中考数学新题根

教学实践证明，千姿百态的数学题目犹如一棵树上的枝枝叶叶，看上去虽然纷繁复杂，但是它们之间其实是息息相通的，它们都是从同一题根衍生变化而来，故在研究问题时可以通过窥其题根而见其全貌.

题根不是一道孤立的题目，也不是一堆题目中的一个单一的个体.它是一个题族的根祖，一个题系中的根基，一个题群中的代表.抓到了一个题根，就等于抓到了这个题族，这个题群，这个题系.

研究题根对教学、解题和命题都有重要的意义.如在教学中，可以从一道典型例题出发，对其进行一系列的演变，让学生在例题的有序变化中发现问题变化规律，发现变化中的不变，从而找到该系列问题的根本解决办法，达到“解一题，通一类”的教学目的；在命题中，通过对课本中的关键知识点进行适当的拓展衍生，衍生出基础性、灵活性、趣味性强的好题目，让学生既掌握重点知识，又发展思维能力，还能提高学习兴趣；在解题中，学生通过对问题题根的挖掘，熟练而快捷地找到问题的解决办法.因此，在平时教学中，教师要充分重视对问题题根的挖掘与衍生教学.

基于从事四十年的数学教学与研究发现，我们一直围绕着十分常规而又传统的做法进行工作：学生做题，教师讲题，循环往复，以至无穷；有时还为了某一道题目的新奇巧解沾沾自喜一阵，却始终没有什么较大一些的触动与收获.2008年5月12日，四川汶川、北川发生8级地震，我所在地紧临北川，中午在五楼家中沙发上熟睡，被强大的地震波震醒，看到住的楼房东摇西晃，家中瓶瓶罐罐一股脑儿地往地上乒乓落响，心中虽然充满了恐惧与无可奈何，但人很镇定.同年8月我参加了由华东师范大学组织的骨干教师命题能力培训班，聆听并很受益于张远增老师、安道波老师所讲的数学真问题及演变.上述两件事情给了我数学教育研究极大的触动，试图彻底改变“用那点专业知识，炒一辈子的冷饭”的想法（2013.9.19文汇报《笔会》文），并力求做初中数学发展与创新的铺路人.
于是我从初中数学典型试题（题根）入手，以《例谈数学习题评讲中的演变与反思》（发表于2006年第6期《中学数学教学参考》杂志）为起点，一步一步地规划出在初中数学教学中需要着力培养的学生的创新元素、一题多变、高阶思维、逻辑演绎、分享表达等.

这本《中考数学新题根》是在我编著的《题根·初中数学》基础上，大幅度增添、改换、校误而成.全书共13章，共46节．每节的体例大致是：题根x、解析、变式题、变式网络、变式训练；书末附有变式训练参考答案．各节题根大多3个，少数2个，尽量考虑多种解法或证明途径．一个题根演绎变化出3~5道经典变式题目，后配备7道变式训练题.
编写团队处处重视每个环节的写作质量.分析题根时侧重基本想法及注意事项，点明题根中的信息元，有奇思妙想也一并给出.变式网络旨在呈现各种变式的方向和层次，如考查题根的逆命题、对题根中主要关系的变更、条件的强化与减弱、方法的类比和归纳等.变式网络与变式题大致对应，为每个变式列举经典题型，展示变式的方法和策略，有利于读者更好地领悟数学问题的本质，更牢固地掌握数学题目间的运动变化等内在联系.变式训练题主要从各省、市中考或竞赛真题中选取，确保试题的典型性和权威性.
在使用过程中，若注意抓住从题根的解题思维入口，则能有效训练思维力；若留心题目中所蕴含的数学思想，则可提高抽象概括力；若体会题目中渗透的数学方法，则会将数学基础知识的掌握程度上升几个层次.规范的解答也不要忽视，常琢磨解题格式与合理表达，多方思考探求题目的不同解法，充分总结与提升解题规律.
对题根的拓展演变，不免跨出章节范围．学生在使用中，遇到新课内容尚未学习的，可以暂时略过，之后循环使用，再作解决.
本书由嘉祥教育集团张继海名师工作室主持改写、修订，参加改写及修订的有张继海、张明、毛鸿兵、罗建强、杜其武、何剑、陈小川、秦艳、刘正英、杨文华、王德俊、聂利华、蒲晓波、徐桂兰、王强、王莉莉、肖卓、陈文静、孟丹、贾珍等. 

尽管我们作了很多努力，但是由于水平有限，错误与不妥之处在所难免，敬希广大读者批评指正.
张继海
2023年2月21日

研究题根对教学、解题和命题都有重要意义。《中考数学新题根》是张继海及其研究团队从初中数学典型试题（题根）入手，以《例谈数学习题评讲中的演变与反思》为起点，一步一步地规划出在初中数学教学中需要着力培养的学生的创新元素、一题多变、高阶思维、逻辑演绎、分享表达等。
编写团队处处重视每个环节的写作质量，分析题根时侧重基本想法及注意事项，点明题根中的信息元，有奇思妙想也一并给出。变式网络与变式题大致对应，有利于读者更好地领悟数学问题的本质，更牢固地掌握数学题目间的运动变化等内在联系。

张继海，中学高级教师，四川省教育学会中学数学专业委员会常务理事，四川省普通高中新课程数学学科专家指导组成员，任绵阳市教科所中学数学教研员20年。获第七届（2005年）苏步青数学教育二等奖。2011年3月被四川省教育厅推荐入选“全国中小学教材审查专家库——数学学科审查专家”。发表数学教育教学文章200多篇，编著出版书籍40多本，主研或参与省级课题研究5项，参加全国“数学开放题及其教学”等专业学术会议6次，作交流3次。曾任华东师范大学考试与评价研究院作兼职研究人员，全程深入广泛地参与了数学组的工作：学习研究PISA测评体系；研制学科质量标准与评价方案；研究相关学科“低负高效”教学模式，帮助相关学科教师提升教学质量。现为四川嘉祥教育集团教育科学研究院专职研究员，兼任四川省数学会主办的《天府数学》杂志高三版主编。

第一章 初中数学题根演变方法

第二章 数的概念和运算
第1节 整数的整除性
第2节 有理数
第3节 实数
第4节 二次根式
第5节 运算的特殊处理

第三章 代数式
第1节 整式的加减
第2节 整式的乘法
第3节 因式分解
第4节 分式
第5节 化简配方求值

第四章 方程与方程组
第1节 一元一次方程
第2节 二元一次方程组
第3节 一元二次方程的解法
第4节 一元二次方程根与系数的关系
第5节 分式方程

第五章 不等式（组）
第1节 一元一次不等式（组）
第2节 方程(组)与不等式(组)的应用

第六章 函数的图象与性质
第1节 平面直角坐标系
第2节 一次函数
第3节 二次函数（1）
第4节 二次函数（2）
第5节 反比例函数

第七章 图形的认识
第1节 相交线与平行线
第2节 全等三角形
第3节 等腰三角形
第4节 直角三角形

第八章 四边形的性质
第1节 平行四边形
第2节 特殊的平行四边形
第3节 其他四边形
第4节 多边形的内角和与外角和

第九章 图形的变化
第1节 轴对称与折叠
第2节 平移与旋转
第3节 相似形
第4节 投影与视图

第十章 圆
第1节 与圆有关的性质
第2节 与圆有关的位置关系
第3节 与圆有关的计算

第十一章 三角函数及其他
第1节 锐角三角函数
第2节 解直角三角形
第3节 尺规作图
第4节 三角形知识拓展

第十二章 统计与概率
第1节 数据的收集、整理与描述
第2节 数据的分析
第3节 概率初步

第十三章 综合与实践举隅

变式训练参考答案