复变函数与积分变换(李博)

复变函数与积分变换是各类高等学校理工类专业学生的一门重要的数学基础课程，是学习有关后继课程的工具. 复变函数理论作为一种工具，在现代科学技术中有着重要的作用，因此要使得学生能掌握其基本理论和计算技巧. 建立在复变函数理论之上的积分变换，通过积分建立了函数之间的对应关系，这在许多领域已被广泛应用，如电力工程、通信与控制领域、地质勘探等方面以及其他数学、物理和工程技术领域. 为了适应各类高等院校的人才培养需要，我们总结多年的教学经验，编写了本书. 
本书按“复变函数与积分变换”教学大纲的基本要求编写，较全面地介绍了复变函数和积分变换的基本理论和基本方法. 全书分为复变函数与积分变换两部分，其中复变函数部分包括复数与复变函数、解析函数、复积分、复级数、留数定理、保形映射；积分变换部分包括傅里叶（Fourier）变换及性质、拉普拉斯（Laplace）变换及性质、积分变换的应用. 本书结构合理，讨论详尽，易教易学. 书中附有“ *”章节，可供有需要的相关专业选用. 
在编写本书时，我们着重注意了以下几个方面. 
(1) 以解析函数的理论为基础，突出基本概念和方法，尽量做到数学推导严格且简洁. 
(2) 复变函数论中有些内容与高等数学重复，它是后者的推广. 在这方面，对于平行的概念，如极限、连续、微分等，既指出其相似之处，更强调其不同之处. 
(3) 在每章末都配有内容小结，对于本章主要内容进行了简短的总结，提纲挈领，以帮助读者抓住要点，牢固掌握. 
(4) 配备了丰富的例题和习题，希望通过做习题这个环节，来帮助培养、提高解题能力和技巧. 每节后配有习题，便于读者有针对性地进行练习；每章后还配有总习题. 书末附有习题的答案或提示，以便于读者自学. 
本书配有内容丰富的电子课件可免费提供给采用本书作为教材的院校使用，如有需要，请发邮件至cipedu@163com索取. 
本书全部内容的教学总时数不低于48学时. 全书共8章，由李博、王琳、牟丽君和翟发辉编写. 全书由李博和王琳负责修改定稿. 
限于编者水平，本书不妥之处在所难免，敬请读者不吝赐教. 

编者2015年4月 

本书按高等学校的复变函数与积分变换课程教学大纲要求编写，知识体系完整，逻辑性、系统性强，例题及习题丰富.内容包括复变函数与积分变换两部分，其中复变函数内容包括复数与复变函数、解析函数、复积分、复级数、留数定理、保形映射；积分变换内容包括傅里叶（Fourier）变换及性质、拉普拉斯（Laplace）变换及性质、积分变换的应用.本书每章节都配有适量习题，每章附有小结和总习题，习题附有答案，方便读者自学、归纳和复习.书中附有“*”者，可供有需要的专业选用.本书可作为高等学校理工科相关专业师生的教学用书或教学参考书，也可供科技工作者参考.

李博，青岛科技大学数理学院，教授，基础数学系主任， 1978年2月至1982年1月在山东大学数学系计算数学专业学习，获理学学士学位。1988年7月研究生毕业于山东大学数学系获理学硕士学位，研究生毕业于北京理工大学应用数学系获理学博士学位。1999年晋升教授，1992年国家公派留学丹麦奥尔胡斯大学，2000年国家公派留学新西兰奥克兰大学。从事全局最优化、数值分析、数学问题的计算机证明及多目标决策的理论与应用方面的研究，国内外发表学术论文40余篇，已培养硕士研究生12名。已完成国家自然科学基金项目一项，主持全局最优化方法及应用研究项目。负责和主讲《数学分析》《最优化方法》《复变函数论》《高等数学》《线性代数》等精品课程和优秀课程，多次获校教学成果一等奖和二等奖，参编《高等数学》《线性代数》等数学学科教材。

引言1 
第1章复数与复变函数3 
1.1复数3 
1.1.1复数的概念3 
1.1.2复数的代数运算3 
1.1.3复数的表示法4 
1.1.4共轭复数与复数的模5 
1.1.5复数的n次方根10 
1.1.6复球面（无穷远点）11 
习题1.113 
1.2复平面上的点集14 
1.2.1平面点集的初步概念14 
1.2.2区域与Jordan曲线15 
习题1.217 
1.3复变函数18 
1.3.1复变函数的概念18 
1.3.2复变函数的极限与连续性20 
习题1.324 
小结24 
总习题125 
第2章解析函数26 
2.1解析函数的概念26 
2.1.1复变函数的导数与微分26 
2.1.2解析函数的概念与性质28 
习题2.129 
2.2函数解析的充要条件30 
习题2.233 
2.3初等函数34 
2.3.1指数函数、三角函数和双曲函数34 
2.3.2对数函数36 
2.3.3幂函数37 
2.3.4反三角函数与反双曲函数38 
习题2.339 
小结39 
总习题239 
第3章复变函数的积分41 
3.1复变函数积分的概念及性质41 
3.1.1复变函数积分的概念41 
3.1.2复变函数积分存在的条件及计算方法42 
3.1.3复变函数积分的基本性质44 
习题3.146 
3.2柯西（Cauchy）积分定理及应用46 
3.2.1柯西积分定理47 
3.2.2解析函数的原函数与不定积分47 
3.2.3闭路变形原理与复合闭路定理49 
习题3.252 
3.3柯西积分公式与解析函数的高阶导数52 
3.3.1柯西积分公式与均值定理52 
3.3.2解析函数的无穷可微性与高阶导数54 
习题3.356 
3.4解析函数与调和函数的关系56 
习题3.459 
小结59 
总习题360 
第4章复级数62 
4.1复数项级数62 
4.1.1复数列的极限62 
4.1.2复数项级数的概念与审敛性62 
习题4.164 
4.2幂级数64 
4.2.1复变函数项级数的概念64 
4.2.2幂级数的概念与收敛性65 
4.2.3幂级数的运算与性质68 
习题4.270 
4.3泰勒（Taylor）级数70 
4.3.1解析函数的泰勒展开定理71 
4.3.2函数的泰勒级数展开法72 
习题4.375 
4.4洛朗（Laurent）级数75 
4.4.1双边幂级数75 
4.4.2洛朗级数展开定理76 
4.4.3函数的洛朗级数展开法79 
习题4.481 
小结81 
总习题481 
第5章留数及其应用83 
5.1函数的孤立奇点83 
5.1.1孤立奇点83 
5.1.2函数的零点与极点的关系87 
5.1.3函数在无穷远点的性态89 
习题5.191 
5.2留数91 
5.2.1留数的定义和计算91 
5.2.2留数定理95 
5.2.3函数在无穷远点的留数96 
习题5.298 
5.3留数在定积分计算中的应用98 
5.3.1形如∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ的积分99 
5.3.2形如∫ ∞-∞R（x)dx的积分100 
5.3.3形如∫ ∞-∞R(x)eiaxdx(a>0)的积分101 
5.3.4被积函数在实轴上有孤立奇点的积分102 
习题5.3104 
5.4辐角原理及其应用104 
5.4.1对数留数104 
5.4.2辐角原理106 
5.4.3儒歇定理108 
习题5.4108 
小结109 
总习题5110 
第6章保形映射111 
6.1保形映射的概念111 
6.1.1导数的几何意义111 
6.1.2保形映射的概念113 
习题6.1114 
6.2分式线性映射114 
6.2.1分式线性映射的三种特殊形式115 
6.2.2分式线性映射的性质116 
6.2.3唯一决定分式线性映射的条件120 
6.2.4两个典型区域的分式线性映射120 
习题6.2123 
6.3几个初等函数所构成的映射123 
6.3.1幂函数与根式函数123 
6.3.2指数函数与对数函数125 
6.3.3复合映射举例126 
习题6.3127 
小结127 
总习题6128 
第7章傅里叶变换130 
7.1傅里叶（Fourier）积分定理130 
7.1.1积分变换的定义130 
7.1.2傅里叶积分定理131 
习题7.1135 
7.2傅里叶变换及逆变换135 
7.2.1傅里叶变换及逆变换的定义135 
7.2.2傅里叶变换举例136 
习题7.2136 
7.3广义傅里叶变换137 
7.3.1狄克拉δ函数的性质137 
7.3.2广义傅里叶变换140 
习题7.3142 
7.4傅里叶变换的性质142 
7.4.1傅里叶变换的基本性质142 
7.4.2傅里叶变换的卷积性质144 
习题7.4145 
7.5傅里叶变换的应用145 
7.5.1傅里叶变换在求常系数常微分方程的应用146 
7.5.2傅里叶变换对某些积分方程的应用146 
习题7.5147 
小结147 
总习题7149 
第8章拉普拉斯变换150 
8.1拉普拉斯(Laplace)变换的定义及存在性定理150 
8.1.1拉普拉斯变换的定义150 
8.1.2拉普拉斯变换的存在性定理151 
习题8.1152 
8.2拉普拉斯变换的性质153 
8.2.1拉普拉斯变换的基本性质153 
8.2.2初值及终值定理156 
习题8.2157 
8.3卷积性质及卷积定理157 
8.3.1卷积性质157 
8.3.2卷积定理158 
习题8.3159 
8.4拉普拉斯逆变换159 
8.4.1反演公式159 
8.4.2求拉普拉斯逆变换161 
习题8.4163 
8.5拉普拉斯变换的应用163 
8.5.1利用拉普拉斯变换求常微分方程和积分方程的解163 
8.5.2利用拉普拉斯变换求常微分方程组的解165 
习题8.5167 
小结167 
总习题8168 
部分习题参考答案170 
参考文献182