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群论思想及其力量小议(高次方程不可根式求解的理解)

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浙江嘉兴

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作者盛新庆

出版社清华大学

ISBN9787302511625

出版时间2018-10

装帧其他

开本其他

定价39元

货号30329268

上书时间2024-11-13

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商品描述: 目录
第1章多项式方程的拉格朗日求解〖1〗

第2章域
〖1〗

第3章群〖1〗

第4章域和群〖1〗

第5章高次方程不可根式求解的理解〖1〗

第6章域和群关系的再理解〖1〗

第7章群论思想诞生过程探究〖1〗

第8章回望群论创建〖1〗

第9章群论、微积分、复数〖1〗

第10章群、诗、画〖1〗

第11章群论、原创力、教育〖1〗

索引〖1〗

内容摘要
\"本书从分析二次、三次、四次多项式方程求解过程开始,通过从两个角度观察它们的求解过程，抽象出核心数学概念“域”和“群”。接着，仍以方程求解过程为对象，围绕“域”和“群”，按数学方式进行提炼和抽象：发明“域”和“群”的数学运算，建立它们的对应关系，从而清晰地看到了高次方程不可根式求解的机理。不仅如此，本书还分析指出：微积分、复变函数、甚至诗歌、绘画，其创造过程与群论创建一脉相承，从而在更广泛意义上，揭示抽象的力量，抽象的化繁为简之美。本书宗旨就是希望通过重温或虚构群论发明的抽象过程，展示群论思想及其抽象的力量，揭示创造力的根源，启迪对教育宗旨和内涵的再思考、再定义。
本书可作为中学生和大学生的素质教育教材，也可供对数学、思想、创造力、教育等领域感兴趣的读者参阅。
\"

精彩内容
第1章多项式方程的拉格朗日求解问题是一门学问的核心。好的问题往往能孕育出新理论、新方法、新工具。解方程就是一个很好的数学问题，它孕育了复数，由此建立了强大的复变理论及分析工具；更孕育出现代数学的开端——群论。下面就来看看解方程是如何孕育出群论的。
不妨以一元二次方程的求解为例：ax2+bx+c=0，a≠0（1）这里a、b、c为有理数。我们知道，为了解此方程，需要做如下配方：ax2+bax+b2a2－b24a+c=ax+b2a2－b2－4ac4a=0（2）令y=x+b2a，s=b2-4ac4a2，上面方程（2）变为如下二次常数方程：y2=s（3）这样y便可用根式表达出来：y=±s，进而原方程的两个根便可求出：x1,x2=－b±b2－4ac2a（4）分析上述求解过程可以知道：关键在于找到了变换y=x+b2a，这样原方程ax2+bx+c=0就变成了一个同等幂次的常数方程y2=s。很自然，我们会想到：能否用此方法去求三次、四次，乃至任意次方程的根呢？不妨先看下面的三次方程：ax3+bx2+cx+d=0，a≠0（5）仿照二次方程的求解方法，我们需要找到一个变换y=f(x)，将上述方程（5）变成如下形式的三次常数方程：y3=s，s是一个常数（6）这个变换y=f(x)具体是什么呢？是否像解二次方程那样，是一个关于x的一次函数？如果f(x)是一次函数，那么自然最好，因为那样x便可通过解一次方程求得；如果f(x)是二次函数，也行，因为那样x便可通过解二次方程求得；如果f(x)是三次函数或更高次函数，那就不行了，因为那样x便需求解跟原方程幂次相等，或者更高的方程，这与求解原方程相比没有任何简化，甚至更复杂。经此分析，我们可以知道，这个变换要成功，f(x)应该是一个不超过二次的函数。下面的问题是：是否存在这样的变换呢？如果存在，这个变换的具体形式是什么呢？回答这两个问题，似乎并不容易。既然如此，我们不妨回来对二次方程的求解公式再做一点分析，看看能否找到思路。很显然，二次方程根的表达式中的根号项很重要，因为从某种意义上来说，它是将一般二次方程转化成二次常数方程（形如x2=s)所要进行的变换。为了看清楚此变换，将方程（4）写成x1,x2=12－ba±ba2－4ca（7）根据韦达定理，x1+x2=－bax1x2=ca（8）可以知道根号部分实际上就是±(x1－x2)。也就是说，经过变换式y1=x1-x2和y2=x2-x1而得的y1和y2满足二次常数方程（3）。由此可见，变换式是方程两个根的线性组合，组合系数是1和-1。这组组合系数1和-1恰巧是二次单位根。两个具体变换式正是这组组合系数——两个二次单位根交换位置而成：变换式y1是单位根1作为x1的系数，和单位根-1作为x2的系数组合而成；变换式y2是单位根1和-1交换位置，单位根-1作为x1的系数，和单位根1作为x2的系数组合而成。为了便于推广到高次方程，我们把单位根1和-1作为系数，在x1和x2前位置的交换称为置换。据此可以推测，三次方程的变换式也应该是方程三个根的线性组合，组合系数是三次单位根1、ω和ω2，这里ω3=1，具体变换式就应该是三次单位根1、ω和ω2作为x1、x2和x3的前系数置换而成，置换个数为3！=6，具体为y1=x1+ωx2+ω2x3y2=x1+ω2x2+ωx3y3=ωx1+x2+ω2x3y4=ωx1+ω2x2+x3y5=ω2x1+ωx2+x3y6=ω2x1+x2+ωx3（9）关于以变换式yi(i=1,2,…，6)为根的方程应该为∏6i=1(y-yi)=0（10）根据三次单位根ω的性质，不难得到y4=ωy1，y3=ωy2，y5=ω2y2和y6=ω2y1。y1、y2、y3、y4、y5、y6这6个变换式中，y3、y4、y5、y6都可以用y1和y2来表示，故称y1和y2为独立变换式，于是式（10）便可简化为(y3-y31)(y3-y32)=0（11）因此，如果y31+y32和y31y32可由原方程系数表达，则式（11）的6个根便可得到。原三次方程（5）的根便可由变换式（9）反解得到。表述二次方程根与系数之间关系的韦达定理（8），实际上对于三次方程同样有下面表述方程根与系数之间的韦达定理：x1+x2+x3=－ba=q1x1x2+x2x3+x3x1=ca=q2x1x2x3=－da=q3（12）这个关系不难得到。因为既然x1、x2和x3是原方程的根，那么原方程一定可以分解a(x-x1)(x-x2)·(x-x3)，将此式展开，并与原方程对比，便可得到上述式（12）。利用式（12），通过较为冗长的计算，y31+y32和y31y32便可由原方程系数表示为y31+y32=2q31-9q1q2+27q3y31y32=(q21-3q1q2)3（13）这样原一般三次方程（5）的根便可先通过求解式（11），然后利用式（9）得到。
上述求解三次方程的过程再次表明：解n次方程的关键在于找到一个变换y=f(x)，将原方程变换成高次常数方程，即yn=s。而且，这个变换一般是所有方程根的线性组合，一个具体变换的组合系数对应所有单位根的一种置换，即yp=∑ni=1a(p)ixi，这里a(p)i代表着所有单位根{1，ω，ω2，…，ωn-1}的一个置换。以上述三次方程为例，y1对应的组合系数是{1，ω，ω2}，y2对应的组合系数是{1，ω2，ω}，…，y6对应的组合系数是{ω2，1，ω}。之所以这样选择在于：根据单位根的循环特征，可以找到yp之间的简单关系，即y4=ωy1，y3=ωy2，y5=ω2y2，y6=ω2y1，这样以所有yp为根的方程∏6p=1(y-yp)=0，可以通过合并得到新方程(y3-y31)(y3-y32)=0。当我们将y3看成一个新未知量u，新方程就是一个关于u的二次方程，次数低于原三次方程。
依据同样的方法，我们看看一般四次方程是否同样可以求解？答案是肯定的。

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