立性进行类比。如果不会类比, 那么各概念、性质和公式就仿佛一盘散沙, 既难以记忆,又不知如何应用。

第三, 学会分类讨论。 在概率论与数理统计中,有两个疑难问题,那就是求随机变量的函数的概率密度, 以及求两个随机变量的函数的概率密度, 而这两个问题的关键都在于分类讨论。本书细致地讲解了为什么要分类讨论、该如何通过数形结合来分类讨论,并且通过表3 4进行了梳理。希望同学们读完 本书后,不再对这两个疑难问题望而却步。

概率论与数理统计轻松学本书既可以帮助初学“概率论与数理统计”的本科生学好这门课程,也可 以作为考研学生复习这门学科的参考书。 对于初学“概率论与数理统计”的本科生,本书囊括了该学科各类教材的主要内容。同学们可以根据各高校各专业不同的教学情况,选择对自己有价值 的章节阅读。 对于考研的考生,本书囊括了全国硕士研究生统一招生考试数学一和数学三的全部考点。目前,这两个卷种概率论与数理统计的考试要求没有显著差 异,参加数学一考试的考生应阅读整本书,参加数学三考试的考生对第五章问题4,以及 “实战演练”中的第10题不作要求。本书例题中收录的所有考研真题均已注明考试年份,可帮助考生了解考研试题的命题风格。 本书每章后的“实战演练”可帮助读者检测各章的学习成果,并且在书后 给出了每道习题的答案和详细解答。 此外,感谢北京航空航天大学出版社, 尤其是策划编辑沈涛老师对本书出版做出的辛勤努力。感谢我的家人和朋友在我写作过程中给予的支持与鼓励。 由于水平有限,对于书中的不当之处,在此先行道歉,并欢迎广大读者朋 友批评指正。对此,我将不胜感激。

 愿本书能为同学们的“概率论与数理统计”学习提供切实有效的帮助!

2020年6月

本书是一本教人如何学习概率论与数理统计的书,它的关注点不是定义、定理、性质,以及后两者的证明,而是以一道道具体的题为切入点,揭示数学问题的内在逻辑和方法选择的前因后果。它既可以帮助初学概率论与数理统计的本科生学好该课程,也可以用作复习考研数学的参考书。

本书包含随机事件和概率、一维随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、数理统计五章内容,详细阐述了15个问题、74道例题,囊括了各类概率论与数理统计教材的主要内容,以及全国硕士研究生招生考试数学一、数学三的全部考点。

全国考研数学辅导名师，北京、河北、陕西、山西、山东等地各大辅导机构数学主讲老师，潜心钻研1987年以来考研数学各卷种的考查重点与命题规律，连续六年成功押中多道考研数学真题。 他的讲课概念清晰、深入浅出、表达幽默、妙语连珠，颠覆了传统大学数学的教学语境，受到广大学生的欢迎与追捧。 

他关注本科生的高等数学学习，对比中外教材的差异，反思本科数学教学中存在的问题，八年来在中国传媒大学、北京理工大学、北京航空航天大学等高校多次举办个人讲座，指导数学学习，传播数学文化，出版的图书《高等数学轻松学》、《线性代数轻松学》、《概率论与数理统计轻松学》广受好评。

*章 随机事件和概率 ………………………………………………………………… 3 

问题1 随机事件的概率的计算与证明 ………………………………………………… 4

问题2 随机事件的概率的应用 ……………………………………………………… 11

第二章 一维随机变量及其分布 ……………………………………………………… 21

 问题1 分布律、分布函数与概率密度的相关问题 …………………………… … 22

 问题2 一维随机变量的概率问题 ………………………………………………… 29

问题3 随机变量的函数的分布问题 ………………………………………………37

第三章 多维随机变量及其分布 ……………………………………………………… 49

 问题1 分布律、分布函数与概率密度的相关问题 …………………………………50

 问题2 二维随机变量的概率问题 ……………………………………………………62

问题3 两个随机变量的函数的分布问题 ……………………………………………67

第四章 随机变量的数字特征 ……………………………………………………… … 85

 问题1 数学期望与方差的计算 ………………………………………………… 85

 问题2 协方差与相关系数的相关问题 …………………………………………… 93

问题3 切比雪夫不等式、大数定律与中心极限定理的应用 ………………… 101

第五章数理统计……………………………………… …………………………… 109

 问题1 抽样分布问题 ………………………………………… ……………… 110

问题2 求统计量的数字特征 ……………………………………………………… 118

 问题3 求矩估计与*似然估计 ………………………………………………… 122

 问题4 区间估计与假设检验 ……………………………………………………… 127

习题答案与解析 ……………………………………………………………………………

（1）本书包含15个问题，74道例题, 囊括概率论与数理统计教材的主要内容, 覆盖全国硕士研究生招生考试数学一、数学三的全部考点。

（2）内容梳理精当——如前所述，15个问题考研考点全覆盖，“抛砖引玉”——用生动形象的例子引出概念；“题眼探索”——梳理方法，切中学科要害；“例题解析”——语言风趣幽默，深入浅出。难怪读者热评：轻松学让枯燥难懂的概率论一下子变简单了。