傅里叶分析

前言

引言

第1章Fourier级数的起源1

1.1弦振动1

1.1.1波动方程的导出4

1.1.2波方程的解6

1.1.3实例：拨弦11

1.2热传导方程12

1.2.1热传导方程的推导12

1.2.2圆盘上的稳态热传导方程13

1.3练习15

1.4问题18

第2章Fourier级数的基本性质19

2.1问题的例子和公式20

2.1.1主要的定义和一些实例22

2.2Fourier级数的专享性26

2.3卷积29

2.4好核31

2.5Cesaro和Abel求和：Fourier级数的应用34

2.5.1Cesaro平均和加和34

2.5.2Fejér定理35

2.5.3Abel平均与求和36

2.5.4Poisson核和单位圆盘上的Dirichlet问题37

2.6练习39

2.7问题44

第3章Fourier级数的收敛性47

3.1Fourier级数的均方收敛48

3.1.1向量空间和内积48

3.1.2均方收敛的证明52

3.2逐点收敛56

3.2.1一个局部的结果56

3.2.2具有发散Fourier级数的连续函数的例子57

3.3练习60

3.4问题66

第4章Fourier级数的一些应用70

4.1等周不等式70

4.1.1曲线、长度和面积71

4.1.2等周不等式的内容与证明72

4.2Weyl等分布定理73

4.2.1实数以整数取模74

4.3处处不可微的连续函数78

4.4圆上的热方程82

4.5练习83

4.6问题86

第5章R上的Fourier变换90

5.1Fourier变换的基本理论91

5.1.1实数域上函数的积分91

5.1.2Fourier变换的定义93

5.1.3Schwartz空间94

5.1.4S上的Fourier变换94

5.1.5Fourier反演98

5.1.6Plancherel公式99

5.1.7推广到适度下降函数情形100

5.1.8Weierstrass逼近定理101

5.2偏微分方程中的一些应用102

5.2.1实数域上的时间依赖性热传导方程102

5.2.2上半平面的稳态热传导方程104

5.3Poisson求和公式107

5.3.1Theta和Zeta函数109

5.3.2热核109

5.3.3Poisson核111

5.4Heisenberg不确定性原理111

5.5练习113

5.6问题120

第6章Rd上的Fourier变换125

6.1预备知识126

6.1.1对称性126

6.1.2Rd上的积分127

6.2Fourier变换的初等理论129

6.3Rd×R上的波动方程131

6.3.1解的Fourier变换表示131

6.3.2R3×R上的波动方程135

6.3.3R2×R上的波动方程：降维法138

6.4径向对称与Bessel函数140

6.5Radon变换及其应用141

6.5.1R2中的X射线变换141

6.5.2R3中的Radon变换143

6.5.3平面波的注记146

6.6练习147

6.7问题150

第7章有限Fourier分析155

7.1Z(N)上的Fourier分析155

7.1.1群Z(N)156

7.1.2群Z(N)上的Fourier逆变换定理和Plancherel等式157

7.1.3快速Fourier变换159

7.2有限Abelian群上的Fourier分析160

7.2.1Abelian群160

7.2.2特征163

7.2.3正交关系164

7.2.4特征集合165

7.2.5Fourier逆变换和Plancherel公式166

7.3练习167

7.4问题170

第8章Dirichlet定理171

8.1一些基本的数论知识171

8.1.1算术基本定理171

8.1.2素数的无穷性173

8.2Dirichlet定理178

8.2.1Fourier分析、Dirichlet特征和定理简化180

8.2.2Dirichlet L-函数181

8.3Dirichlet定理的证明183

8.3.1对数183

8.3.2L-函数185

8.3.3L-函数的非消失性189

8.4练习196

8.5问题199

第9章积分201

9.1Riemann可积函数的定义201

9.1.1基本性质202

9.1.2零测集和可积函数的不连续性205

9.2多重积分207

9.2.1Rd上的Riemann积分207

9.2.2累次积分208

9.2.3变量替换公式209

9.2.4球坐标209

9.3反常积分、Rd上的积分210

9.3.1缓降函数的积分210

9.3.2累次积分211

9.3.3球坐标213

参考文献214