初等代数研究

前 言

教*部颁布了《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订,以下简称《标准》）.《标准》中提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大数学核心素养.数学教育从注重基础知识、基本技能到注重能力发展再到注重人的全面发展.《标准》中指出,数学教育最终的目的是通过数学学科的学习,让学生会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界.

我们在教学过程中发现以下现象:学生在大学和中学学过的内容关联度不大,当他们到中学实习以及毕业后到中学任教时,大学所学的用不上；由于学生的认知水平的局限性,导致知识体系零散；学生计算能力较强,但逻辑思维、推理能力、应用能力较弱.为了适应数学教育的改革,我们借鉴他人的宝贵经验,结合近年来教学过程中发现的问题,编写了本教材.

本教材的编写在以下几个方面做了努力.

一、 为了适应目前的数学教育改革,本教材加入了组合数学初步、概率论、数理统计和数学建模四个板块,形成了数系、式、函数、方程、不等式、数列、组合数学初步、概率论、数理统计、数学建模十个部分.教材编写遵循结构化的理念,将知识体系层层递进、系统融合,更好地解决了学生知识碎片化问题.

二、 《标准》中给出了数学文化的内涵及考核要求.本教材从数学发展史的角度,力图展现每个知识点的来龙去脉,渗透数学文化,强调数学思想、方法和应用.如通过无理数、复数、函数等章节的学习,了解知识的发生、发展过程，学习转化、对称、类比等数学思想和方法.体会知识的形成一般都要经历几十年甚至上百年、上千年，在一代代数学家孜孜不倦地探索与努力下才有了今天的数学成就.

三、 加强大学与中学数学知识的联系,将二者充分融合.比如,比较中学与大学数学教材中多项式因式分解定义、用行列式方法分解因式、用范德蒙（Van der Monde）行列式证明多项式恒等、应用微分学研究函数的性质、用微积分和数理统计方法研究自由落体运动和铅球投掷等数学模型.

本书可作为全日制高等师范院校培养本科生、研究生的教材或参考书,也可以作为数学教师、数学爱好者的参考书.

本书的总体框架和编写大纲由编者反复讨论后确定.第一、二、十章由管艳编写,第三章由丁玮编写,第四、五章由谌德编写,第六章到第九章由戴文荣编写,最后由管艳统稿.

本书的编写过程中,研究生丁丽杉、顾晓宇、江锦、蒋书杰、李梅、凌嘉宇、刘丹桐、刘阳、刘杨、毛培菁、沈云蝶、万仁玉、吴倩、吴思宇、吴欣桐、徐俊杰、徐明、于佳欣、张格格、张松环、周犇犇、周国情做了大量的习题编译、资料查找、图像绘制、文稿矫正等工作.

本书在编写过程中,上海师范大学数学系给予了大力的支持和切实的保障.上海师范大学数学系田红炯教授、郭谦教授、娄本东教授、储继峰教授、王晚生教授、张世斌教授、焦裕建教授、李昭祥教授、陆新生副教授等对我们教材的编写给予了许多的帮助和指导.华东师范大学汪晓勤教授、洋泾中学王海平校长、控江中学特级教师许敏、七宝中学特级教师文卫星、静安区教研员特级教师任升录等专家给了我们宝贵的修改意见.在此谨向他们表示衷心的感谢！书稿中引用了许多作者的文献,得到了上海社会科学院出版社,特别是编辑王芳女士的大力支持,借书稿出版之际,一并表示诚挚的感谢！

本书在成稿过程中经过多次讨论，但因时间紧迫、水平有限，若有疏漏不当之处，还请广大读者批评指正.

为适应目前数学教育改革趋势,我们特组织一批骨干教师对师范生必修课程《初等代数研究》进行教材方面的改革.《初等代数研究》包括：数系、式、函数、方程、不等式、数列、组合数学初步、概率论、数理统计和数学建模十个部分.

本书依据最新课程标准（高中和义务教育阶段）中对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大数学核心素养的考查要求,设置相应板块,旨在整合学生的知识体系,加强大学数学与中学数学知识的联系,将二者充分融合.

本书可作为全日制高等师范院校培养本科生、研究生的教材或参考书,也可以作为数学教师、数学爱好者的参考书.

四位作者均为上海师范大学数理学院副教授.

第一章 数系

1.1数的概念的扩展

1.1.1数的概念发展简史

1.1.2数系扩展的方式与原则

1.2自然数集

1.2.1基数理论

1.2.2序数理论

1.2.3自然数集的性质

1.2.4自然数的减法与除法

1.2.5数学归纳法

1.3整数环

1.3.1整数概念

1.3.2整数运算与整数环

1.3.3整数集的性质

1.3.4整除和同余

1.4有理数域

1.4.1有理数的概念

1.4.2有理数的顺序

1.4.3有理数的运算

1.4.4有理数集的性质

1.5实数域

1.5.1无理数的引入

1.5.2实数概念及其顺序

1.5.3实数集的运算

1.5.4实数集的性质

1.6复数域

1.6.1复数概念与复数域的构成

1.6.2复数的表示形式

1.6.3复数的开方

1.6.4复数的性质

习题一

第二章 式

2.1解析式的概念与分类

2.1.1解析式的分类

2.1.2解析式的恒等

2.2多项式

2.2.1多项式的基本概念

2.2.2多项式的恒等

2.2.3多项式的因式分解

2.2.4多项式因式分解的特点

2.3分式

2.3.1基本概念及性质

2.3.2分式恒等变形举例

2.4根式

2.4.1算术根的定义

2.4.2算术根的运算法则

2.4.3根式的化简

2.4.4复合二次根式

2.4.5根式计算举例

2.5指数式与对数式

2.5.1指数式

2.5.2对数式

2.6三角式与反三角式

2.6.1三角式

2.6.2反三角式

习题二

第三章 函数

3.1函数的概念与性质

3.1.1函数的定义

3.1.2函数的表示法

3.1.3函数的四则运算

3.1.4反函数

3.1.5复合函数

3.1.6分段函数

3.2函数的定义域与值域

3.2.1函数的定义域

3.2.2函数的值域

3.3函数的几种特性

3.3.1有界性

3.3.2单调性

3.3.3奇偶性

3.3.4周期性

3.3.5凸凹性

3.4初等函数及其分类

3.4.1基本初等函数

3.4.2初等函数

3.5极限与连续

3.5.1极限

3.5.2函数的连续性

3.6导数与微分

3.6.1导数与可微的概念

3.6.2求导法则

3.7函数的图像

习题三

第四章 方程

4.1方程的概念、分类及同解性

4.1.1方程的概念

4.1.2方程的分类

4.1.3方程的同解性

4.2整式方程

4.2.1一元n次方程根的性质

4.2.2一元三次方程的解法

4.2.3一元四次方程的解法

4.2.4关于五次以上方程的求解公式

4.2.5高次方程的一些解法

4.2.6倒数方程

4.3分式方程

4.4无理方程

4.5不定方程

4.6初等超越方程

4.6.1指数方程

4.6.2对数方程

4.6.3三角方程和反三角方程

4.7方程组

4.7.1方程组的概念

4.7.2方程组的分类

4.7.3方程组的同解性

4.7.4方程组的解法举例

习题四

第五章 不等式

5.1不等式的概念与性质

5.1.1不等式的概念

5.1.2不等式的性质

5.2解不等式

5.2.1不等式的同解性

5.2.2代数不等式的解法

5.2.3初等超越不等式的解法

5.3不等式的证明

5.4著名的不等式

习题五

第六章 数列

6.1等差数列和等比数列

6.1.1等差数列

6.1.2等比数列

6.2数列的通项与部分和

6.2.1求数列的通项与部分和的常用方法

6.2.2数列中的最值问题

6.3数列的极限

6.3.1数列极限的定义与柯西收敛准则

6.3.2数列极限的性质

6.3.3极限存在的充分条件

6.4级数与数列

6.4.1数项级数与数列

6.4.2幂级数与数列

6.4.3傅里叶级数与数列

习题六

第七章 组合数学初步

7.1排列与组合

7.1.1枚举计数

7.1.2加法原理与乘法原理

7.1.3排列与排列数

7.1.4组合与组合数

7.2包含容斥原理

7.3抽屉原则

7.4数学归纳法

7.5组合趣题

7.5.1染色问题

7.5.2操作与游戏

7.5.3组合最值

习题七

第八章 概率论

8.1随机事件及其概率

8.1.1随机事件

8.1.2频率与概率的统计定义

8.1.3古典概型与古典概率

8.1.4伯努利概型与二项概率公式

8.1.5几何概型与几何概率

8.1.6概率的公理化定义

8.2随机变量及其分布和数字特征

8.2.1离散型随机变量的分布

8.2.2连续型随机变量的分布

8.2.3随机变量的分布函数

8.2.4随机变量的数字特征—数学期望和方差

8.2.5随机变量的独立性、协方差与相关系数

8.2.6常见的随机变量的概率分布(族)

8.3大数定律与中心极限定理

8.3.1切比雪夫不等式

8.3.2大数定律

8.3.3中心极限定理

习题八

第九章 数理统计

9.1抽样方法、统计量与抽样分布

9.1.1总体、样本和抽样方法

9.1.2统计量

9.1.3抽样分布

9.2从样本估计总体——图表法

9.2.1频数频率分布表

9.2.3频率分布折线和总体密度曲线

9.2.4茎叶图

9.2.5 p分位数与箱线图

9.3参数估计

9.3.1估计量

9.3.2参数点估计的两种方法

9.3.3贝叶斯估计

9.3.4参数的区间估计

9.4假设检验

9.4.1假设检验的基本思想

9.4.2正态总体参数的假设检验

9.4.3抽样分布的假设检验

习题九

第十章 数学建模

10.1自由落体问题

10.2铅球投掷问题

10.3人口增长问题

附录 习题提示与答案

参考文献

作为高校数学系的教师,作者在教学过程中发现以下现象:学生在大学和中学学过的内容关联度不大,当他们到中学实习以及毕业后到中学任教时,大学所学的用不上由于学生的认知水平的局限性,导致知识体系零散；学生计算能力较强,但逻辑思维、推理能力、应用能力较弱.

鉴于此, 为了适应数学教育的改革,上海师范大学的四位教师借鉴他人的宝贵经验,结合近年来教学过程中发现的问题,编写了本教材.作者团队在以下几个方面做了创新的尝试和努力.

一、为了适应目前的数学教育改革,本教材新加入了组合数学初步、概率论、数理统计和数学建模四个板块.

二、针对《标准》中给出的数学文化的内涵及考核要求,本教材从数学发展史的角度,力图展现每个知识点的来龙去脉,渗透数学文化,强调数学思想、方法和应用.

三、加强大学与中学数学知识的联系,将二者充分融合.

本书编写遵循结构化的理念,将知识体系层层递进、系统融合,更好地解决了学生知识碎片化问题. 书中渗透数学思想,重视数学文化,加强数学建模,增加组合数学初步、概率论与数理统计.图书内容密切联系中学与大学数学实际,逻辑严谨、分析透彻,是一本适应新时代教育改革需要的优秀教材.