美英早期三角学教科书研究

近年来，HPM视角HPM原指“数学史与数学教学关系国际研究小组”（The International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics），现也泛指“数学史与数学教学之关系”这一研究领域。所谓“HPM视角”，是指融入数学史以优化教学目标、促进数学学习、改善教学效果的视角。下的数学教学因其在落实立德树人方面的有效性而受到人们的普遍关注。HPM教学理念逐渐深入人心，HPM专业学习共同体悄然诞生，越来越多的教师开始尝试将数学史融入数学教学设计之中。就像具有特定风味的一道好菜离不开优质的食材一样，HPM视角下的一节好课离不开恰当的数学史材料，因而数学史素材的缺失是开展HPM课例研究的主要障碍。
在某一个数学主题上，要获得足够的数学史素材，就需要开展教育取向的历史研究，而教育取向的历史研究往往又有两条路径，其一是一般发展史，其二是教育史。以三角形内角和定理为例，从泰勒斯的发现，到毕达哥拉斯学派和欧几里得的证明，到普罗克拉斯避开平行线的尝试，到克莱罗的发生式设计，终到提波特避开平行线的证明，构成了定理的一般发展历史，而该定理在18—20世纪几何教科书中的呈现，则属于它的教育史。当然，在很多情况下，一般发展史和教育史也并非泾渭分明，而是多有重叠和交叉。本套书采取后一条路径，对20世纪中叶以前出版的美英教科书（本套书称之为“美英早期教科书”）进行系统的研究。
本套书的研究对象并非某一年出版的某一种或几种教科书，而是一个世纪、一个半世纪，甚至两个世纪间出版的几十种、上百种，甚至两百余种教科书。研究者并不关心教科书的外在形式（如栏目、插图、篇幅等），而是聚焦于教科书中的数学内容，具体从两个方向展开研究： 一是对概念的不同定义、定理和公式的不同证明或推导方法、法则的不同解释、定理的不同应用以及数学史料的呈现方式、教育价值观等进行分类统计；二是在研究对象所在的整个时间段内，分析不同定义、方法、应用等的演变规律。
对于我的研究生来说，研究早期教科书时会遇到三点困难。
一是文献数量庞大。尚未接受过文献研究系统训练的研究生，初次面对数以百计的文献，对其分析、总结、提炼能力提出很大的挑战。实际上，教科书研究还不能仅仅局限于教科书，正如读者将要看到的那样，某些主题还涉及出版时间更早的拉丁文和法文文献。
二是书籍版本复杂。同一作者的同一本书，其中部分内容往往随着时间的推移而有变化，如勒让德的《几何基础》先后有28个版本，后来的版本往往会对某些主题进行修订，比如，关于命题“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”的证明，1861年及以前诸版本采用了叠合法，1863年及以后诸版本则抛弃了叠合法而采用弧弦关系（等弦对等弧）法。
又如，关于线面垂直判定定理，普莱费尔《几何基础》的第1版(1795)完全沿用了欧几里得的证明，而1814年、1819年和1822年诸版本则改用勒让德的证明，1829年的美国版本又采用了新的等腰三角形证法。

三是历史知识缺失。教科书中所呈现的概念定义、定理证明、公式推导，有些属于编者的首创，有些却只是复制了更早时期数学家的定义、证明或推导方法。如果研究者对于一个主题的宏观历史缺乏了解，就会陷入“只见树木，不见森林”的境地，从而难以对教科书作出客观的评价。
尽管如此，早期教科书研究对于促进作为研究者的职前教师的专业发展却具有十分重要的意义。
首先，聚焦某个主题、带着特定问题去研究早期系列教科书，研究者需要祛除心中的浮气，练好坐冷板凳的功夫。忽略一种教科书，或浮光掠影、一目十行，都可能意味着与一种独特的定义、巧妙的方法或精彩的问题失之交臂，唯有潜下心来一本一本地细读，才能获得客观全面的结果。
其次，文献研究是任何一项学术研究的步，早期教科书研究为文献研究提供了良好的机会，可以提升研究者的文献驾驭能力和分析、总结、归纳、提炼能力，为未来的数学教育研究打下坚实的基础。
再次，尽管研究者受过大学数学教育，但由于大学和中学数学教育的脱节，他们对中学数学的认识往往停留在中学时代用过的数学教科书中，而中学时代以应试为目标的数学教学往往重程序性理解而轻关系性理解。超越刷题应试这个目标来研究一系列教科书，走进另一个时代、另一种文化中的编者的心灵之中，研究者必将能够跨越大学和中学数学知识之间的鸿沟，更加深刻地理解有关知识。
后，只有走进历史的长河中，教师才能感悟自己所熟悉的某种数学教科书，和历史上任何一种教科书一样，都不可能是教科书的顶点和终点，都只不过是匆匆过客，随着时间的推移，旧教科书会被新教科书取代，而新教科书很快又会成为被取代的旧教科书。对早期教科书的系统研究，将增强研究者的历史感，开阔他们的视野，培育他们的远见卓识。
早期教科书研究，让未来教师更优秀！
本套书所呈现的研究结果，对数学教学有着丰富的参考价值。
其一，从一个世纪或两个世纪的漫长时间里，我们可以很清晰地看到教科书所呈现的数学概念从不完善到完善的演进过程。例如，无理数概念从“开不尽的根”到“无限不循环小数”，再到戴德金分割的发展；函数概念从“解析式”到“变量依赖关系”，到“变量对应关系”，再到“集合对应法则”的进化；棱柱概念从欧氏定义到改进的欧氏定义、从基于棱柱面的定义到基于棱柱空间的定义的演变；圆锥曲线从截线定义到几何性质定义、从焦半径定义到焦点-准线定义的更替；三角函数概念从锐角到钝角，再到任意角的扩充，这些正是人们认识概念曲折漫长过程的缩影，这种过程为今日教师预测学生认知、设计探究活动提供了重要参照。
其二，对于一个公式、定理或法则，不同时间出版的不同教科书往往给出不同的推导或证明，如几何中的圆面积和球体积公式的证明、代数中的一元二次方程和等差或等比数列前n项和的求解、解析几何中的点到直线的距离公式和椭圆标准方程的推导、平面三角中的正弦和余弦定理的证明等，通过对早期教科书的考察，可以对不同方法进行归类，并对方法的演变规律加以分析，为公式或命题的探究式教学提供参照，也为“古今对照”的评价方式提供依据。
其三，不同的教科书都有自己的逻辑体系，从整体上对其加以了解，可以帮助教师理解古今教科书的差异，从而更好地分析和把握现行教科书，进而提升教学水平。例如，关于“等腰三角形底角相等”这一定理，不同教科书的证明方法互有不同，有的采用作顶角平分线的方法，有的采用作底边上的高线的方法，有的则采用作底边上的中线的方法，不同方法的背后是不同的逻辑体系。
其四，对于早期教科书的研究，有助于教师建立不同知识点之间的联系，如几何中的三角形中位线定理与平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理、三角形一边平行线定理及其逆定理之间的联系，解析几何中的三种圆锥曲线的统一性，平面三角中的正弦定理、余弦定理、和角公式和射影公式之间的联系，等等。
其五，早期教科书（特别是20世纪10年代之后出版的教科书）留下了丰富多彩的数学文化素材，如数学价值观、数学的应用、数学的历史等，这些素材是今日教学的有益资源，也有助于教师树立正确的数学观。
华东师范大学出版社的副总编辑李文革先生对本套书的出版给予了鼎力支持和重要指导，平萍、宋红广、时东明等多位编辑就本书中的有关行文、图片、数据等问题提出了宝贵的意见或建议，美编刘怡霖为本书的版式和封面作了精心设计。在此一并致谢。

2021年12月1日

本套书对20世纪中叶以前出版的美英教科书（本套书中称之为“美英早期教科书”）进行了系统地研究，其研究对象并非某一年出版的某一种或几种教科书，而是一个世纪、一个半世纪，甚至两个世纪间出版的几十种、上百种，甚至两百余种教科书。研究者并不关心教科书的外在形式（如栏目、插图、篇幅等），而是聚焦于教科书中的数学内容，具体从两个方向展开研究：一是对概念的不同定义、定理和公式的不同证明或推导方法、法则的不同解释、定理的不同应用以及数学史料的呈现方式、教育价值观等进行分类统计；二是在研究对象所在的整个时间段内，分析不同定义、方法、应用等的演变规律。
本套书所呈现的研究结果，对数学教学有着丰富的参考价值。
其一，从一个世纪或两个世纪的漫长时间里，我们可以很清晰地看到教科书所呈现的数学概念从不完善到完善的演进过程。例如，无理数概念从“开不尽的根”到“无限不循环小数”，再到戴德金分割的发展；函数概念从“解析式”到“变量依赖关系”，到“变量对应关系”，再到“集合对应法则”的进化；棱柱概念从欧氏定义到改进的欧氏定义、从基于棱柱面的定义到基于棱柱空间的定义的演变；圆锥曲线从截线定义到几何性质定义、从焦半径定义到焦点—准线定义的更替；三角函数概念从锐角到钝角，再到任意角的扩充，这些正是人们认识概念曲折漫长过程的缩影，这种过程为今日教师预测学生认知、设计探究活动提供了重要参照。
其二，对于一个公式、定理或法则，不同时间出版的不同教科书往往给出不同的推导或证明，如几何中的圆面积和球体积公式的证明、代数中的一元二次方程和等差或等比数列前 n 项和的求解、解析几何中的点到直线的距离公式和椭圆标准方程的推导、平面三角中的正弦和余弦定理的证明等，通过对早期教科书的考察，可以对不同方法进行归类，并对方法的演变规律加以分析，为公式或命题的探究式教学提供参照，也为“古今对照”的评价方式提供依据。
其三，不同的教科书都有自己的逻辑体系，从整体上对其加以了解，可以帮助教师理解古今教科书的差异，从而更好地分析和把握现行教科书，进而提升教学水平。例如，关于“等腰三角形底角相等”这一定理，不同教科书的证明方法互有不同，有的采用作顶角平分线的方法，有的采用作底边上的高线的方法，有的则采用作底边上的中线的方法，不同方法的背后是不同的逻辑体系。
其四，对于早期教科书的研究，有助于教师建立不同知识点之间的联系，如几何中的三角形中位线定理与平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理、三角形一边平行线定理及其逆定理之间的联系，解析几何中的三种圆锥曲线的统一性，平面三角中的正弦定理、余弦定理、和角公式和射影公式之间的联系，等等。
其五，早期教科书（特别是20世纪10年代之后出版的教科书）留下了丰富多彩的数学文化素材，如数学价值观、数学的应用、数学的历史等，这些素材是今日教学的有益资源，也有助于教师树立正确的数学观。

汪晓勤，HPM 研究专家，中国科学院科学技术史（理学）博士，浙江大学博士后，华东师范大学教授、博士生导师，曾任全国数学史学会副理事长。长期致力于HPM 理论与方法的传播，具有广阔的国际视野、扎实的理论基础、丰富的实践经验，曾在 2016 年国际 HPM 会议上作大会报告，独立或合作发表论文300 余篇，引领团队与各级各类学校教师合作开发一系列HPM 课例， 其课题“数学史融入初中数学教学的实践研究”于2017 年荣获上海市基础教育教学成果一等奖。

概念篇
1 锐角三角函数的引入
2 锐角三角函数概念
3 特殊角的三角函数
4 任意角
5 任意角的三角函数
6 弧度制
7 周期函数
8 三角函数的图像
9 三角函数的性质
10 反三角函数

公式篇
11 同角三角函数的关系
12 诱导公式
13 和角与差角的正、余弦公式
14 和角的正切公式
15 倍角公式
16 半角公式
17 和差化积公式
18 积化和差公式
19 三角形的面积公式
20 三角形内切圆和旁切圆的半径公式
21 三角形中的三角恒等式
22 其他三角恒等式
23 复数三角形式的若干应用

定理篇
24 正弦定理
25 余弦定理
26 正切定理

文化篇
27 高度与距离的测量
28 三角学在航海、物理和天文学中的应用
29 三角学的教育价值
30 三角学的历史

“美英早期教科书研究系列”，由汪晓勤教授及其研究团队撰写，拟分为四册，分别为代数、几何、三角和解析几何，主要通过概念篇、方法篇、公式篇、定理篇、思想篇和数学文化等各方面对知识的引入、演变、对比等进行细致的研究与介绍，得出相关的结论和启示，以期为教科书的编写以及教学设计等提供借鉴。 例如代数分册，概念篇包括负数、无理数、复数、方程、集合、函数、正比例函数与反比例函数、二次函数、分数指数幂、幂函数、指数函数、对数、对数函数；方法篇包括因式分解、一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、分式方程、不等式；公式篇包括等差数列的和、等比数列的和、排列与组合；定理篇包括符号法则、根与系数的关系、二项式定理、均值不等式；思想篇包括数学归纳法等；数学文化包括代数学的教育价值、代数学的历史。