现代动力系统理论导论

　　this book provides the first self-contained comprehensiveexposition of the theory of dynamical systems as a coremathematical discipline closely intertwined with most of the mainareas of mathematics. the authors introduce and rigorously developthe theory while providing researchers interested in applicationswith fundamental tools and paradigms.
　　 the book begins with a discussion of several elementary butfundamental examples. these are used to formulate a program for thegeneral study of asymptotic properties and to introduce theprincipal theoretical concepts and methods. the main theme of thesecond part of the book is the interplay between local analysisnear individual orbits and the global complexity of the orbitstructure. the third and fourth parts develop in depth the theoriesof !ow-dimensional dynamical systems and hyperbolic dynamicalsystems.
　　 the book is aimed at students and researchers in mathematics atall levels from ad-vanced undergraduate up. scientists andengineers working in applied dynamics, non-linear science, andchaos will also find many fresh insights in this concrete and clearpresentation. it contains more than four hundred systematicexercises.

preface

0. introduction

1. principal branches of dynamics

2. flows, vector fields, differential equations

3. time-one map, section, suspension

4. linearization and localization

part 1examples and fundamental concepts

1. firstexamples

1. maps with stable asymptotic behavior

contracting maps; stability of contractions; increasing interval
maps

2. linear maps

3. rotations of the circle

4. translations on the torus

5. linear flow on the torus and completely integrable systems

6. gradient flows

7. expanding maps

8. hyperbolic toral automorphisms

9. symbolic dynamical systems

sequence spaces; the shift transformation; topological markov
chains; the

.perron-frobenius operator for positive matrices

2. equivalence, classification, andinvariants

1. smooth conjugacy and moduli for maps equivalence and moduli;
local analytic linearization; various types of moduli

2. smooth conjugacy and time change for flows

3. topological conjugacy, factors, and structural stability

4. topological classification of expanding maps on a circle
expanding maps; conjugacy via coding; the fixed-point method

5. coding, horseshoes, and markov partitions

markov partitions; quadratic maps; horseshoes; coding of the toral
automor- phism

6. stability of hyperbolic total automorphisms

7. the fast-converging iteration method (newton method) for
the

conjugacy problem

methods for finding conjugacies; construction of the iteration
process

8. the poincare-siegel theorem

9. cocycles and cohomological equations

3. principalclassesofasymptotictopologicalinvariants

1. growth of orbits

periodic orbits and the-function; topological entropy; volume
growth; topo-logical complexity: growth in the fundamental group;
homological growth

2. examples of calculation of topological entropy

isometries; gradient flows; expanding maps; shifts and topological
markov chains; the hyperbolic toral automorphism; finiteness of
entropy of lipschitz maps; expansive maps

3. recurrence properties

4.statistical behavior of orbits and introduction to ergodic
theory

1. asymptotic distribution and statistical behavior of orbits

asymptotic distribution, invariant measures; existence of invariant
measures;the birkhoff ergodic theorem; existence of symptotic
distribution; ergod-icity and unique ergodicity; statistical
behavior and recurrence; measure-theoretic somorphism and
factors

2. examples of ergodicity; mixing

rotations; extensions of rotations; expanding maps; mixing;
hyperbolic total automorphisms; symbolic systems

3. measure-theoretic entropy

entropy and conditional entropy of partitions; entropy of a
measure-preserving transformation; properties of entropy

4. examples of calculation of measure-theoretic entropy

rotations and translations; expanding maps; bernoulli and markov
measures;hyperbolic total automorphisms

5. the variational principle

5.systems with smooth invar1ant measures and more examples

1. existence of smooth invariant measures

the smooth measure class; the perron-frobenius operator and
divergence;criteria for existence of smooth invariant measures;
absolutely continuous invariant measures for expanding maps; the
moser theorem

2. examples of newtonian systems

the newton equation; free particle motion on the torus; the
mathematical pendulum; central forces

3. lagrangian mechanics

uniqueness in the configuration space; the lagrange equation;
lagrangian systems; geodesic flows; the legendre transform

4. examples of geodesic flows

manifolds with many symmetries; the sphere and the toms; isometrics
of the hyperbolic plane; geodesics of the hyperbolic plane; compact
factors; the dynamics of the geodesic flow on compact hyperbolic
surfaces

5. hamiltonian systems

symplectic geometry; cotangent bundles; hamiltonian vector fields
and flows;poisson brackets; integrable systems

6. contact systems

hamiltonian systems preserving a 1-form; contact forms

7. algebraic dynamics: homogeneous and afline systems

part 2local analysis and orbit growth

6.local hyperbolic theory and its applications

1. introduction

2. stable and unstable manifolds

hyperbolic periodic orbits; exponential splitting; the
hadamard-perron the-orem; proof of the hadamard-perron theorem; the
inclination lemma

3. local stability of a hyperbolic periodic point

the hartman-grobman theorem; local structural stability

4. hyperbolic sets

definition and invariant cones; stable and unstable manifolds;
closing lemma and periodic orbits; locally maximal hyperbolic
sets

5. homoclinic points and horseshoes

general horseshoes; homoclinic points; horseshoes near homoclinic
poi

6. local smooth linearization and normal forms

jets, formal power series, and smooth equivalence; general formal
analysis; the hyperbolic smooth case

7.transversality and genericity

1. generic properties of dynamical systems

residual sets and sets of first category; hyperbolicity and
genericity

2. genericity of systems with hyperbolic periodic points

transverse fixed points; the kupka-smale theorem

3. nontransversality and bifurcations

structurally stable bifurcations; hopf bifurcations

4. the theorem of artin and mazur

8.orbitgrowtharisingfromtopology

1. topological and fundamental-group entropies

2. a survey of degree theory

motivation; the degree of circle maps; two definitions of degree
for smooth maps; the topological definition of degree

3. degree and topological entropy

4. index theory for an isolated fixed point

5. the role of smoothness: the shub-sullivan theorem

6. the lefschetz fixed-point formula and applications

7. nielsen theory and periodic points for toral maps

9.variational aspects of dynamics

1. critical points of functions, morse theory, and dynamics

2. the billiard problem

3. twist maps

definition and examples; the generating function; extensions;
birkhoff peri-odic orbits; global minimality of birkhoff periodic
orbits

4. variational description of lagrangian systems

5. local theory and the exponential map

6. minimal geodesics

7. minimal geodesics on compact surfaces

part 3low-dimensional phenomena

10. introduction: what is low-dimensional dynamics?

motivation; the intermediate value property and conformality; vet
low-dimensional and low-dimensional systems; areas of
!ow-dimensional dynamics

11.homeomorphismsofthecircle

1. rotation number

2. the poincare classification

rational rotation number; irrational rotation number; orbit types
and mea-surable classification

12. circle diffeomorphisms

1. the denjoy theorem

2. the denjoy example

3. local analytic conjugacies for diophantine rotation number

4. invariant measures and regularity of conjugacies

5. an example with singular conjugacy

6. fast-approximation methods

conjugacies of intermediate regularity; smooth cocycles with wild
cobound-aries

7. ergodicity with respect to lebesgue measure

13. twist maps

1. the regularity lemma

2. existence of aubry-mather sets and homoclinic orbits

aubry-mather sets; invariant circles and regions of
instability

3. action functionals, minimal and ordered orbits

minimal action; minimal orbits; average action and minimal
measures; stable sets for aubry-mather sets

4. orbits homoclinic to aubry-mather sets

5. nonexisience of invariant circles and localization of
aubry-mather sets

14.flowsonsurfacesandrelateddynamicalsystems

1. poincare-bendixson theory

the poincare-bendixson theorem; existence of transversals