离散数学简明教程

离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，它所研究的对象是离散数量关系和离散结构数学模型。
高等数学以函数为主要研究对象，所讨论的函数是连续变量之间的关系，变量可在一个确定的范围内连续地变化(取值)。而离散数学则是主要讨论离散变量及其关系的数学，一般而言，离散变量取值于一个有限集合或可列元素的集合。
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机专业的一门重要基础课。离散数学在许多学科领域，特别是在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
由于数字电子计算机是离散结构，它只能处理离散的或离散化的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着以下问题： 如何对离散结构建立相应的数学模型，以及如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。也就是说，计算机系统从本质上说是一种离散结构，必须借助于离散数学这个工具来描述，离散数学在计算机系统的逻辑设计中有着重要的应用。
“离散数学”课程主要介绍离散数学各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。这些概念、理论以及方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中；同时，该课程所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于培养学生严谨、规范的科学态度。多年来，该课程名称不变，但内容不断更新，教学方法不断改进，一直是教学体系中的核心基础课程，并在计算机专业课程体系中扮演着重要角色。
计算机专业的学生通过对该课程的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和逻辑推理能力，为将来参与创新性研究和开发工作打下坚实的基础。
本书的主要内容包括5部分： 数理逻辑、集合论、代数系统、图论和组合分析。●数理逻辑。为第1、2章，主要介绍命题逻辑和谓词逻辑。
●集合论。为第3、4章，主要介绍集合的基本概念和基本运算、笛卡儿积、二元关系、关系的运算、关系的性质、等价关系和偏序关系、函数的定义与性质、函数的复合。
●代数系统。为第5、6章，主要介绍二元运算及其性质、代数系统的概念、子代数和积代数、代数系统的同态与同构、半群和群。
●图论。为第7、8章，主要介绍图的基本概念、握手定理、图的矩阵表示、短路径、关键路径、二部图、欧拉图、哈密顿图、树的基本概念、小生成树、二叉树和树的遍历。
●组合分析。为第9章，主要介绍组合分析的基础知识。 

编者2021年6月

本书是作者十多年来面向本科生开设的“离散数学”课程的教学实践积累，同时借鉴了国内外相关课程的教学体系，系统介绍了数理逻辑（命题逻辑、谓词逻辑）、集合论（集合论初步、二元关系）、代数系统（代数系统一般性质、典型代数系统）和图论（图论基础、树），并介绍了组合分析基本知识。本书给出了大量的例题、习题，附录A提供了各章习题答案，有利于读者对相关知识的理解和掌握。 本书可以作为高等院校信息类及相关专业的高年级本科生教材，也可供对离散数学感兴趣的工程技术人员参考阅读。

王树西，男，2006年毕业于中国科学院计算技术研究所，目前在对外经济贸易大学信息学院工作。讲授《离散数学》10余年，有着较为丰富的《离散数学》教学经验。

第1章命题逻辑/1

1.1数理逻辑的历史背景1

1.1.1数理逻辑的起源2

1.1.2数理逻辑的内容2

1.1.3哥德尔不完全性定理3

1.1.4数理逻辑与中国4

1.2命题与逻辑联结词5

1.3真值表8

1.4等值演算11

1.5范式20

1.6推理理论24

1.7习题36

第2章谓词逻辑/46

2.1基本概念46

2.2谓词公式及解释51

2.3谓词公式等值式56

2.4谓词逻辑推理61

2.5习题67

第3章集合论初步/71

3.1集合论的历史背景71

3.1.1集合论创立者康托尔71

3.1.2罗素悖论74

3.1.3笛卡儿76

3.2集合的基本概念77

3.3集合的基本运算79

3.4笛卡儿积85

4.1关系的表示89

4.2关系的运算92

4.3关系的性质97

4.4关系的闭包100

4.5等价关系102

4.6偏序关系105

4.7函数110

4.8习题113

第5章代数的一般性质/118

5.1相关历史背景118

5.1.1代数之父花拉子密119

5.1.2布尔代数119

5.2代数运算的表示120

5.3代数运算的运算律123

5.4代数与代数常数125

5.5代数的同态与同构131

5.6习题136

第6章典型代数/139

6.1现代群论创始人阿贝尔和伽罗瓦139

6.1.1阿贝尔139

6.1.2伽罗瓦144

6.2半群145

6.3群149

6.4子群155

6.5循环群与置换群158

6.6环与域163

6.7格与布尔代数165

6.8习题168

第7章图论基础/171

7.1相关历史背景171

7.1.1哥尼斯堡七桥问题172

7.1.2欧拉173

7.1.3迪杰斯特拉174

7.2图的基本概念175

7.3图的连通性180

7.4图的矩阵表示183

7.5一些特殊的图187

7.5.1欧拉图187

7.5.2哈密顿图189

7.5.3二部图190

7.5.4平面图191

7.6短路193

7.6.1有向图的短路问题193

7.6.2标号法193

7.7关键路径197

7.7.1PERT图197

7.7.2早完成时间198

7.7.3晚完成时间198

7.7.4缓冲时间199

7.8习题200

第8章树/205

8.1树的基本概念205

8.2树的基本性质208

8.3习题217

第9章组合分析初步/219

9.1加法法则和乘法法则219

9.2基本排列组合的计数方法220

9.3习题225

附录A习题答案/226

参考文献/286

本教材的特色包括： 
(1) 教材通俗易懂。 
(2) 大量的例题。 
(3) 大量的习题，并附有答案。 
(4) 重点和难点突出。 
(5) 介绍了相关知识的历史背景。 
(6) 重要概念标注了英文名称 
(7) 强调基础知识、基本概念、基本框架。 
(8) 重视计算。