【假一罚四】复变函数刘波主编

刘波，男，副教授，博导，主要研究方向是工程中的前沿数值方法及其软件开发、计算固体力学、结构动力学等。以第一兼/或通讯作者在《Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.》、《Int J Numer Methods Eng.》等国际期刊上发表30多篇学术论文，出版专著《微分求积升阶谱有限元方法》、《A Hierarchical Quadrature Element Method》、《板壳自由振动的精确解》。目前专注于计算机辅助设计与分析的无缝集成及其软件开发。获批自然科学基金项目3项，承担了多项企业工程软件开发、仿真模拟项目，参与了“两机”专项等国家项目。

第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数及其代数运算 1

1.1.1 复数的概念 1

1.1.2 复数的代数运算 2

习 题 7

1.2 复数的几何表示 7

1.2.1 复平面 7

1.2.2 复无穷和复球面 12

习 题 13

1.3 复数的乘幂与方根 14

1.3.1 乘积与商 14

1.3.2 整数次幂与方根 14

习 题 18

1.4 区 域 19

1.4.1 开集和闭集 19

1.4.2 区域和连通性 21

习 题 23

1.5 复变函数 23

1.5.1 复变函数的定义 23

1.5.2 映射的概念 25

习 题 29

1.6 复变函数的极限和连续性 30

1.6.1 复变函数的极限 30

1.6.2 复变函数的连续性 34

习 题 35

1.7

* 四元数及其应用 36

1.7.1 超复数 36

1.7.2 四元数的定义 37

1.7.3 三维旋转 39

1.7.4 旋转四元数 40

本章小结 41

作 业 45

第2章 解析函数 48

2.1 解析函数的概念 48

2.1.1 复变函数的导数与微分 48

2.1.2 解析函数及其简单性质 51

习 题 52

2.2 柯西 黎曼方程 52

习 题 56

2.3 初等复变解析函数 57

2.3.1 复变指数函数 57

2.3.2 复变对数函数 58

2.3.3 复变幂函数 61

2.3.4 复变三角函数和复变双曲函数 63

2.3.5 复变反三角函数和复变反双曲函数 65

习 题 66

本章小结 68

作 业 70

第3章 复变函数的积分 72

3.1 复变函数积分的概念 72

3.1.1 复积分的定义 72

3.1.2 路径积分的计算 74

3.1.3 路径积分的性质 78

习 题 79

3.2 柯西 古萨基本定理 81

3.3 多连通域的柯西 古萨定理 82

习 题 86

3.4 原函数与不定积分 87

习 题 90

3.5 柯西积分公式 … 90

3.6 解析函数的高阶导数公式 93

3.6.1 路径积分的导数 … 93

3.6.2 莫雷拉定理 95

习 题 96

3.7 解析函数与调和函数的关系 97

习 题 100

本章小结 100

作 业 103

第4章 级 数 106

4.1 复数项级数 106

4.1.1 复数列的收敛性 106

4.1.2 复数项级数的概念 108

习 题 111

4.2 幂级数 111

4.2.1 幂级数的概念 111

4.2.2 收敛圆和收敛半径 113

4.2.3 收敛半径的求法 114

4.2.4 幂级数的运算和性质 115

习 题 117

4.3 泰勒级数 117

习 题 121

4.4 洛朗级数 121

习 题 126

本章小结 126

作 业 129

第5章 留 数 132

5.1 孤立奇点 132

5.1.1 可去奇点 132

5.1.2 本性奇点 133

5.1.3 极 点 133

5.1.4 复无穷处的奇点 134

5.1.5 函数的零点与极点的关系 134

习 题 137

5.2 留数和留数定理 137

5.2.1 留数的定义及留数定理 137

5.2.2 留数的计算规则 139

5.2.3 无穷远点的留数 140

习 题 143

5.3 留数在定积分计算中的应用 144

5.3.1 三角函数在[0,2π]上的积分 144

5.3.2 形如∫∞-∞f(x)dx 的积分 145

5.3.3 形如∫∞-∞f(x)cosxdx 或∫∞-∞f(x)sinxdx 的积分 147

习 题 149

本章小结 149

作 业 152

第6章 共形映射 155

6.1 共形映射的概念 155

6.1.1 解析函数导数的几何意义 155

6.1.2 共形映射的定义 156

6.1.3 临界点附近的映射行为 158

习 题 159

6.2 分式线性映射 160

6.2.1 分式线性映射的定义 160

6.2.2 保圆性 162

6.2.3 保对称性 163

习 题 166

6.3 施瓦茨 克里斯托费尔映射 167

6.3.1 将实轴映射为多边形 168

6.3.2 施瓦茨 克里斯托费尔映射的概念 169

6.3.3 将上半平面映射为三角形或矩形 172

本章小结 175

第7章 弹性理论 179

7.1 弹性理论中的概念 179

7.2 应力状态 180

7.2.1 三轴应力状态 181

7.2.2 平面状态 182

7.2.3 双轴应力状态 182

7.3 工程应力状态 183

7.4 平衡方程 186

7.4.1 在笛卡尔坐标系下 186

7.4.2 在极坐标系下 187

7.5 双调和方程 188

7.6 艾里应力函数 190

7.7 复势函数 196

本章小结 203

第8章 线弹性断裂力学 207

8.1 加载模式 207

8.2 韦斯特加德应力函数 208

8.2.1 边界条件 210

8.2.2 近场应力分析 211

8.3 二维裂纹问题 212

8.3.1 Ⅰ型裂纹 212

8.3.2 Ⅱ型裂纹 216

8.3.3 Ⅲ型裂纹 218

8.4 裂纹问题的特征函数法 218

本章小结 222

附录 A 复变函数的Python计算 225

A.1 用 Python化简复数 225

A.1.1 在 Python中创建复数 225

A.1.2 Python中的复数类型 226

A.1.3 复数算术 227

A.1.4 Python中关于复数的数学模块 230

A.1.5 Python中的复数剖析 236

A.1.6 用 Matplotlib在 Python中绘制复数 238

A.2 用SymPy做符号计算 240

A.2.1 符号的定义 241

A.2.2 函数类 241

A.2.3 极 限 242

A.2.4 积 分 242

A.2.5 微 分 243

A.2.6 四元数 244

A.2.7 绘 图 245

参考文献 248

本书为高等理工科院校《复变函数》课程教材，主要内容为复变函数以及复变函数在弹性理论和断裂力学中的应用。全书共分八章，其中前六章主要介绍了复变函数的基本理论，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数和共形映射；后两章介绍了复变函数在弹性理论和断裂力学中的应用。本书在兼顾数学证明和应用之间平衡的同时，补充了复变函数的力学应用和Python实践，并配有章节小结、习题及作业。