纯数学教程
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作者(英)戈弗雷·哈罗德·哈代|译者:胡琳
出版社重庆
ISBN9787229186296
出版时间2024-10
装帧其他
开本其他
定价78元
货号32206463
上书时间2024-11-05
商品详情
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作者简介
戈弗雷·哈罗德·哈代（1877—1947年），卒于剑桥。英国数学家，数学分析学派领袖。13岁进入以培养数学家著称的温切斯特学院，1896年转入剑桥三一学院，1900年获史密斯奖，以后在英国牛津大学、剑桥大学任教授。他培养和指导了包括印度数学奇才拉马努金和我国数学家华罗庚在内的众多数学大家，他所著《纯数学教程》《数论导引》《不等式》等在国际数学界具有持久而重大的影响力。
目录
译者序?/?1
前?言?/?5
第一章?实变量??/?1
（1）有理数?????1
（2）通过线上的点来代表有理数????2
（3）无理数????3
（4）无理数（续）????6
（5）无理数（再续）????7
（6）无理数（三续）????9
（7）无理数（四续）????10
（8）实数????11
（9）实数之间的大小比较????12
（10）实数的代数运算????14
（11）实数的代数运算（续）????15
（12）的研究????16
（13）二次方根????17
（14）关于二次方根的一些定理????18
（15）连续统????21
（16）连续实变量????23
（17）实数的分割????23
（18）极限点????25
（19）魏尔施特拉斯定理????26
???例题集????27
第二章?实变量函数??/?37
（20）函数的定义????37
（21）函数的图形表示法????40
（22）极坐标????41
（23）更多的函数以及图形表示的例子????42
（24）B.?有理函数????44
（25）有理函数（续）????46
（26）C.?显式代数函数????47
（27）D.?隐式代数函数????48
（28）超越函数????50
（29）F.?其他种类的超越函数????53
（30）包含着单一未知数的方程图像解法????56
（31）二元函数以及它们的图像表示法????57
（32）平面曲线????58
（33）空间中的轨迹????60
???例题集????63
第三章?复?数??/?69
（34）直线与平面上的位移????69
（35）位移的相同性、位移的数乘法????70
（36）位移的加法????71
（37）位移的乘法????74
（38）位移的乘法（续）????75
（39）复数????76
（40）复数（续）????78
（41）方程?i2=-1????79
（42）与?i?相乘的几何解释????79
（43）方程?z2+?1?=?0，az2+?2bz?+?c?=?0????80
（44）阿尔干（Argand）图????82
（45）棣莫弗定理????83
（46）几个关于复数的有理函数定理????85
（47）复数的根????97
（48）方程?zn?=?a?的解????98
（49）棣莫弗定理的一般形式????101
???例题集????101
第四章?正整数变量对应函数的极限??/?109
（50）正整数变量的函数????109
（51）函数插值????110
（52）有限集和无限集????111
（53）对于大数值?n?的函数性质????112
（54）对于大数值?n?的函数性质（续）????113
（55）“n?趋向于无穷”?的表述????114
（56）当?n?趋向于无穷时?n?的函数表现????115
（57）当?n?趋向于无穷时?n?的函数表现（续）????117
（58）极限的定义????117
（59）极限的定义（续）????119
（60）极限的定义（再续）????119
（61）关于定义的几个基础要点????120
（62）振荡函数????123
（63）关于极限的一些定理????127
（64）定理?1?的附属结果????128
（65）B.?两个增减趋势已知的函数乘积的增减趋势????129
（66）C.?两个增减趋势已知的函数的差或商的增减趋势????131
（67）定理?5????132
（68）定理?5（续）????133
（69）以?n?为变量且与?n?一起递增的函数????134
（70）对定理的说明????137
（71）魏尔施特拉斯定理的另一种证明????137
（72）当?n?趋向于时?xn?随着?n?变化的极限????138
（73）?的极限????142
（74）一些代数引理????143
（75）?的极限????145
（76）无穷级数????146
（77）关于无穷级数的一般定理????147
（78）无穷几何级数????149
（79）用极限方法来表示连续实变量????154
（80）有界集合的边界????157
（81）一个有边界函数的边界????158
（82）一个有边界函数的不确定的极限????158
（83）有边界函数的一般收敛性原则????161
（84）无边界函数????162
（85）复数函数的极限及复数项的级数????163
（86）定理的延伸????164
（87）当?n?→∞时，zn?的极限（z?是复数）????166
（88）当?z?是复数时的几何级数?1?+?z?+?z2?+?…?????166
（89）符号?O，o，~????168
???例题集????169
第五章?一个连续变量的函数极限、连续函数与不连续函数??/?179
（90）当?x?趋向于?∞?时的极限????179
（91）当?x?趋向于?-∞?时的极限????181
（92）第四章第?63—69?课时的结论对应的定理????182
（93）当?x?趋向于?0?时的极限????182
（94）当?x?趋向于?a?时的极限????184
（95）递增或递减函数????185
（96）不定元的极限以及收敛原则????185
（97）不定元的极限以及收敛原则（续）????187
（98）符号?O，o，~：大、小的级别对比????192
（99）一个实变量的连续函数????193
（100）一个实变量的连续函数（续）????195
（101）连续函数的基本性质????199
（102）连续函数的其余性质????201
（103）连续函数的取值范围????202
（104）函数在区间内的振荡????204
（105）第?103?课时定理?2?的另一种证明????205
（106）直线上的区间集，海恩-博莱尔（Heine-Borel）定理????206
（107）连续函数的振幅????209
（108）多元的连续函数????211
（109）隐函数????212
（110）反函数????214
?????例题集????216
第六章?导数与积分??/?221
（111）导数或微分系数????221
（112）一些一般性的注解????223
（113）一些一般性的注解（续）????226
（114）微分法的一些一般法则????227
（115）复函数的导数????230
（116）微分学的记号????230
（117）标准形式????232
（118）B.?有理函数????235
（119）C.?代数函数????236
（120）D.?超越函数????238
（121）高阶导数????241
（122）关于导函数的一些一般性定理????245
（123）最大值与最小值????247
（124）最大值与最小值（续）????249
（125）最大值与最小值（再续）????249
（126）中值定理????257
（127）中值定理（续）????259
（128）柯西中值定理????259
（129）达（Darboux）定理????260
（130）积分????261
（131）实际的积分问题????262
（132）多项式????264
（133）有理函数????265
（134）有理函数的实际积分????268
（135）代数函数????269
（136）换元积分法和有理化积分法????269
（137）由圆锥曲线相连的积分????270
（138）积分??????271
（139）积分????272
（140）积分?????273
（141）分部积分法????273
（142）一般的积分，其中?y2?=?ax2?+?2bx?+?c????276
（143）超越函数????280
（144）以?x?的倍数的正弦与余弦为变量的多项式????280
（145）积分，及相关的积分????281
（146）cosx?和?sinx?的有理函数????281
（147）包含?arcsinx，arctan?x?和?log?x?的积分????283
（148）平面曲线的面积????284
（149）平面曲线的长度????285
?????例题集????290
第七章?微分和积分的其他定理??/?303
（150）更高阶的中值定理????303
（151）泰勒定理的另一种形式????308
（152）泰勒级数????310
（153）泰勒定理的应用?A.?求最值????312
（154）B.?某些极限的计算????312
（155）C.?平面曲线的相切????315
（156）多变量函数的导数????320
（157）双变量函数微分法????322
（158）双变量函数微分法（续）????325
（159）双变量函数的中值定理????326
（160）微分????328
（161）定积分和面积计算????332
（162）定积分????335
（163）圆的扇形面积，三角函数????336
（164）从定积分作为和的极限来计算定积分????340
（165）定积分的一般性质????341
（166）分部积分法和换元积分法????345
（167）利用分部积分法证明泰勒定理????348
（168）余项的柯西形式在二项式中的应用????349
（169）定积分的近似公式，辛普森公式????350
（170）实变量复数函数的积分????352
?????例题集????353
第八章?无穷级数与无穷积分的收敛??/?365
（171）前言????365
（172）正项级数????365
（173）正项级数（续）????366
（174）这些判别的第一批应用????366
（175）比值判别法????367
（176）德里赫特判别法????371
（177）正项级数的乘法????371
（178）对于收敛与发散的额外判别法????373
（179）阿贝尔（或普林斯姆）定理????374
（180）麦克劳林（或柯西）积分判别法????376
（181）级数????377
（182）柯西并项判别法????379
（183）进一步的比值判别法????380
（184）无穷积分????381
（185）取值为正的情形????383
（186）替换积分法和分部积分法对无限积分的应用????386
（187）其他类型的无穷积分????389
（188）其他类型的无穷积分（续）????391
（189）其他类型的无穷积分（再续）????395
（190）正负项的级数????397
（191）绝对收敛级数????398
（192）德里赫特（Dirichlet）定理延伸到绝对收敛级数????400
（193）条件性收敛级数????400
（194）条件性收敛级数的收敛判别法????401
（195）交错级数????402
（196）阿贝尔收敛判别法和德里赫特收敛判别法????405
（197）复数项的级数????408
（198）幂级数????409
（199）幂级数（续）????410
（200）幂级数的收敛域、收敛圈????410
（201）幂级数的唯一性????413
（202）级数的乘法????413
（203）绝对收敛无限积分和条件收敛无限积分????415
?????例题集????417
第九章?实变量的对数、指数及三角函数??/?427
（204）引言????427
（205）log?x?的定义????428
（206）log?x?满足的函数等式????429
（207）log?x?随着?x?趋向于无穷时的情况????431
（208）当?x?→∞?时?x?-α log?x?→?0的证明????431
（209）当?x?→?+0?时?log?x?的性状????432
（210）无穷的尺度，?对数的尺度????432
（211）数字?e????435
（212）指数函数????436
（213）指数函数的一般性质????437
（214）一般幂函数?ax????439
（215）ex?作为极限的表示法????440
（216）log?x?作为极限的表示法????441
（217）常用的对数????442
（218）级数和积分收敛的对数判别法????449
（219）与指数函数、对数函数有关的级数，用泰勒定理展开ex????454
（220）对数级数????457
（221）反正切函数级数????459
（222）二项级数????462
（223）建立指数函数与对数函数理论的另一种方法????464
（224）三角函数的分析理论????466
（225）三角函数的解析理论（续）????469
（226）三角函数的解析理论（再续）????471
?????例题集????472
第十章?对数函数、指数函数和三角函数的一般理论??/?483
（227）单复变量的函数????483
（228）单复变量的函数（续）????484
（229）实数和复数曲线积分????484
（230）的定义????485
（231）Log?ζ?的值????486
（232）指数函数????491
（233）expζ?的值????492
（234）exp?ζ?满足的函数方程????492
（235）一般的幂?aζ????493
（236）aζ?的一般值????494
（237）正弦和余弦的指数值????498
（238）对于所有的?ζ?，sin?ζ?和?cos?ζ?的定义????498
（239）推广的双曲线函数????499
（240）与，等有关的公式????500
（241）对数函数与反三角函数之间的联系????503
（242）?exp?z?的幂级数????505
（243）cos?z?和?sin?z?的幂级数????507
（244）对数级数????509
（245）对数级数（续）????510
（246）对数级数的一些应用，指数极限????513
（247）二项式定理的一般形式????514
?????例题集????517
附录?1?H?lder?不等式和?Minkowski?不等式??/?527
附录?2?每一个方程都有一个根的证明??/?533
附录?3?双极限问题的注记??/?540
附录?4?分析和几何中的无穷??/?543
内容摘要
《纯数学教程》详细梳理了经典数学相关概念，其知识框架清晰而有条理，囊括了数论、代数、几何和拓扑学等多个领域。全书共分十章，每一章内容循序渐进、层层深入，从基础的核心概念讲起，提供严谨的证明过程，以及丰富的例子和习题。
第一章至第三章介绍了实数、复数等概念，其中，第二章着重通过图片展示的方式，直观地分析与讲解抽象的函数。第四章和第五章引入了极限、连续、振荡等概念。第六章至第八章详细介绍了微积分的概念和相关定理证明，如中值定理、达布定理等，此外，还论述了收敛的判别法。第九章和第十章，从多重角度出发，给出了指数函数、对数函数和三角函数的定义及其应用。
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