数学培优竞赛讲座（九年级）

从1985年我国次派队参加国际数学奥林匹克竞赛(International Mathematical Olympiad，IMO)以来，中国代表队参加了34次IMO，其中，20次团队总分居位(有12次六位队员都获得金牌)，8次团队总分居第二位，2次团队总分居第三位，各1次团队总分居第四、六、八位，共有200人参赛，共获金牌157块、银牌35块、铜牌6块．早在1994年，中国科学院数学物理学部的王梓坤院士就写道：“(我国中学生在IMO中)连续获得团体冠军，个人金牌数也名列前茅，消息传来，全国振奋．我国数学，现在有能人，后继有强手，国内外华人无不欢欣鼓舞．”这对青少年学好数学无疑是莫大的鼓舞和鞭策，极大地激发了青少年学习数学的热情．

为了给对数学有兴趣的初中生提供一个提高解题能力和培养创新精神的平台，我们以中考数学难题和国内外初中数学竞赛为背景，根据多年辅导初中生参加中考数学和初中数学竞赛所积累下来的经验、体会和素材，编写了这套“数学培优竞赛新思维”丛书. 本丛书包括《数学培优竞赛讲座》(七年级、八年级、九年级)，以及配套的《数学培优竞赛一讲一练》(七年级、八年级、九年级).

《数学培优竞赛讲座》每册分培优篇和竞赛篇两大部分．

培优篇，与课堂教学同步，从课内到课外逐步引申扩充、由浅入深、由易到难、循序渐进，是课堂教学的自然延伸；在夯实基础的同时，通过新颖、有趣的数学问题,构建通往数学奥林匹克前沿的捷径；在学生力所能及的范围内扩展知识视野，提高思维能力；在巩固深化初中数学教材知识的同时，拓宽中考数学和竞赛数学的知识．

竞赛篇，以初中数学奥林匹克竞赛中的热点、难点问题为载体，介绍竞赛数学中令人耳目一新的解题方法与技巧，有助于激发学生创新与发现的灵感．这些内容是数学奥林匹克竞赛中生动活泼、富于创新性的内容．这类问题的特点是涉及的数学知识较少而包含的技巧较多，理解和解决这类问题往往不需要很多专门的数学知识，而发现解法却相当困难，没有固定的模式可以套用．它要求学生自己去探索、尝试，通过观察、思考，利用归纳、枚举、类比、排序、估计、构造、递降、递推、反证、奇偶分析、染色、赋值、不变量等方法，发现规律，找到解决问题的门径，这恰是数学奥林匹克竞赛试题所应有的风格．这些内容可帮助学生开发智力，提高水平，从而参加高层次的竞赛．

《数学培优竞赛讲座》以专题讲座的形式编写，每讲的主要栏目如下.

(1) 数学名言欣赏：以名人名言开宗明义，开启每讲的数学学习之旅.

(2) 知识方法扫描：概括竞赛数学的相关知识、方法与技巧，突出重点、难点和赛点.

(3) 典型例题解析：含“分析”“解”“分析与解”和“评注”，例题总个数控制在8道，由基础题(3道中考难度的试题)、提高题(3道全国初中数学联赛一试难度的试题)、综合题(2道全国初中数学联赛二试难度的试题)组成.本书中很多例题的解答之后有评注，评注的作用是对某些问题或解答过程中意犹未尽之处进行阐述分析，以起到画龙点睛的效果；对可进一步深入研究的问题予以拓展引申，意在引导学生去创造；对一题多解的问题提出相关的解法，发现特技与通法之间的联系．总之，评注的目的在于，一方面揭示问题的背景和来源，另一方面启迪学生发现解决问题的思路及通过合理猜测提出新问题的方法，使学生不仅知其然，更知其所以然，以期达到授之以渔的目的．

(4) 强化训练：含选择题、填空题、解答题，为方便自学，在参考答案中给出了每题详细的解答过程． 

《数学培优竞赛一讲一练》是《数学培优竞赛讲座》的配套练习册，可以为使用者提供自我检测；书后附有详细解答，可以检验使用者对数学知识的理解水平和掌握程度. “一讲一练”与“讲座”配套使用，才能达到较好的学习效果.

希望通过本丛书的学习，学生能够发现数学的美丽和魅力，体会数学的思想和方法，感受数学的智慧和创新，体验经过不懈的探索而获得成功的兴奋和快乐，进而激发学习数学的兴趣．

本丛书是初中学生参加数学竞赛的宝典，是冲刺重点高中、破解中考数学压轴题的利器，是中学数学教师进行数学竞赛辅导、进修的益友． 

在本丛书的编写过程中，笔者参考并引用了有关资料中的优秀题目，为求简明，书中未一一注明出处，在此谨向原题编者表示感谢．由于笔者水平有限，书中难免会有疏漏之处，诚挚欢迎读者批评与指正．

2020年5月1日

本书以中考数学难题和国内外初中数学竞赛为背景，按照初中数学课程的进度分专题编写，在内容的安排上力求与课堂教学同步，在夯实基础的同时，通过新颖、有趣的数学问题，构建通往数学奥林匹克前沿的捷径；在巩固深化初中数学教材知识的同时，拓宽有关中考数学和竞赛数学的知识，介绍了令人耳目一新的巧妙解题方法与技巧，有助于激发创新与发现的灵感，开发智力，提高中考数学和初中数学竞赛的成绩. 本书可供初中生及准备参加初中数学竞赛的学生使用，同时也适合中学数学教师、数学爱好者以及高等师范院校数学教育专业的大学生、研究生和数学教师参考.

朱华伟，第50届国际数学奥林匹克中国国家队领队、主教练。
朱华伟，深圳中学校长，博士，二级教授，特级教师，博士生导师，湖北省十大杰出青年，享受国务院政府特殊津贴专家，全国优秀教育工作者，美国加州州立大学洛杉矶分校高级访问学者。
兼任中国创新人才研究会副会长、中国教育数学学会常务副理事长，中国数学会教育委员会委员，全国华罗庚金杯赛主试委员，国际数学竞赛学术委员会副主席。
多次参与中国数学奥林匹克、全国高中数学联赛、女子数学奥林匹克、西部数学奥林匹克及青少年数学国际城市邀请赛的命题工作。曾任国际数学奥林匹克中国队领队、主教练，率中国队获团体冠军。在国内外发表论文100余篇，出版著作100余部。2018年获教学成果奖二等奖。

培优篇/1

第1讲判别式及其应用1

第2讲韦达定理6

第3讲方程的解法12

第4讲列方程解应用问题16

第5讲一元二次方程的整数根23

第6讲方程组的解法29

第7讲二次函数36

第8讲函数的值44

第9讲函数的综合应用50

第10讲圆的基本概念59

第11讲圆的位置关系65

第12讲几何变换71

第13讲概率初步78

第14讲反比例函数及其应用85

第15讲相似三角形92

第16讲比例式的证明方法99

第17讲圆内的比例线段106

第18讲四点共圆112

第19讲三角形的“四心”118

第20讲锐角三角函数 124

第21讲几何与三角129

第22讲函数中的动态几何问题135

竞赛篇/149

第23讲面积问题和面积方法149

第24讲正多边形157

第25讲几何极值163

第26讲整数几何171

第27讲命题与轨迹177

第28讲几何作图185

第29讲反证法191

第30讲分类与讨论197

第31讲从简单情形看问题203

第32讲原理210

第33讲构造法215

第34讲探索型问题223

强化训练参考答案/231

数学名言欣赏：以名人名言开宗明义，开启每讲的数学学习之旅；
知识方法扫描：概括竞赛数学的相关知识、方法与技巧，突出重点、难点和赛点；
典型例题解析：（以8年级“讲座”为例）含“分析”、“解”和“评注”，例题总个数控制在8道，由基础题(3道中考难度的试题)、提高题(3道全国初中数学联赛一试难度的试题)、综合题(2道全国初中数学联赛二试难度的试题)组成；很多例题的解答之后有评注，评注的作用是对某些问题或解答过程中意犹未尽之处进行阐述分析，起到画龙点睛之效；对可进一步深入研究的问题予以拓展引申，意在引导学生去创造；对一题多解的问题提出相关的解法，沟通特技与通法之间的联系．总之，评注的目的在于，一方面揭示问题的背景和来源，另一方面启迪学生发现解决问题的思路及通过合理猜测提出新问题的方法，使学生不仅知其然，更知其所以然，以期达到授之以渔的目的．
同步训练：含选择题、填空题、解答题，为方便自学，在书后每题均给出详细解答过程．